Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс
.pdf29.3. Таблица основных неопределенных интегралов
Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное диф
ференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления
(таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного
интеграла.
Например, так как
d(sin и)= cosu · du,
то |
Jcos иdu = Jd(sin и) = sin и + С. |
|
Вывод ряда формул таблицы будет дан при рассмотрении основных
методов интегрирования.
Интегралы в приводимой ниже таблице называются таб.ли'Чнымu. Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных
функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения
первообразных (т. е. интегрирования функции) сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Сле
довательно, необходимо знать табличные интегра.,-~ы и уметь их узна
вать.
Отметим, что в таблице основных интегралов переменная инте грирования и может обозначать как независимую переменную, так и
функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантно сти формулы интегрирования).
В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться, взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтеграль
ному выражению в левой части формулы.
Докажем, например, справедливость формулы 2. Функция l опре
и
делена и непрерывна для всех значений и, отличных от нуля.
Если и > О, то ln lиl = |
ln и, |
тогда dln lиl = |
dln и= |
du. Поэтому |
||
Jd: = ln и+ С = ln lиl +С при и > О. |
|
|
|
и |
||
|
|
|
|
|||
Если и< О, то lnjuj = ln(-u). Но dln(-u) |
|
|
du. Значит, |
|||
J~и= ln(-u) +С= ln lиl +С при и< О. |
|
|
-и |
и |
||
|
|
|
|
|||
Итак, формула 2 верна. |
|
|
|
|
|
|
Аналогично, проверим формулу 15: |
|
|
|
|
||
d(-a1 arctg~a+c) |
1 |
1 |
.!du- |
du |
|
|
|
а 1 + (~)2 а |
- |
а2 + и2 · |
230
Таблица основных интегралов
а+1 |
|
1. 1и°' du = ~ + 1 |
+С (а -f; -1) |
2. J~ = ln lиl +С;
з.Jаиdи= аи +С· lna '
4. / еиdu = еи +С;
5./ sinudu = -cosu +С
6.Jcos иdu = sin и + С
7. |
/ |
tgudu = - |
ln 1cosul +С; |
||||||
8. |
/ |
ctg иdu = ln 1sin иl + С; |
|
||||||
9. |
/ |
du |
|
= tg и + С |
|
|
|
||
|
|
cos2 и |
|
|
|
|
|
|
|
10. |
J~ = -ctgu+C |
|
|
||||||
|
|
sш и |
|
|
|
|
|
|
|
11. Js~шии |
= ln jtg 2 |
+С·, |
|
|
|||||
|
Jcosu |
|
|
Y.j |
|
|
|
|
|
12. |
|
= ln |
2 |
|
zr.)4 |
|
+С·, |
||
|
|
__dy,_ |
|
|
ltg(Y. + |
|
1 |
|
(/ shudu = chu +с);
(/ chudu = shu +с);
(/ |
dи |
и |
= th и + с); |
|
сh2 |
|
|
(/ |
du |
|
= - cth и + с); |
sh2 u |
|
13. / |
du |
= arcsin У.+ С; |
|
Ja2 _ u2 |
а |
14. / |
|
du |
|
а2 |
= ln !и+ ../и2 |
+ а21 +С; |
|||
|
|
Ju2 |
+ |
|
|
|
|||
15. |
/ |
|
du |
|
|
= 1 arctg У. + С; |
|||
|
|
а2 + и2 |
|
а |
а |
|
|||
16. |
J |
2 du |
u |
2 |
= ...1. . ln 1 а + и1 + С; |
||||
|
|
а |
- |
|
|
2а |
а - и |
|
|
17. |
/ ../а2 - |
|
u2 du = ~ ·J а2 - |
u2 + ~ arcsin ~ + С; |
|||||
18. |
J Ju2 ± а2du = ~ · Ju2 ± а2 ± 2 ln jи+ Ju2 ± a2j +С. |
231
§30. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
30.1.Метод непосредственного интегрирования
~Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем то-
ждественных преобразований подынтегральной функции (или вы
ражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводит ся к одному или нескольким табличным интегралам, называется не
посредственным интегрированием.
При сведении данного интеграла к табличному часто используют
ся следующие преобразования дифференциала (операция «подведения
под знак дифференциала»):
du = d(u +а), а - число,
1 |
число, |
dи = -d(аи), а =i- О - |
|
а |
|
1
и· dи = "2d(и2),
соsиdи = d(sinи), sin и du = -d(cosи),
-1 du = d(ln и),
и
1
-2-dи = d(tgu). cos и
Вообще, f1(u) du = d(f(и)), эта формула очень часто используется при
вычислении интегралов.
Пример'Ы:
1) / |
dx |
|
= |
Jd(x + 3) |
= ln !х + 3/ +С (формула 2 таблицы инте- |
|||||||||||||
х + 3 |
|
х |
+ |
3 |
||||||||||||||
гралов); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) J(3х - |
1)24 dx |
= |
~J(Зх - |
1)24 d(3x - |
1) |
|
|
1 |
(3х - 1) |
25 |
||||||||
|
|
3 |
25 |
+с |
||||||||||||||
(формула 1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) / |
ctg |
|
х dx = J |
1 - |
sin |
2 |
|
1 |
- |
1) |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SШ |
Х |
|
SШ Х |
|
|
|
SШ |
Х |
|||
-Jdx = -ctgx -х +С (формулы 10 и 1); |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4)/ |
|
dx |
|
|
_J_J |
|
|
d(v'з·x) |
= |
- |
|
· arcsш-- +С |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. v'з·х |
|
|
v14- 3х2 |
- vГз |
|
J(2)2 _ (vГз. х)2 |
|
vГз |
|
2 |
|
(формула 13);
232
|
5) |
J sin2 |
6хdx |
= ~J (1 - |
cos 12х)dx |
= ~J dx - |
|
~J cos 12хdx |
= |
|||||||||||||||||||||
= |
1 |
11 |
cos 12х d(12x) · |
1 |
1 |
х - |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2х - |
2 |
|
|
12 |
= 2 |
24 sш12х +С (формулы 1 и 6); |
||||||||||||||||||||||||
|
6) |
J |
|
|
|
|
dx |
|
|
_ |
_ !J(x-1)-(x+2)dx _ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
(х - |
|
l)(x + 2) |
- |
|
3 |
|
(х - |
|
l)(x + 2) |
|
- |
|
|
|
|
||||||||||||
= - !J |
|
|
х-1 |
|
dx+!j |
|
х+2 |
|
|
dx= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
(x-l)(x+2) |
|
|
3 |
(x-l)(x+2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 J |
d(x + 2) |
|
1 J |
d(x - |
1) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= -3 |
|
х |
+ 2 |
|
+ |
3 |
|
х |
_ 1 = |
-3 ln lx + 21 + |
З ln lx - 11 +С; |
|
||||||||||||||||||
|
7) ! tgudu = ! |
sin udu |
= - |
J d(cosu) |
= -lnlcosul +С (вывод |
|||||||||||||||||||||||||
|
cosu |
|
|
|
|
cosu |
|
|||||||||||||||||||||||
формулы 7); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
du |
|
= J |
cos2 1!. + |
sin2 1!. |
|
|
|
|
|
|
cos2 1!. |
|
|
du + |
|
|
|
|||||||||
|
8) j -- |
|
|
2 |
|
|
2 du = j |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
sin и |
|
|
|
|
2 sin ~ cos ~ |
|
|
|
|
|
2 sin ~ cos ~ |
|
|
|
|
||||||||||||
+ |
|
sin2 |
~ |
|
|
|
|
_ |
j |
|
и |
(и) |
+ |
J и (и) _ |
|
J · |
и1 |
- |
|
|||||||||||
/ 2 sin 1!. cos 1!. du - |
|
ctg 2 d 2 |
|
|
tg |
2 d 2 |
- |
ln sш |
2 |
|
||||||||||||||||||||
- |
|
и21 |
|
|
|
2 |
= ln |
1sin1!.1 |
+С = ln |
J |
tg |
иJ |
+С (вывод |
|
|
|
||||||||||||||
ln 1cos "2 |
|
+С |
|
cos; |
|
|
2" |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
формулы 11); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
9) |
Jх(х + 2) 9 dx = J (х + 2 - |
2)(х + 2) 9 dx = J(х + 2) 10 dx - |
|
||||||||||||||||||||||||||
- |
2 J (х + 2) 9 dx = j (х + 2) 10 d(x + 2) - |
2 j (х + 2) 9 d(x + 2) = |
|
|||||||||||||||||||||||||||
= |
(х + 2) 11 |
|
|
(х + 2) 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11 |
|
|
- |
2 |
|
10 |
|
+С (формула 1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
10) / |
|
|
|
|
dx |
2 |
= - |
j |
(ctgx)- 5 d(ctgx) = - |
ctg-4 x |
+с= |
|
|||||||||||||||||
|
|
ctg |
5 |
|
|
. |
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
Х • SШ |
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 ctg4 х +С (формула 1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ll) |
j |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
_ |
j |
|
|
dx |
|
|
|
|
_ J |
|
|
|
d(x - 1) |
= |
|||||
|
|
|
|
J3-2x+x2 |
- |
|
|
J2+(x-1) 2 - |
|
j(-/2)2+(x-1)2 |
|
|||||||||||||||||||
= lnjx -1 + J3 - 2х + x2 J |
+С (формула 14); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
12) j |
(4х3 |
- |
|
- |
- |
+ 31-х) dx = 4/ х3 dx - |
~ J |
|
d( x) |
- |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 2х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
cos2 2х |
|
|
|||||
|
/ 31-х d(l - |
х) = х4 |
5 |
|
|
|
31-х |
+С (формулы 1, |
|
|
|
|||||||||||||||||||
- |
- "2 tg2x - |
|
lnЗ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
9, |
3); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
233
13) Jх3 • \11+x2 dx= j(1+x2 )!·x·(x2 +1-1)dx= ~J(1 + x2 )i d(1 + х2) - ~ j(l + х2)!d(1 + х2)
3 |
27 |
3 |
24 |
= 14(1+х )з- 8 |
(1+х )з+с. |
Как видно, вычисление интегралов иногда требует некоторой изо бретательности, так сказать, «индивидуального подхода к каждой по
дынтегральной функции».
Соответствующие навыки приобретаются в результате значитель
ного числа упражнений.
30.2.Метод интегрирования подстановкой
(заменой переменной)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении но
вой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом задан
ный интеграл приводится к новому интегралу, который является та
бличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки).
Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно
определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл JJ(x) dx. Сделаем подста
новку х = ip(t), где r.p(t) - функция, имеющая непрерывную производ
ную.
Тогда dx = ip'(t) dt и на основании свойства инвариантности фор
мулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования nодстановкоii
I/ f(x) dx = Jf(ip(t)) · r.p'(t) dt., |
(30.1) |
Формула (30.1) также называется формулой замены переменных в не
определенном интеграле. После нахождения интеграла правой части
этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х.
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t = ip(x), то-
гда Jf(r.p(x)) · rp'(x) dx = Jf(t) dt, где t = r.p(x). Другими словами,
формулу (30.1) можно применять справа налево.
Пример 30.1. Найти Jeci dx.
Q Решение: Положим х = 4t, тогда dx = 4 dt. Следовательно, |
|
Jе{ dx = 4 Jet dt = 4et + С = 4е{ + С. |
8 |
234
Пример 30.2. Найти j х · ./х - 3dx.
Q Решение: Пусть ./х - |
3 = t, тогда х = t 2 + 3, dx |
= 2t dt. Поэтому |
|
||||||||
j х · vх - 3 dx = j (t2 + 3) · t · 2t dt = |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t5 |
t3 |
+С= |
|
= 2 !(t4 + 3t2) dt = 2 !t4 dt + 6 ! t2dt = 2 · 5 |
+ 6 · 3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= ~(х - 3)512 + 2(х - 3) 312 +С. 8 |
||||||
Пример 30.3. |
Получить формулу |
|
|
|
|
|
|||||
! |
du |
|
= Iniu + Ju2 + а21 +С. |
|
|
||||||
./u2 |
+ а2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О Обозначим t = ./и2 + а2 |
+и (подстановка Эйлера). Тогда |
|
|||||||||
2и |
du+du, |
т.е. |
|
./и2 + а2 +и |
du. |
|
|||||
dt= |
+ а2 |
dt= |
yu2 + а2 |
|
|||||||
2уи2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда |
du |
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Стало быть, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
= j |
dt = ln ltl + С = ln \и+ |
Jи2 + a2I+ С. |
• |
|||||||
! ./u2 + а2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 30.4. |
Найти j х · (х + 2) 100 dx. |
|
|
|
|
||||||
Q Решение: Пусть х + 2 = t. Тогда х = t - |
2, dx = dt. Имеем: |
|
|||||||||
j х · (х + 2) 100 dx = j (t - |
|
2) · t 100 dt = j |
t 101 dt - |
2 j t 100 dt = |
|
||||||
tlo2 |
|
tlOl |
|
(х + 2)102 |
2(х + 2)101 |
• |
|||||
= 102 - |
2 . 101 + с = |
102 |
- |
101 |
+ с. |
||||||
Пример 30. 5. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
Найти ! -- . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
еХ + |
1 |
|
|
|
|
|
|
Q Решение: Обозначим ех = t. |
Тогда х = ln t, dx = ~t. Следовательно, |
|||||||||||||
dx |
|
!!l. |
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
Jех+ 1 = Jt ~1 = Jt(t + 1) = Jt2 + t = |
|
|
|
|
||||||||||
-! |
dt |
- |
- |
! |
1 |
d(t + ~) |
1 |
- |
1 |
l |
1~+t+~1 |
с - |
||
- |
1 |
1 - |
|
|
|
- |
---1 |
n |
1 |
1 + |
- |
|||
(t+2)2-4 |
|
|
(2)2-(t+2)2 |
|
2·2 |
|
2 - t - 2 |
|
235
|
= - ln |
t+11 |
1 t |
1 |
ех |
|
|
1-- |
= ln -- |
= ln -- +С. |
|
||
|
|
-t |
f + 1 |
|
еХ + 1 |
8 |
Здесь используется формула 16 таблицы основных интегралов. |
||||||
30.3. Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|||
Пусть и = и(х) и v |
= v(x) - |
функции, имеющие непрерьшные |
||||
производные. Тогда d(uv) |
=и· dv + v · du. Интегрируя это равенство, |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
,.....j_d_(_u_v_)_=_j_u_d_v_+_j_v_d_u |
и_л_и |
j_u_d_v_=_u_v___j_v_d_u---,., |
|
~Полученная формула называется фор.му.л.оfi. интегрирования по част.ям. Она дает возможность свести вычисление интегра-
ла j иdv к вычислению интеграла j v du, который может оказаться
существенно более простым, чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное вы ражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в
виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, мож
но осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту фор
мулу приходится использовать несколько раз.
Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять
методом интегрирования по частям.
JP(x)ekx dx, JР(х)·sinkx dx, j Р(х) coskxdx,
где Р(х) - многочлен, k - число. Удобно положить и= Р(х), а за dv
обозначить все остальные сомножители.
2. Интегралы вида jP(x)arcsinxdx, jP(x)arccosxdx,
j P(x)lnxdx, j P(x)arctgxdx, j P(x)arcctgxdx. Удобно положить
Р(х) dx = dv, а за и обозначить остальные сомножители.
3. Интегралы вида j еах · sin Ьхdx, j еах · cos Ьх dx, где а и Ь -
числа. За и можно принять функцию и = еах.
Пример 30.6. Найти j(2x + 1)е3х dx.
Q Решение: Пусть [ ud =_2xз~dl :: |
dи_=j2d~d |
_ |
1 зх ] (можно |
|
v - е х ~ |
v - |
е |
х - |
3е |
положить С= О). Следовательно, по формуле интегрирования по ча
стям:
/ |
(2x+l)e3x dx = (2х+1)·..!.езх_j ..!.e3x2dx = ..!_(2x+l)e3x-~e3x+c. 8 |
|||
|
3 |
3 |
3 |
9 |
236
При.мер 30.7. Найти jinxdx.
Q Решение: Пусть |
[ |
и = ln х |
===} |
du = 1 dx ] |
. Поэтому |
|
||
dv = dx |
|
|
|
х |
|
|||
|
|
===} |
v = х |
|
|
|||
j ln хdx = х· ln х - j х· ~dx = х· ln х- х+ С. |
8 |
|||||||
Пример 30.8. |
|
Найти j |
х2ех dx. |
|
|
|
||
Q Решение: Пусть |
[ |
dи= х2х d |
===} |
du = х2xdx ] • Поэтому |
|
|||
|
|
v=e |
х |
===} |
v=e |
|
|
|
|
j |
х2ех dx = х2ех - |
2 j ех · xdx. |
(30.2) |
||||
Для вычисления интеграла j |
еххdx снова применим метод интегриро |
|||||||
вания по частям: и = х, dv = ех dx |
===} |
du = dx, v = ех. Значит, |
|
|||||
j ех · хdx = х · ех - |
j |
ех dx = х · ех - |
ех + С. |
(30.3) |
||||
Поэтому (см. (30.2)) |
|
j х2ех dx = х2ех - |
2(х · ех - |
ех +С). |
8 |
|||
Пример 30.9. |
|
Найти j |
arctgxdx. |
|
|
и = arctg х
Q Решение: Пусть [
dv = dx
===} |
du = ~ dx ] |
. Поэтому |
|
|
1 |
+ х |
|
===} |
v = х |
|
|
|
х |
1 j |
d(1 + х2) |
|
! arctg х dx = х · arctg х - ! 1 + х2 dx = х · arctg х - |
2 |
1 + х2 |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
= xarctgx - 2in(l + х2) +С. |
8 |
||
§ 31. |
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ |
|
|
|
31.1. |
ФУНКЦИЙ |
|
|
|
Понятия о рациональных функциях |
|
|
|
|
Многочлен (некоторые св~ения справочного характера) |
|
|||
Функция вида |
|
|
|
|
|
Pn(x) = aoxn + a1xn-l + ···+ an-lX + an, |
(31.1) |
~ где п - натуральное число, ai (i =О, 1, ... , п) - постоянные коэф
фициенты, называется многоч.л.еном (или целоit рацuонал.ьноi& функциеi&). Число n называется степенью многочлена.
237
~Корнем много-чд,ен.а (31.1) называется такое значение х0 (во
обще говоря, комплексное) переменной х, при котором многочлен
обращается в нуль, т. е. Рп(хо) =О.
Теорема 31.1. Если х1 есть корень многочлена Рп(х), то многочлен
делится без остатка на х - х1 , т. е.
Рп(х) = (х - х1) · Pn-1(x), |
(31.2) |
где Pn-1 (х) - многочлен степени (п - 1).
Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Положи
тельный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.
Теорема 31.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен п-й степени (п >О) имеет по крайней мере один корень, действительный
или комплексный.
Доказательство этой теоремы мы не приводим.
Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разло
жении многочлена на линейные множители.
Теорема 31.3. Всякий многочлен Рп(х) можно представить в виде
Рп(х) = ао(х - х1)(х - х2) ... (х - Xn), |
(31.3) |
где х1, х2, ... , Xn - корни многочлена, а0 - коэффициент многочле
на при xn.
Q Рассмотрим многочлен (31.1). По теореме 31.2 он имеет корень. Обо
значим его через х1 • Тогда имеет место соотношение (31.2). А так как
Pn-1(x) - также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через х2. Тогда Pn-1 (х) = (х-х2) ·Pn-2(x), где Pn-2(x) - многочлен (n-2)-й степени. Следовательно, Pn(x) = (х - х1)(х - x 2)Pn- 2 (x).
Продолжая этот процесс, получим в итоге:
Pn(x) = ао(х - х1)(х - х2) |
... (х - Xn)· |
• |
|
~Множители (х - Xi) в равенстве (31.3) называются д,uн.еi&н.ЪtМu
мн.о;нсиmел..ями.
Пример 31.1. Разложить многочлен Р3(х) = х3 - 2х2 - х + 2 на
множители.
238
Q Решение: Многочлен Р3( х) = х3 - 2х2 - х +2 обращается в нуль при
х = -1, х = 1, х = 2. Следовательно,
х3 - |
2х2 - х + 2 = (х + 1)(х - |
l)(x - |
2). |
• |
|
|
|||||
Пример 31.2. |
Представить выражение х3 - |
х2 + 4х - 4 в виде |
|||
произведения линейных множителей. |
|
|
|
||
Q Решение: Легко проверить, что |
|
|
• |
||
х3 - |
х2 + 4х - 4 = (х - 1)(х - |
2i)(x + 2i). |
|||
|
Если в разложении многочлена (31.3) какой-либо корень встретил ся k раз, то он называется корнем кратности k. В случае k = 1 (т. е. корень встретился один раз) корень называется просm'Ьtм.
Разложение многочлена (31.3) можно записать в виде
(31.4)
если корень х1 имеет кратность ki, корень Х2 - кратность k2 и так
далее. При этом k1 + k2 + ···+ kт = п, а r - число различных корней. Например, разложение
Рв(х) = (х - 3)(х + l)(x - 4)(х - 3)(х - 3)х(х - 4)(х - 3)
можно записать так:
Рв(х) = (х - 3)4 ·(х+1) · (х - 4)2 • х.
Пользуясь теоремой 31.3, можно доказать следующие утвержде-
ния.
Теорема 31.4. Если многочлен Рп(х) = aoxn + a1xn-l + ···+ an
тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.
Теорема 31.5. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэф фициентам другого.
Например, если ах3 + Ьх2 + сх + d =х3 - 3х2 + 1, то а = 1, Ь = -3,
с= о, d = 1.
239