2-й семестр / Лекция 13
.pdf
Пример 2. Вычислить интеграл , – часть поверхности
2 + 2 + 2 = 7, ≥ 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= √7 |
|
0 ≤ ≤ 2 |
|||||||
{ = √ |
|
|
|
|
|
, = 7, { |
|||
|
7 |
0 ≤ ≤ |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= √7 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
= ∫02 7√7 ∫02 2 = 0.
Пример3. Найти x |
d , где - сфера x2 |
+ y2 |
+ z2 = R2. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Использование соображений симметрии позволяет иногда существенно упростить вычисление интегралов. Очевидно, что для сферы
|
x |
2 |
d |
|
y |
2 |
d |
|
z |
2 |
d . Тогда |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
d |
4 R |
4 |
|||
d |
(x |
y |
z |
)d |
R |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.4.3.4. Механические и физические приложения поверхностного интеграла 1-го рода.
6.4.3.4.1. Масса поверхности. Пусть на поверхности распределена масса с поверхностной плотностью (x,y,z). Тогда масса m поверхности равна
m = |
|
( x, y, z)d . |
|
||
|
|
|
6.4.3.4.2. Статические моменты и центр масс. Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей OYZ, OXZ, OXY равны
соответственно M yz x d , |
M xz y d , |
M xy |
z d . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Координаты центра масс поверхности равны xc = |
|
M yz |
, yc = |
M xz |
, |
zc = |
M xy |
. |
||
|
|
|
|
m |
m |
|
m |
|||
6.4.3.4. 3. Моменты инерции. Момент инерции поверхности относительно
прямой L равен IL= |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
rL |
=rL(x,y,z) - расстояние от точки (x,y,z), лежащей на |
|||||||||||||||
|
rL d , где |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхности , до прямой L. В частности, моменты инерции относительно |
|||||||||||||||||||||||||
координатных осей OX, OY, OZ равны |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
I x ( y |
2 |
z |
2 |
) d , |
I y (x |
2 |
z |
2 |
) d , I z (x |
2 |
y |
2 |
) d . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Момент инерции относительно точки P(x0,y0,z0) равен |
|||||||||||||||||||||||||
I p ((x x0 ) |
2 |
( y y0 ) |
2 |
(z z0 ) |
2 |
) (x, y, z)d |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Момент инерции относительно начала координат равен |
|||||||||||||||||||||||||
I0 (x |
2 |
y |
2 |
|
z |
2 |
) (x, y, z)d |
1 |
(I x I y I z ). |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти координаты центра масс полусферы x2 + y2 + z2 поверхностная плотность в каждой точке сферы равна расстоянию оси OZ.
= R2, z 0, если от этой точки до
Решение: Масса полусферы равна
M |
|
d |
|
x 2 |
y 2 d |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
y 2 |
|
1 (( |
R2 |
x 2 |
|
y 2 ) |
|
)2 |
(( |
R2 x 2 |
y |
2 ) |
)2 dxdy |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
Rdxdy |
|
2 |
R |
r |
2 |
dr |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
R d |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x2 y2 R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
x |
y |
|
|
|
x2 y2 R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
x |
2 |
y |
2 |
0 |
0 |
R |
2 |
r |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
r |
2 |
R |
2 |
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
R |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
arcsin |
|
|
|
|
R |
2 |
r |
2 |
dr |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr 2 R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
R |
2 |
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R
(Мы воспользовались тем, что интеграл 
R2 r 2 dr равен четверти площади круга
0
радиуса R т.е. R4 2 ).