Методичка 5175 Теор вер
.pdf
{студент сдаст экзамен по математическому анализу}; {студент не сдаст экзамен по математическому анализу}; {студент сдаст экзамен по органической химии}; {студент не сдаст экзамен по органической химии}.
Так как и , и , и , и – пары независимых событий, следовательно, для вычисления необходимых вероятностей можно использовать теорему умножения независимых событий, а поскольку события и – несовместны, то можно применить теорему сложения несовместных событий.
По условию:
Тогда:
,
Итак, закон распределения случайной величины задается таблицей:
Контроль: |
(это равенство должно выполняться, так |
как события |
} – попарно несовместны и образу- |
ют полную группу событий). |
|
Задача 10 |
|
а) Значение |
найдем из условия нормировки: |
21
Т.е. |
, а значит, |
б) Известно, что
Поэтому |
|
если |
, то |
если |
, то |
если |
, то |
(внутренний из трех последних интегралов равен 1 из-за условия нормировки). Таким образом,
График функции |
изображен на рисунке: |
22
в) Для вычисления математического ожидания |
и дисперсии |
воспользуемся формулами нахождения числовых характеристик в случае
непрерывной случайной величины:
Заметим, что если все значения случайной величины сосредоточены на промежутке , то и математическое ожидание попадает в этот про-
межуток. В нашем случае
г) поскольку в случае непрерывных величин |
, то для на- |
|
хождения вероятности |
можем воспользоваться формулой, |
|
приведенной в пункте (д) задачи 8: |
|
|
.
23
Задача 11 |
|
|
Непрерывная случайная величина |
имеет равномерный закон распре- |
|
деления на некотором промежутке |
, которому принадлежат все воз- |
|
можные значения , если плотность распределения вероятностей |
по- |
|
стоянна на этом интервале и равна 0 вне его, т.е. |
|
|
Функция распределения случайной величины , распределенной по равномерному закону, задается формулой:
Числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины на промежутке вычисляются по формулам:
Воспользуемся формулами, рассмотренными выше: в нашем случае Тогда
Поскольку по условию случайная величина – непрерывная, то
24
Задача 12
Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения, если ее плотность распределения имеет вид:
где |
. |
|
|
|
|
|
|
Функция распределения случайной величины , распределенной по |
|||||
нормальному закону, выражается через функцию Лапласа |
по форму- |
|||||
ле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
– функция Лапласа, значения которой сведены в |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
специальную |
таблицу. |
Заметим, |
что функция |
является нечетной |
||||
( |
|
|
), кроме того, при |
можно считать |
. |
|||
Вероятность того, |
что случайная величина примет значения, при- |
|||||||
надлежащие интервалу |
вычисляются по формуле: |
|
||||||
По условию |
|
следовательно, |
|||
А значит, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В нашем случае |
|
, поэтому |
|
|
|
|
|
По таблице значений функции |
находим |
, |
. Следовательно, |
|
|
25
Варианты расчетной работы для самостоятельного решения (1–30)
Вариант 1
1.Сколькими способами можно отгадать в лотерее «5 из 36» а) четыре правильных номера, б) не угадать ни одного правильного номера?
2.На шести кубиках написаны буквы {о, о, л, о, м, к}. Случайным образом берут по одному кубику и укладывают их друг за другом. Какова вероятность того, что можно будет прочитать слово «молоко»?
3.Среди 20 экзаменационных билетов 4 «хороших». Найти вероятность того, что два первых по очереди студента возьмут «хорошие» билеты.
4.Вероятности попадания при одном выстреле для трех стрелков
равны соответственно |
|
|
|
|
|
Какова вероятность того, что при одновремен- |
|
|
|
ном выстреле будет хотя бы одно попадание?
5.В двух пеналах находятся ручки двух цветов. В первом пенале – 6 красных и 4 черных ручки, во втором – 7 красных и 3 черных ручки. Из каждого пенала взяли по одной ручке, а потом из этих двух ручек наудачу взяли одну. Какова вероятность того, что выбрана красная ручка?
6.Вероятность попадания в цель стрелком при одном выстреле равна 0,7. Сделано 10 выстрелов. Какова вероятность того, что стрелок промахнулся не более двух раз?
7.На линиях метро курсируют 25% вагонов старого образца. Найти вероятность того, что среди пятиста вагонов, находящихся в ремонте, больше 130 старого образца?
8. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
|
|
|
−3 |
−1 |
2 |
|
5 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
0,2 |
0,3 |
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) |
неизвестную вероятность |
; |
|
|
|
||||
|
б) |
функцию распределения |
|
и построить ее график; |
|||||
|
в) |
математическое ожидание |
; |
|
|
||||
26
г) дисперсию |
; |
д) |
. |
9. В коробке 10 маркеров, из которых два маркера уже не пишут. Наудачу берут три маркера. Случайная величина – число пишущих марке-
ров среди взятых. Построить вероятностный ряд для . Найти ее |
и |
|
. |
|
|
10. Непрерывная случайная величина |
задана с помощью функции |
|
плотности распределения вероятностей |
: |
|
Найти: а) |
параметр ; |
|
|
б) |
функцию распределения |
и построить ее график. |
|
в) |
математическое ожидание |
и дисперсию |
. |
г) |
|
|
|
|
11. Случайная величина |
распределена равномерно на |
. Напи- |
||||
сать |
и |
Найти |
и |
|
. Вычислить |
|
|
|
12. Случайная величина |
распределена нормально с математическим |
|||||
ожиданием |
и дисперсией |
. Написать функцию плотности |
|||||
распределения вероятностей |
|
и вычислить |
. |
|
|||
Вариант 2
1.Сколькими способами можно отгадать в лотерее «6 из 49» а) шесть правильных номеров, б) не угадать ни одного правильного номера?
2.Пять человек садятся в поезд, выбирая случайным образом один из восьми вагонов. Найти вероятность того, что все они попадут в разные вагоны.
3.Колода карт (36 листов) делится на две равные стопки по 18 карт. Найти вероятность того, что в одной стопке оказался 1 туз, а в другой – 3 туза.
27
4.Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе – 0,9, в третье – 0,8. Найти вероятность того, что только одно отделение получит газеты вовремя.
5.В первой коробке находятся 3 лампочки по 60 ватт и 5 – по 75 ватт, во второй 6 – по 60 ватт и 2 – по 75 ватт. Наудачу выбирают коробку и вынимают из нее 2 лампочки. Обе лампочки оказались одной мощности. Найти вероятность того, что они вынуты из первой коробки.
6.Рабочий обслуживает 10 однотипных станков. Вероятность того,
что станок потребует внимания в течение промежутка времени Т, равна .
Найти вероятность того, что за время Т не менее двух станков потребуют внимания рабочего.
7. Из каждых 20 тетрадей, продаваемых в магазине, 16 «в клетку». Найти вероятность того, что из 300 проданных тетрадей от 150 до 200 будет «в клетку».
8. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
|
|
|
−20 |
−10 |
−5 |
|
0 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
0,1 |
|
|
0,25 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) |
неизвестную вероятность |
; |
|
|
|
||||
|
б) |
функцию распределения |
|
и построить ее график; |
|||||
|
в) |
математическое ожидание |
; |
|
|
||||
|
г) |
дисперсию |
|
|
|
|
|
|
|
д)
9. Из 10 монет, среди которых три фальшивых, наугад вынимают пять. Случайная величина – количество фальшивых монет среди выбран-
ных. Построить вероятностный ряд для |
. Найти ее |
и |
. |
|
10. Непрерывная случайная величина |
задана с помощью функции |
|||
плотности распределения вероятностей |
|
: |
|
|
28
Найти: а) |
параметр ; |
|
|
б) |
функцию распределения |
и построить ее график; |
|
в) |
математическое ожидание |
и дисперсию |
; |
|
|
г) |
|
|
|
|
|
11. Случайная величина |
распределена равномерно на |
. Напи- |
|||
сать |
и |
Найти |
и |
. Вычислить |
|
|
|
12. Случайная величина |
распределена нормально с математическим |
||||
ожиданием |
и дисперсией |
. Написать функцию плотности |
||||
распределения вероятностей |
|
и вычислить |
. |
|
||
Вариант 3
1.Сколько различных «слов» можно получить, если переставлять буквы в слове «БЕЗОБРАЗИЕ»? («Словом» называется любая последовательность букв, не обязательно осмысленная).
2.На шахматную доску случайным образом ставят две ладьи белую и черную. Какова вероятность того, что ладьи не будут бить друг друга?
3.В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 «с канавками». Токарь наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали без «канавок».
4.Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель первым – 0,6, вторым – 0,7, третьим – 0,8. Определить вероятность того, что при одновременном залпе тремя стрелками будет ровно одно попадание.
5.В двух ящиках находятся шары двух цветов: в первом ящике 4 красных и 6 голубых, во втором ящике 6 красных и 8 голубых. Наудачу из каждого ящика вытащили по одному шару. Затем из этих двух наугад взяли один. Какова вероятность того, что взятый шар голубой?
6.Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что «герб=орел» выпадет не менее семи раз.
7.Среди всех творожков, изготавливаемых на молокозаводе, 30% с клубникой. Найти вероятность того, что среди 530 наугад отобранных тво-
29
рожков не менее 320 и не более 420 с клубникой.
8. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
|
|
|
10 |
20 |
|
30 |
|
40 |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
0,1 |
|
0,2 |
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) |
неизвестную вероятность |
; |
|
|
|
|||||
|
б) |
функцию распределения |
|
и построить ее график; |
||||||
|
в) |
математическое ожидание |
|
; |
|
|
||||
|
г) |
дисперсию |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
9. Биатлонист производит 5 выстрелов с вероятностью попадания |
||||||||||
при одном выстреле равной 0,8. Случайная величина |
– число попаданий. |
|||||||||
Построить вероятностный ряд для |
. Найти ее |
и |
. |
|
||||||
10. Непрерывная случайная величина |
|
задана с помощью функции |
||||||||
плотности распределения вероятностей |
: |
|
|
|
||||||
Найти: а) |
параметр ; |
|
б) |
функцию распределения |
и построить ее график; |
в) |
математическое ожидание |
и дисперсию |
г) |
|
|
|
11. Случайная величина |
распределена равномерно на |
. Напи- |
||||
сать |
и |
Найти |
и |
|
. Вычислить |
|
|
|
12. Случайная величина |
распределена нормально с математическим |
|||||
ожиданием |
и дисперсией |
. Написать функцию плотности |
|||||
распределения вероятностей |
|
и |
вычислить |
. |
|
||
Вариант 4
1. В чемпионате участвуют 100 команд. Разыгрываются три медали: золотая, серебряная, бронзовая. Сколько различных исходов первенства возможно?
30