978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

Разность f(x) – f(х0)= f(х0 + Dх) – f(х0) называют приращени- ем функции у = f(x) в точке х0, соответствующим прираще- нию аргумента Dх, и обозначают Df(х0) или Dу, то есть Df(х0) = = f(х0 + Dх) – f(х0). Геометрический смысл приращения аргумента и приращения функции показан на рис. 74.

Пример 3. Найти приращение функции f (x ) = 2x2 − 1 в точке

х0 =1,соответствующееприращениюаргумента:1)Dх=1;2)Dх=–2; 3) Dх = 0,1; 4) Dх = –0,1.

 Пользуясь выражением для f(x), имеем:

Скорость изменения функции в точке x0 называют производ- ной функции в этой точке.

Производной функции у = f(х) в точке x0 называется

предел отношения приращения функции f(х0 + ∆х) –

– f(х0) в точке х0 к приращению аргумента ∆х, когда ∆х стремится к нулю.

142 Раздел 3. Производная и ее приложения

Функция, имеющая производную в точке х0, называется диф-

ференцируемой в этой точке.

Функция, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом проме-

жутке.

Пусть функция y = f (x) дифференцируема на некотором про-

межутке, то есть в каждой его точке х определено значение произ- водной f ′(x). Этим самым на рассматриваемом промежутке зада- ется функция, которая называется производной функции f(x) и обозначается у = f ′(x).

Операция нахождения производной функции называется

дифференцированием.

Из определения производной в точке вытекает ее физический смысл.

Если функция является законом изменения некоторой

физической величины, то ее производная является мгновен­ ной скоростью изменения этой величины. В частности, если

х = х(t) — закон прямолинейного движения точки, то х′(t) — ско- рость движения точки.

Для нахождения производной функции в точке х0 обычно ис- пользуют следующую схему.

1.Находят приращение функции ∆f(x0), соотвествующее прира- щению аргумента ∆х.

2.Делят приращение функции∆f(x0) на приращение аргумента∆х.

3.Находят предел полученного выражения при ∆х, стремящем- ся к нулю.

Приведем примеры нахождения производных некоторых фун- кций.

Пример 4. Доказать, что производная постоянной функции y = c в каждой точке числовой оси равна нулю, то есть (с)′ = 0.

 1) Возьмем произвольную точку х0 и приращение аргумента ∆x. Найдем соответствующее приращение функции y = c :

y(x0 + x) − y(x0 ) = с – с = 0.

Пример 5. Найтипроизводнуюлинейнойфункции f (x) = kx + b

впроизвольной точке числовой оси.

1) Возьмем произвольную точку х0 и приращение аргумента ∆x. Найдем соответствующее приращение функции y = kx + b :

f (x0 ) = f (x0 + x) − f (x0 ) = k(x0 + x) + b − kx0 − b = k x .

2) Средняя скорость изменения функции, если х изменяется от

стоянной и равняется коэффициенту при х.

Найденный результат следовало ожидать, так как линейная функция описывает равномерное движение, скорость которого по- стоянна. g

Пример 6. Найти производную функции y = x2 .

 1) Пусть ∆x — приращение аргумента в произвольной точке

от решения предыдущих примеров. Две последние формулы будут обоснованы ниже. Эти формулы, а также производные, найденные в примерах 4 – 6, в последующем будут часто использоваться.

Пример 7. Точка совершает гармонические колебания по за- кону x = sin t, где x — координата точки, t ≥ 0 — время движения. Найти:

1)среднюю скорость движения точки на промежутке времени 0; 6π ;

2)скорость движения в момент времени t = p6 .

занного расположения точки М. Получили: х′(t) = – sin t или

(cos t)′ = – sin t.

Мы рассмотрели случай, когда точка М находилась в первой

координатной четверти. Аналогичные рассуждения можно прове- сти для любого расположения точки М.

Из курса физики известно, что важной характеристикой дви- жения материальной точки является ускорение. Математиче-

ский смысл этого понятия выясним с помощью производной.

Пусть точка движется вдоль координатной прямой по закону х = х(t). Тогда скорость ее движения v(t) является производной

функции х(t): v(t)= х′(t). Так как скорость v(t) сама является фун-

кцией времени, то можно говорить о скорости ее изменения. В фи-

зике скорость изменения скорости называется ускорением.

Как и при введении понятия мгновенной скорости, будем иметь в виду, что ускорение а(t) в момент времени t равно пределу выра-

как говорят, ускорение движения является второй произ- водной координаты точки по времени, или производной

второго порядка.

Производную второго порядка функции у = f(x) обозначают у′′,

или f ′′(x), или dxd2 f2 (читается: «дэ два эф по дэ икс дважды). Материальная точка движется по закону

x= t2 − 3t + 2 , где х — координата, м; t — время, с. Найти скорость

иускорение точки в момент времени t = 4 с.

Для определения скорости найдем производную (или пер- вую производную) данной функции при t = 4 с:

v(t) = x′(t) = 2t − 3; v(4) = 2 4 − 3 = 5 м/с.

Ускорение равно второй производной функции х = х′(t), то есть

a(t) = v′(t) = (2t − 3)′ = 2 м/с2.

Оказалось, что в данном случае ускорение постоянно для про- извольного значения t, то есть точка движется равноускоренно. g

Ответ. 2 м/с2.

Воспользовавшись понятием производной второго порядка, один из важнейших законов физики — второй закон Ньютона — можно записать так:

0?

5.Угловую скорость равномерного вращения определяют как отношение угла поворота к соответствующему промежутку времени. Что понимают под угловой скоростью неравномер- ного вращения?

6.При нагревании тела изменение его температуры описывается законом Т = 0,4t + 1, гдеТ — температура, К; t — время, с. С ка- кой скоростью нагревается тело?

Материальная точка движется прямолинейно по закону cos t. В каком направлении (в направлении координатной оси или в противоположном) движется точка в моменты вре-

мени t1 = 1, t2 = 3, t3 = 4?

4. Геометрический смысл производной

Нам известен физический смысл производной – это скорость изменения функции в заданной точке. Вы- ясним теперь геометрический смысл производной.

Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x0. Через

точки ее графика М0(x0; f(x0)) и М(x; f(x)), где х = x0 + ∆x, проведем прямую (рис. 77). Прямую, проходящую через две точки графика функции, называют секущей к графику. Из треугольника MM0Р найдем угловой коэффициент секущей M0M:

промежутке [x0; x] равна тангенсу угла наклона секущейM0M к оси х. Устремим теперь точкухк точкех0. Тогда точкаМ(x;f(x)), двигаясь по графику функции, приближается к точке М0 (x0; f(x0)) (рис. 78). Мы видим, что секущая поворачивается вокруг точкиM0. Ее угловой

коэффициент, равный f (x) − f (x0 ) , стремится к f ′(х0) при х, стремя- x − x0

щемся к х0. Следовательно, предельным положением секущейM0M будет некоторая прямаяM0N, проходящая через точкуМ0 (x0; f(x0)) и имеющая угловой коэффициентf ′(х0). Эта прямая называетсякаса- тельной к графику функции y = f (x) в точкеМ0.

Приведенные выше рассуждения позволяют сделать вывод.

Производная функции y = f (x) в точке x0 равна угло­

вому коэффициенту касательной, проведенной к гра­ фику этой функции в точке с координатами (х0; f(x0)).

Это и есть геометрический смысл производной. Пользуясь им, можно по графику функции определять знак производной в точ- ке, вычислять ее значения, хотя бы приближенно. Например,

графику параллельна оси х (рис. 81). Аналогично, v(1) = x′(1) = 0

(касательная в точке с абсциссой х = 1 совпадает с осью абсцисс!). 4) v(2,5) > v(1,5). Чтобы убедиться в этом, изобразим касательные

к графику функции в точках с абсциссами 1,5 и 2,5, то есть в точкахВ и С, и сравним тангенсы углов их наклона к осих (рис. 82).

5) Сравнив угол наклона к оси х секущей АВ с углом наклона к этой оси касательной в точкеВ, получим: v(2,5) > vср[0; 2,5] (рис. 83).

6) На промежутках [0; 1] и [3; 6] координата точки уменьшает- ся с увеличением времени. Поэтому на этих промежутках точка двигалась в отрицательном направлении координатной оси.

7) На промежутках (0; 1) и (3; 6) касательные образуют с осью х тупые углы, поэтому производная на этих промежутках отрица- тельна и скорость движения – также. g

Пример 10. Найти угол наклона касательной к графику функ-

Ответ. 3π .

Найдем уравнение касательной к графику диффе-

ренцируемой функции y = f (x) в точке М0(x0; f(x0)).

Будем искать это уравнение в виде у = kx + b. Так как искомая прямая проходит через точку М0, то

выполняется равенство f(x0) = kx0 + b. Отсюда b = f(x0) – kx0. Поэто- му уравнение касательной имеет вид: у = kx + f(x0) – kx0, или у = f(x0) + k(x – x0). Так как угловой коэффициент касательной в точке (х0; f(x0)) равен производной f ′(x0), то окончательно получим:

y = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ).

Это и есть искомое уравнение касательной к графику функции в точке с координатами (x0; f(x0)).

Пример 11. Найти уравнение касательной к графику функ- ции f (x) = x :

1)в точке с абсциссой х0 = 9;

2)в точке пересечения графика с прямой у = 2;

3)если касательная наклонена к оси х под углом 45°.

1) Так как f (9) = 3, f ′(x) = 21x , f ′(9) = 16 , то, подставив эти

значения в уравнение касательной, имеем: y = 3 + 16 (x − 9) , или