Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Методы элементного и структурного анализа

Файл:

Шпоры (отличные) по МЭСА 7 семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2014

Размер:

946.18 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Постоянные, соотношения:

=0,510998 МэВ

с=299 792 458 м/с

= 6,02214129(27)×

аБ = ħ2/mee2 = 0,529 Å

1Торр=1 ммрт= 133,32Па= 1,32 10-3 атмосферы

		Кинематика упругого соударения в лабораторной системе координат.
	1
		упругое рассеяние – рассеяние, при котором внутреннее состояние
	взаимодействующих частиц остается неизменным( потенц. энергия не изм.)

рассеяние частицы массой m1 со скоростью v0 (энергией Е0) на неподвижной частице массой m2. В лабораторной системе координат (л.с.к.) после упр. рас. частица m1, отклонившись на

угол рассеяния θ, движется со скоростью v1 (энергией Е1), а частица m2 движется по направлению составляющему угол отдачи Ф со скоростью v2 (энергией Е2).

m1v02

= m1v12

+ m2v22

= kE

+ΛE

m1v0

= m1v1 cosθ+m2v2 cosΦ

m v sinθ= m v

sin Φ,

1 1

где k и Λ – кинематические факторы процесса

упругого рассеяния, причем

k + Λ = 1.

m1v0 – m1v0cosθ = m2v2cosΦ

m2v

2 − 2m2v v cos θ + m2v2

= m2v2

m1 cosθ+(m1 −m2 )= 0

(m1 +m2 )−2 v

m1 cosθ±

m22 −m12 sin2 θ

γcosθ±

1− γ2 sin2 θ

, где γ = m1/m2

m1 +m2

+ γ

2m1

cosΦ

+ m

k =

γcosθ±

− γ

sin

4γ

cos2

Λ =

1+ γ

(1+ γ)2

при заданном θ кинемат. фактор k может иметь два разных значения. Λ тоже может принимать два значения. Это означает, что два значения должен принимать угол отдачи Ф. при γ > 1 (m1 > m2) существует предельный угол рассеяния θмак = arcsin(1/γ).

Двузначность k и Ф и Е1 и Е2 получена математически, как следствие решения квадратного уравнения. Для того, чтобы понять физические причины двузначности необходимо рассмотреть процесс упругого рассеяния в системе центра масс.

Связь углов рассеяния в системе центра инерции с углами рассеяния в

2.1

лабораторной системе координат

Система центра масс(с.ц.м.)– система, в которой покоится центр масс

сталкивающихся частиц.

Скорость центра масc в ЛСК vц =

∑mi vi

, у нас

vц =

v0 , χ- угол рассеяния в СЦМ.

∑mi

+ m2

до рассеяния в ЛСК m1: v0 = vц + v1ц и m2: 0 = vц + v2ц

в СЦМ v1ц = v0

− v1 =

v0 , v2ц = −vЦ = −

v0 ,

m1 + m2

Кинематические диаграммы, три случая:

1) m1 > m2 (γ > 1)

v1ц < v2ц

две окружности

R = v2ц = vц и

r = v1ц ,

γ = R/r

v1ц противоположно v2ц, угол между vц и v1ц

равен χ,

скорости в ЛСК m1 и m2 после расс. равны v1 = vц + v1ц и v2 = vц + v2ц,

v0 параллелен вектору vц, и угол между vц и v1 равен θ, а угол между

vц и v2 равен Ф.

Как видно:

два угла χ и два Ф

sinθmax = v1ц/vц = m2/m1 = 1/γ

большему χ - меньшее v1 (Е1); большему Ф

- меньшее v2 (Е2).

2) m1

< m2

(γ < 1) v1ц > v2ц.

R = v1ц и

r = v2ц

3)m1 = m2 (γ = 1)

→

частицы разлетаются под прямым углом, и только в этом случае возможна остановка налетающей

частицы

2.2

v = (γcosθ± 1−γsin2 θ)v

/(1+ γ) > v

= v

/(1+ γ)

для второго случая верно(из выражения для кинематическог множителя знак +)

1ц

tgθ =

v1ц sin χ

m sin χ

sin χ

По любой диаграмме видно:

v1ц cos χ +vц

cosχ+ m1

cos χ + γ

cos2 χ +2γcos χtg2θ + γ2tg2θ−1 = 0 ,

cos χ = −γsin2 θ±cosθ1− γ2 sin2 θ

Для рассчета χ небходимо решить уравнения движения.

Рассеяние частицы приведенной массы µ = m1m2/(m1+m2) в сферич.симметр. поле. U(r)

А-отталкивание, Б-притяжение

		∞			(ρ/ r2 )			dr,
Из механики известно	ξ0	=			(ρ/ r2 )

			1−		(ρ/ r)2 −2U (r) / μv2
		r∫	1−		(ρ/ r)2 −2U (r) / μv2
		min				∞
где rmin определяется	1−(ρ/ r				)2 −2U (r	) / μv2			= 0	, вот,
где rmin определяется				min	min		∞			, вот,

χ = π – 2ξ0

dN – число частиц, рассеиваемых в СЦМ. в ед.вр. на углы, лежащие в диапазоне χ ÷ χ + dχ.

Дифференциальное сечение рассеяния для однородного потока частиц [см2] , где j – плотность потока частиц.

Если связь между χ и ρ взаимно однозначная, то в χ ÷ χ + dχ будут рассеяны только те, у которых ρ(χ) ÷ ρ(χ) + dρ(χ). Это количеств част. прошедш. через кольцо площадью 2πρdρ

поэтому dN = j2πρdρ и

dσ = 2πρdρ = 2πρ(χ) dρd(χχ) dχ


в единицу телесн.угла в СЦМ dω = sinχdχdϕ:		dσ	= ρ(χ)	dρ(χ)	1
		dσ		dρ(χ)	1
		dω		dχ	sin χ
телесные углы dω в СЦМ и dΩ в ЛСК:	dσ(χ) dω = dσ(θ) dΩ (из-за равенства
	dω		dΩ

потоков в обоих СК)

dω = sinχdχdϕ и dΩ = sinθdθdϕ, тогда

2.3	dσ(θ)	= dσ(χ) sin χdχ .
	dΩ	dω sinθdθ	Дифференц. косинус в рамочке			θ
	dΩ	dω sinθdθ	Дифференц. косинус в рамочке
					γ2 sin θcos2
			1−γ2 sin2		γ2 sin θcos2
−sin χdχ = dθ−2γsin θcosθ sin θ				θ

					1−γ2 sin2
					1−γ2 sin2	θ

sin χdχ

= 2γcosθ±

+ γ2 cos 2θ

sin θdθ

1− γ2 sin2 θ

и все вместе

dσ(θ)

dσ(χ)

1+ γ2 cos 2θ

dΩ

dω

2γcosθ±

1− γ2 sin2

γ> 1 имеем два угла рассеяния χ, , два значения dσ(χ)/dω, которым соответствуют знаки + и –

γ< 1 имеем один угол рассеяния χ и одно значение dσ(χ)/dω, которому соответствует знак +.

Что физически соответствует двум углам рассеяния в системе центра масс?

Направлению вектора V1ц, не?

3.1

Сечение рассеяния в кулоновском и обратноквадратичном потенциале.

(все формулы из второго)

Кулоновский потенциал взаимодействия U(r) = α/r

(где α = q1q2)

+ 2 μρv2

−1 = 0

→r

= − μρv2 ±

μ2ρ

2v4

min

∞ min

min

∞

Одному ρ в общем случае соответствуют два rmin.

→ замена переменной:

r +

μρv∞2

μρv∞

1+α2 / μ2ρ2v4

1+α

/ μ

∞

v∞

ξ0 = − ∫

получили табл. интеграл

rmin

xmax

μρv∞2

ξ0 = −

= arccos xmax −arccos xmin

−

− x2

1+α

/ μ

xmin∫

v∞

где

α2

α/ μρv∞2

μ2ρ2v∞4

μρv2

xmin =

= ±1,

xmax =

α2

α2 / μ2ρ2v∞4

α2

min

∞

μ2ρ2v4

2ρ2v4

∞

cosξ0

α/ μρv2

arccos(xmin)=0 и выходит

∞

1+α2 / μ2ρ2v∞4

1+(μρv∞2 / α2 )2

используя cosξ0 =11+ tg2ξ0 получим ρ2 = α2tg2ξ0 μ2v∞4

т.к ξ0 = (π – χ)/2 будет

ρ(χ)=

ctg

μv∞2

dσ = 2πρ(χ)

dp(χ)

dχ

μv

4sin4 (χ / 2)2πsin χdχ

dχ =

∞

Т. к. 2µv∞2 = 4(m1v∞2/2)m2/(m1+m2) = 4E0 /(1+γ), а элемент телесного угла dω = sinχdχdϕ, то

3.2	dσ(χ) = q1q2		2	(1+ γ)
			2		2


	dω
		4E		sin4 (χ/ 2)
		4E		sin4 (χ/ 2)
		0

для перехода в ЛСК понадобится

←Резерфордовское дифференциальное сечение рассеяния(РДС) в кулоновском потенциале.

sin2

1−cos χ

γsin2 θ cosθ

1− γ2 sin2 θ

при γ > 1 РДС имеет вид:

(θ)

2γcosθ±

1+ γ2 cos 2θ

dσ

−

sin

q1q2

4(1

+ γ)

dΩ

4E0

[1+ γsin2 θ cosθ

1−γ2 sin2 θ]2

при γ <1 только верхний знак. при γ << 1 упрощаем

dσp

q q

dΩ

4E0

sin

(θ/2)

найдем дифференциальное сечения рассеяния как функцию переданной энергии E2

E2 = ΛE0 =

4γ

E0 cos2 Φ,

из

Φ =

−

cosΦ = sin

(1+ γ)2

4γ

16γ2

следует

sin

(χ / 2)

(1+ γ)

4γ

2γ

dE2

E0 2sin

cos

2 dχ

E0 sin χdχ

(1+ γ)2

и,следовательно,

sin χdχ =

(1+ γ)2

dE2

2γ

все подставим во все места

q1q2

dσ

(1+ γ)

2πsin χdχ =

sin

(χ / 2)

4E0

16γ

(1+ γ)

q1q2

dE2

(1+ γ)

2π

4E0

2γ

(1+ γ)

При упругом рассеянии в кулоновском потенциале

малые углы рассеяния

dσ(E2 )= πγ(q1q2 )

наиболее вероятны

dE2

E22

- столкновения с малой передачей энергии

3.3

Сечение рассеяния в обратноквадратичном потенциале.

В этом случае U(r) = α2/r2, где α2 = aq1q2 . Т.к. χ = π – 2ξ0, то

2α2

∞ d

∞

µv∞

χ =π + 2 ∫

=π + 2 ∫

2α2

2α

rmin

−

2µ

−

ρ2µv2

2µv∞2

v∞

∞

=π +2∫2

1− x

2α2

ρ2µv2

∞

−

2α2

−

= 0 получаем

из условия

µv∞

rmin

2α2

ρ2µv2

=1,

α .

∞

min

2 2

ρ2µv2

∞

χ =π −

∫1

=π +

2α2

1− x

2α2

2µv

ρ2µv2

∞

π − χ =

(π − χ)

2α2

ρ2µv2

∞

ρ2µv2

∞

2πχ − χ

2 =

2α2

(π − χ)2

ρ2µv2

∞

ρ2 =

2α

(π − χ)2

µv

χ(2π − χ)

∞

	1					1
arccos		=π 1		−		1
arccos		=π 1		−
	0				1	+2α2 / ρ	2	2
	0				1	+2α2 / ρ		µv∞
(π − χ)2			=π 2

т.к dσ = 2πρdρ = π|dρ2|

dσ =

2πα

−

2(π − χ)

−

(π − χ)2

dχ =

µv2

χ(2π − χ)

χ2

(2π − χ)

χ(2π − χ)2

∞

3.4

dσ =

4π3α2

π − χ

dχ

χ2 (2π − χ)2

µv

∞

и наконец

dσ

2π 2α2

π − χ

π 2α2 (1+γ)

π − χ

dω =

sin χ

χ2 (2π − χ)2

sin χ

µv2

χ2 (2π − χ)2

∞

ЛСК:

При γ > 1

dσ(θ)

π2α2 (1+

γ)

dΩ

−χ+

γ2 cos 2θ

2γcosθ+

χ2+

(2π −χ+ )2

sin χ+

1− γ2 sin2

γ2 cos 2θ

−χ−

2γcosθ−

χ−2

(2π −χ− )2

sin χ−

1−γ2 sin2

где

)

χ± = arccos(−γ sin2 θ ±cosθ

1−γ 2 sin2 θ

4.1	Упругое рассеяние иона на атоме при экранированном кулоновском
	потенциале, функция эранирования, Линхард и апроксимации.

Если частицы в процессе рассеяния сблизятся на расстояние меньше радиуса К-оболочек, то процесс рассеяния будет определяться кулоновским взаимодействием ядер с зарядами Z1 и Z2. Для кулоновского потенциала расст. наибольшего сближения d можно определить из условия Екин U(d), т.е. E0 = Z1Z2e2/d и, следовательно, d = Z1Z2e2/E0.

Радиус К-оболочки атома с номером Z2 примерно равен а0 /Z2 , а0– Боровский радиус.

Если d << а0 / Z2, то экранирование ядер электронами будет вносить малую поправку.

для того чтобы потенциал был кулоновский (считаем, Z2 >Z1) необходимо выполнение условия

Z1Z2e2/E0 << а0/Z2.

→нижняя граница по энергии иона для применимости кулоновского потенциала:

E0 >>	Z	Z	e2	=	Z	Z 2	14,4 эВ А	>> 30Z1Z22	эВ.
	1	2			1	2
	1	2				0,529 А
		a0				0,529 А

Другой подход.

Скорость иона m1 должна быть много больше скоростей атомных электронов в атоме m2. Так как скорость электрона на первой боровской орбите vB = e2/ħ = с/137 = 2,2 108 см/с, то для нижней границы применимости кулоновского потенциала получаем (2Е0/m1)1/2 >> vB и, соответственно, E0 >> m1 vB2/2 ~ 100 кэВ для ионов гелия.

Учет ядерных сил необходим если

d < Rядра R0(M2)1/3 = 1,4 10-13 cм (M2)1/3,

верхняя граница применимости кулоновского потенциала E0 << Z1Z2e2/R0M21/3 ~ десятки МэВ для гелия;

Рассеяние на большие углы ионов, описывается Резерфордовским сечением рассеяния (читай можно применятькулоновский потенциал) при малых значениях прицельного параметра, причем ядра сталкивающихся частиц должны сблизиться на расстояние меньшее радиуса К-оболочки.

Если эти условия не выполняются – меньшие энергии ионов, большие прицельные параметры, то надо учесть экранирующее действие электронных оболочек частиц., вводя функция экранирования Φ(r/a), где а –радиус экранирования.

U (r)=	Z	Z	e2	r
	1	2		Φ
		r
				a

особенности Ф(r/a):

при r/а → 0 (малые расстояния сближения) Ф(r/а) → 1, т.к. V(r/а) должен переходить в кулоновский потенциал;

при увеличении r/а, значения U(r/а) меньше, чем у кулоновского потенциала, т.е. Ф(r/а) < 1.

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

2.3	dσ(θ)	= dσ(χ) sin χdχ .
	dΩ	dω sinθdθ	Дифференц. косинус в рамочке			θ
	dΩ	dω sinθdθ	Дифференц. косинус в рамочке
					γ2 sin θcos2
			1−γ2 sin2		γ2 sin θcos2
−sin χdχ = dθ−2γsin θcosθ sin θ				θ

					1−γ2 sin2
					1−γ2 sin2	θ

2.3	dσ(θ)	= dσ(χ) sin χdχ .
	dΩ	dω sinθdθ	Дифференц. косинус в рамочке			θ
	dΩ	dω sinθdθ	Дифференц. косинус в рамочке
					γ2 sin θcos2
			1−γ2 sin2		γ2 sin θcos2
−sin χdχ = dθ−2γsin θcosθ sin θ				θ

					1−γ2 sin2
					1−γ2 sin2	θ

2.3	dσ(θ)	= dσ(χ) sin χdχ .
	dΩ	dω sinθdθ	Дифференц. косинус в рамочке			θ
	dΩ	dω sinθdθ	Дифференц. косинус в рамочке
					γ2 sin θcos2
			1−γ2 sin2		γ2 sin θcos2
−sin χdχ = dθ−2γsin θcosθ sin θ				θ

					1−γ2 sin2
					1−γ2 sin2	θ