- •Дайте определение базиса векторов в пространстве.
- •Что такое направляющие косинусы вектора?
- •Сформулируйте определение треугольной матрицы
- •Сформулируйте определение трапециевидной матрицы
- •Сформулируйте определение ступенчатой матрицы
- •Сформулируйте определение единичной матрицы
- •Какие матрицы называют равными
- •Как выполняется сложение матриц?
- •Как выполняется умножение матрицы на число?
- •Свойства умножения матрицы на число (скаляр)
- •Аналогично по этому правилу можно и наоборот – вынести общий множитель с каждого элемента
- •Как выполняется умножение матриц?
- •Свойства умножения матриц:
- •Любые ли две матрицы можно перемножить?
- •Определение матрицы, транспонированной по отношению к данной.
- •Свойства транспонированной матрицы
- •Какие преобразования называют элементарными преобразованиями матриц?
- •Что такое подстановка?
- •Что такое перестановка?
- •Что такое транспозиция перестановки?
- •В каком случае два числа образуют инверсию в перестановке?
- •Сформулируйте определение минора Мij матрицы а
- •Сформулируйте определение алгебраического дополнения Аij матрицы а
- •Как изменится определитель матрицы, если 2 его строки умножить на 2?
- •Чему равен определитель матрицы, имеющий два одинаковых столбца?
- •Как изменится определитель, если у матрицы поменять местами 2 строки?
- •Чему равен определитель треугольной матрицы?
- •Чему равен определитель диагональной матрицы?
- •Сформулируйте критерии равенства нулю определителя
- •Запишите формулу для вычисления обратной матрицы
- •Свойства обратной матрицы
- •Способы вычисления определителя
- •Способы построения обратной матрицы
- •Раздел 2. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений Глава 2. Определители (детерминанты) квадратных матриц
- •§ 1. Перестановки и подстановки
- •§ 2. Определение детерминанта (определителя) порядка n
ГЕОМЕТРИЯ
-
Что такое орт?
Орт – это вектор длинна которого равна единице
-
Какие векторы называют равными?
Равные вектора – это вектора которые коллинеарны и их длинны равны и направлены в одном направлении
-
Какие векторы называют коллинеарными?
Коллинеарными называют вектора лежащие на параллельных прямых или на одной прямой
-
Какие векторы называют компланарными?
Компланарными называют вектора лежащие в одной плоскости
-
Какие векторы называют линейно зависимыми?
Линейно зависимыми называют вектора если их линейная комбинация обращается в ноль при хотя бы одном ненулевом коэффициенте (один вектор выражается через другой)
-
Какие векторы называют линейно независимыми?
Линейно зависимыми называют вектора если их линейная комбинация обращается в ноль при хотя бы одном ненулевом коэффициенте (вектора не выражаются друг из друга)
-
Как связаны свойство линейной зависимости (независимости) и свойство компланарности векторов?
Вектора зависимы когда они компланарны
-
Как связаны свойство линейной зависимости (независимости) и свойство коллинеарности векторов?
Вектора зависимы когда они коллинеарны
-
Что такое линейная комбинация векторов?
Линейная комбинация векторов – это сумма векторов с некоторыми коэффициэнтами равная нуль-вектору.
-
Какой базис называют ортогональным?
Ортогональными называют базис образующие вектора которого попарно ортогональны
-
Какой базис называют ортонормированным?
Ортонормированным называют базис образующие вектора которого попарно ортогональны и равны единице
-
Дайте определение базиса векторов на плоскости.
Базисом векторов на плоскости называют два линейно независимых вектора
(Базис - упорядоченный набор векторов, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора.)
-
Дайте определение базиса векторов в пространстве.
Базисом векторов на плоскости называют три линейно независимых вектора
-
Что такое направляющие косинусы вектора?
Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора. Соответственно, координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам.
-
Сформулируйте определение ортогональной проекции вектора на прямую.
Проекцией вектора AB на прямую называется число, равное величине отрезка A1B1 прямой, где точки A1 и B1 являются проекциями точек A и B на прямую.
-
Сформулируйте определение ортогональной проекции вектора на ось.
Проекцией вектора AB на ось L называется число, равное величине отрезка A1B1 оси L, где точки A1 и B1 являются проекциями точек A и B на ось L.
-
Продолжите формулу прав =
праb=|a|*cos(a,b)=(b*a)/|b|
-
Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними.
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.
-
Чему равно скалярное произведение двух коллинеарных векторов?
Будет равно скалярной величине, равной произведению модулей этих векторов
-
Чему равно скалярное произведение двух ортогональных векторов
Равно 0
-
Чему равно скалярное произведение двух ортонормированных векторов?
Равно 0
-
Как вычислить скалярное произведение, если векторы заданы координатами в ортонормированном базисе?
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.
-
Сформулируйте определение векторного произведения двух векторов
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b(|a|*|b|), перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c. |c|=|a|*|b|*sin(a,b)
-
Чему равно векторное произведение двух коллинеарных векторов?
Равно 0
-
Чему равно векторное произведение двух ортогональных векторов?
Вектору ортогональному двум умножающимся с длинной |c|=|a|*|b|
-
Чему равно векторное произведение двух ортонормированных векторов?
ВЕКТОРУ Равному 1 и направленному перпендикулярно этим двум векторам
-
Каков геометрический смысл векторного произведения?
Модуль векторного произведения равен площади параллелограмм построенного на этих векторах как на сторонах.
-
Как вычислить векторное произведение, если векторы заданы координатами в прямоугольном базисе?
С помощью матрицы, где первая строка, это ортонормированные векторы i, j, k, а вторые две строки это координаты векторов а и b.
-
Сформулируйте определение смешанного произведения двух векторов.
Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c, равное определителю матрицы построенной на этих векторах
-
Какая тройка векторов называется левой?
-
Какая тройка векторов называется правой?
-
Как вычислить смешанное произведение, если векторы заданы координатами в прямоугольном базисе?
С помощью матрицы построенной на координатах этих векторов
-
Каков геометрический смысл смешанного произведения?
Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда построенного на этих векторах.
-
Сформулируйте определение алгебраической линии на плоскости
Алгебраической линией на плоскости называется множество точек плоскости, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида
=0(2), где все показатели степени — целые неотрицательные числа. Наибольшая из сумм называется степенью уравнения, а также порядком алгебраической линии.
-
Сформулируйте определение трансцендентной кривой на плоскости
Трансцендентные кривые — это кривые, не являющиеся алгебраическими. Более точно, трансцендентные кривые — кривые, которые можно задать как линию уровня аналитической, но не алгебраической функции (или, в многомерном случае, системы функций).
-
Запишите общее уравнение прямой на плоскости.
Ах + Ву + С = 0,
-
Запишите уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку с заданным вектором нормали.
A(x-x0)+B(y-y0)=0
-
Запишите каноническое уравнение прямой на плоскости.
, где р – координаты вектора нормали
-
Запишите уравнение прямой на плоскости в отрезках.
где из общего уравнения прямой, из общего уравнения прямой.
-
Запишите нормальное уравнение прямой на плоскости.
, где а – угол на которой нужно повернуть против часовой стрелки ось Ox до совмещения её положительного направления с направлением нормали р.
-
Запишите параметрическое уравнение прямой на плоскости.
, где р1- х координата нормали, а р2 – у координата нормали.
-
Запишите формулу расстояния от точки до прямой на плоскости.
Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(Mx, My) до прямой можно найти, используя следующую формулу
d = |
|A·Mx + B·My + C| |
√A2 + B2 |
-
Запишите общее уравнение плоскости
Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида
Ax + By + Cz + D = 0, где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.
-
Запишите уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным вектором нормали.
Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(x0, y0, z0) и вектора нормали плоскости n = {A; B; C} можно использовать следующую формулу. A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
-
Запишите уравнение плоскости в отрезках
Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках
x |
+ |
y |
+ |
z |
= 1 |
a |
b |
c |
-
Запишите нормальное уравнение плоскости
задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, удаленную от начала координат на расстояние p в положительном направлении единичного нормального вектора плоскости
-
Запишите формулу расстояния от точки до плоскости
Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки M(Mx, My, Mz) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:
d = |
|A·Mx + B·My + C·Mz + D| |
√A2 + B2 + C2 |
Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей.!!
-
Запишите общее уравнение прямой в пространстве
определяет координаты каждой точки прямой a, то есть, определяет прямую a. (Коэффициенты не должны быть пропорциональны)
-
Запишите каноническое уравнение прямой в пространстве
Если известна некоторая точка пространства , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:
-
Запишите параметрическое уравнение прямой в пространстве
Если известна точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то параметрические уравнения этой прямой задаются системой:
-
Запишите уравнение линии 2-го порядка
Общее уравнение линии второго порядка имеет вид , где – произвольные действительные числа ( принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты не равны одновременно нулю.
-
Запишите уравнение линии 1-го порядка
Линии, которые в декартовых координатах определяются уравнением первой степени, называются линиями первого порядка. Следовательно, каждая прямая есть линия первого порядка. Общее уравнение прямой (как общее уравнение первой степени) определяется уравнением вида: Ах + Ву + С = 0.
-
Сформулируйте определение эллипса
Эллипс – это множество всех точек плоскости, сумма расстояний до каждой из которых от двух данных точек F1,F2, называемых фокусами эллипса, – есть величина постоянная, численно равная длине большой оси этого эллипса: 2а. При этом расстояния между фокусами меньше данного значения: |F1F2|<2a.
-
Запишите каноническое уравнение эллипса
, где – положительные действительные числа, причём число называют большой полуосью эллипса; число – малой полуосью.
-
Сформулируйте определение гиперболы
Гиперболой называют множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний до каждой из которых от двух данных точек – есть величина постоянная, численно равная расстоянию между вершинами этой гиперболы: . При этом расстояние между фокусами превосходит длину действительной оси: .
-
Запишите каноническое уравнение гиперболы
, где – положительные действительные числа.
-
Сформулируйте определение параболы
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .
Точка называется фокусом параболы, прямая – директрисой
-
Запишите каноническое уравнение параболы
, где – действительное число
-
Сформулируйте определение эксцентриситета эллипса
, которое может принимать значения в пределах , где – это расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса.
Эксцентриситетом гиперболы называют отношение . Так как расстояние от центра до фокуса больше расстояния от центра до вершины: , то эксцентриситет гиперболы всегда больше «единицы»: .
-
Сформулируйте определение эксцентриситета параболы
Эксцентриситет любой параболы равен единице: , r/d=1, где r - расстояние любой точки М параболы до фокуса, а d - её расстояние до директрисы.
-
Сформулируйте определение директрисы эллипса
Директрисами эллипса называются две прямые, которые в канонической для эллипса системе координат имеют уравнения или .
-
Сформулируйте определение директрисы гиперболы
Директрисами гиперболы называются две прямые, уравнения которых в канонической для гиперболы системе координат имеют вид . Так как , то .
( Расстояние между директрисами обозначается 2d и равно )
-
Сформулируйте оптическое свойство эллипса
-
Сформулируйте оптическое свойство гиперболы
-
Сформулируйте оптическое свойство параболы
-
Определение алгебраической поверхности
Алгебраической поверхностью называется множество всех точек М(x,y,z) геометрического пространства, координаты которых в декартовой прямоугольной системе координат удовлетворяют алгебраическому уравнению
-
Определение трансцендентной поверхности
(как предыдущее, но нельзя описать алгебраическим уравнением)
Трансцендентной (неалгебраческой) называют поверхность, определяемую уравнением , где - трансцендентная функция (трансцендентной функцией называется аналитическая функция, не являющаяся алгебраической).
-
Запишите уравнение поверхности 2-го порядка
Общее уравнение поверхности второго порядка Ax2+By2+Cz2+2Fyz+2Gzx+2Hxy+2Px+2Qy+2Rz+D=0, где x, y, z − координаты точек поверхности, A, B, C, … − действительные числа.
-
Запишите уравнение поверхности 1-го порядка
http://osiktakan.ru/gm06.html
-
Запишите каноническое уравнение эллипсоида
a, b, c — полуоси, a,b,c из R+
-
Запишите каноническое уравнение эллиптического параболоида
a, b из R+; a>=b
-
Запишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида
c — действительная полуось, a и b — мнимые полуоси.
-
Запишите каноническое уравнение двуполостного гиперболоида
c — действительная полуось, a и b — мнимые полуоси
-
Запишите каноническое уравнение цилиндров 2-го порядка
Эллиптический цилиндр , a и b — полуоси
Гиперболический цилиндр
Параболический цилиндр , p — фокальный параметр
-
Запишите каноническое уравнение конусов 2-го порядка
Вершина конуса в начале координат, направляющая кривая — эллипс с полуосями а и b, плоскость которого находится на расстоянии с от начала координат
АЛГЕБРА
-
Определение и основные термины у матриц
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.
Матрица порядка m × n записывается в форме:
или (i=1,2,...m; j=1,2,...n).
Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами, а первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j - номер столбца.
Матрица-строка ( или ВЕКТОР-строка) матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки. Например:
Матрица столбец (или ВЕКТОР-столбец) - матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца. Например
Квадратная матрица - матрица, у которой количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например матрица третьего порядка:
Элементы расположенные на местах a11, a22 ,..., ann (то есть элементы с m=n) образуют главную диагональ матрицы. Например:
Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами.
Можно записать так:
В случае НЕ квадратной матрицы m×n - матриц элементы aii ( i=1,2,...,min(m,n)) тоже всё равно образуют главную диагональ. Например:
Элементы расположенные на местах a31n, a2n-1 ,..., an1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:
Нулевая матрица – матрица, у которой все её элементы равны нулю. Например, нулевая матрица 2 × 3
След матрицы: сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:
|
Главным элементом некоторой строки матрицы называется ее первый (по порядку) ненулевой элемент.
Главные элементы каждой строки данной матрицы будут: главный элемент первой строки и главный элемент второй строки
Скалярной называется диагональная матрица , у которой все диагональные элементы равны между собой. Частные случаи – единичная и нулевая квадратные матрицы.