Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский государственный университет геосистем и технологий

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Математика.Павловская О.Г., Плюснина Е.С

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

2.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Рис. 30

ТЕМЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЩИТЕ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

1.Определение и геометрический смысл производной.

2.Таблица основных производных.

3.Правила дифференцирования.

4.Логарифмическое дифференцирование.

5.Производная неявной и параметрически заданной функции.

6.Производные второго и более высоких порядков.

7.Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ролля, Лагранжа и Коши.

8.Правило Лопиталя – Бернулли.

9.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

10. Формула Маклорена для функций e x, sinx , cos x , ln 1 x , 1 x m .

11.Необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции.

12.Экстремумы функции. Необходимые условия экстремума, достаточные признаки существования экстремума функции.

13.Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.

14.Выпуклость (вогнутость) кривой. Признаки выпуклости (вогнутости) графика функции.

15.Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.

16.Вертикальные и наклонные асимптоты.

17.Общая схема исследования функции и построение ее графика.

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

Пример 1. Найдите производную yxданных функций:

2x 2

x 1

а)

;

б) y ln sin 1

x ; в)

;

ln x

г)

y 1 cos x x5;

д) sin( xy) cos(x

2 y)

y 2

0 ;

е)

cos t .

t 2

sin t

Решение

а) Данная функция сложная, воспользуемся последовательно формулами: производная дроби, производная степенной функции:

2x2 x 1

2x2

x 1

2 4x

x 1

2 4x

4x 1 2 4x 2x2

x 1

4x 1 2 4x 2x2

x 1

4x 1 2 4x 2 2x2

x 1

8x 16x2

2 4x 4x2 2x 2

2 4x 3

12x2

6x 2x 1

4 1 2x

2 1 2x

Ответ: y

2 1

б) Данная функция сложная, воспользуемся последовательно формулами: производная логарифма, производная синуса, производная степенной функции.

sin

cos 1

1 x

y ln sin 1 x

ctg 1 x

sin

2 1

	1			ctg	1			x	.
ctg 1 x


2	1 x		2		1		x

Ответ: y		ctg	1		x	.

	2		1 x

в) Преобразуем квадратный корень в степень:

					1
	x	1	x	1
y	x	1	x	1	2 .

	ln x	3	ln x	3
	ln x	3	ln x	3

Данная функция сложная, воспользуемся последовательно формулами: производная степенной функции, производная дроби, производная логарифма.

y	1	x	1

	2	ln x	3
	2	ln x	3

1	1				1
		x 1	1	x 1		x 1 ln x 3 x 1 ln x 3
2		x 1	1	x 1	2	x 1 ln x 3 x 1 ln x 3
		ln x 3	2	ln x 3		ln x 3 2

ln x

1 x 1

1 ln x 3 x ln x 3 x 1

ln x 3 2

2 ln x 3

x 1

x ln x 3 2

x ln x 3 x 1

x ln x 4x 1

2x (x

1) (ln x

3)3

(ln x

3)3

Ответ:

x ln x

(ln x

3)3

г) Данная функция относится к виду показательно-степенной функции y u v. Для нахождения ее производной прологарифмируем данную функцию:

ln y x5 ln 1 cos x .

Дифференцируем левую и правую часть этого равенства, при этом в левой части используем производную сложной функции, а в правой –

производную произведения:

5x4 ln 1

cos x

sin x .

cos x

Решаем полученное уравнение относительно у :

5x4 ln 1

cos x

sin x

cos x

Заменяя y на

cos x x5 , получаем:

cos x x5

5x4

ln 1

cos x

sin x

cos x

Ответ:

cos x x5

5x4 ln 1

cos x

sin x

cos x

д) Данная функция задана неявно. Находим производную от левой части равенства, рассматривая при этом у как функцию от х. Затем из полученного равенства выражаем искомую производную у :

cos (xy) x y

sin( x 2 y) (x 2 y) y 2

0 ;

cos(xy) 1 y

x y

sin(x

2y)

2y )

y 0;

y cos (xy)

x y cos (xy)

sin(x

2y)

2y sin(x

2y)

2y y 0 ;

x cos (xy)

2 sin(x

2y)

y cos (xy)

sin(x

2y) ;

sin( x

2 y)

y cos(xy)

x cos(xy)

2sin( x

2 y)

2 y

Ответ:

sin( x

2 y)

y cos(xy)

x cos(xy)

2sin( x

2 y) 2 y

е)

Данная

функция

cos t

задана

параметрически. Производная

t 2

sin t

данной

функции

находится

по

формуле

. Продифференцируем по

переменной t:

(cos t)

sin t ;

(t 2 )

(sin t)

cos t .

Тогда yx

cost

sin t

Ответ:

cost

sin t

Пример 2. Составьте формулу Тейлора с остаточным членом в форме

Лагранжа для функции

в точке

3 .

f (x)

Решение

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для

произвольной функции y

f (x) имеет вид

f (x)

f (a)

(a)

(x a)2

f (a)

a)3 ...

f (n) (a)

(x a)n

f (n 1) ( )

(x a)n 1,

1)!

где

(x a) , 0

Для составления формулы Тейлора найдем производные данной функции

до n-го порядка включительно и их значения в точке a

3 :

f (3)

3 2

f (x)

;

(3)

;

(x)

3 / 2

(3)

;

1 1

2)3 ;

f	(x)		1	1	3		(x	2)	5 / 2				f (3)	1 3		3	;
									5 / 2						3	8
			2	2	2									2
			2	2	2									2
				1 2	1 3


								;
				23		(x	2)5	;
	IV		1	1	3		5			7 /	f	IV	(3)	1 3 5			15	;
f		(x)	1	1	3		5	(x	2)			IV
														2 4			16
			2	2	2		2
			2	2	2		2
				1 3	1 3 5


								;
				24		(x	2)7	;

		f		n		x				1	n	1 1 3 5 ...						2n	3				f		п	3		1		п		1 1 3 5 ...							2п 3

														2n			x	2 2n 1												.							2п
														2n			x	2 2n 1																			2п
											.
											.
	Найдем производную (n + 1)-го порядка для остаточного член в форме
Лагранжа:
		f		(n 1)			(x) ( 1)					n 1 3			5 ... (2 n				1)			f	(n 1)			( ) ( 1)				n		1 3		5 ... (2 n					1)

													2n 1				(x 2)2 n 1														2n 1				(			2)2 n 1
													2n 1				(x 2)2 n 1														2n 1				(			2)2 n 1
											.															3			x			3 ,		0			1
																								(		1)n		1 3					5 ... (2 n				1)			.


																											2n 1					(1			(x		3))2 n 1
																											2n 1					(1			(x		3))2 n 1
	Тогда
									1		x	3		1		(x 3)2				3 (x		3)3						n 1 3 ... (2n							3)			(x	3)n
			x		2		1		1		x	3		1		(x 3)2				3 (x		3)3		... ( 1)				n 1 3 ... (2n							3)			(x	3)n		R
			x		2		1																	... ( 1)																	R
									2		1!			4	2!				8		3!												2n						n!		n
									2		1!			4	2!				8		3!												2n						n!
		x			3			x 3 2						x	3 3						n	1 1 3 5 ...						2n		3 x						3 n
1																		...	1																			R
1																		...	1																			R
				2					8					16													2n			n!									n
				2					8					16													2n			n!
							n			k 1 1 3 5 ...								2k	3		x		3	k
				1					1	k 1 1 3 5 ...								2k	3		x		3			R	,
				1					1																	R	,
						k	1											2k	k!							n
						k	1											2k	k!
	где
	R				(		1)n 1				1 3			5 ... (2 n				1)		(x	3)n 1				,	0		1.
	R				(		1)n 1																		,	0		1.
			n							2n 1				(1			(x	3))2 n 1			(n 1)!
										2n 1				(1			(x	3))2 n 1			(n 1)!

1 1 3 5 ... 2k

3 x

Ответ:

2 1

(

1)n

1 3 5 ...

(2 n

1) (x

3)n 1

, 0

2n 1

3))2 n 1

(n 1)!

Пример

Найдите

наибольшее

наименьшее

значение функции

x 2

на отрезке [–1, 3].

Решение

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке функция может достигать: 1) в критических точках, если они существуют и принадлежат [–1, 3];

2) на концах отрезка (т. е. при x 1 или x 3 ).

1. Найдем критические точки. Для этого найдем y и решим уравнение y 0 .

y	x 2	7	2x (x 3) (x 2	7) x 2		6x 7	;
	x	3	(x 3) 2		(x	3) 2

x 2	6x 7	0;	x 2 6x 7 0; D 64 ;	x 1	1, 3	;

(x	3) 2			1

x2	7		1, 3 .
	2.	Найдем y(							1),			y(1),				y(3) и выберем из них наибольшее и наименьшее
значение:
	y(	1)				(	1)2		7				8		4 ;
	y(	1)					1	3				2			4 ;
							1	3				2
	y(1)		12				7		8			2;
	y(1)			1			3		4			2;
				1			3		4
	y(3)				32		7		16			8				2	2	.
	y(3)				3		3			6				3		2	3	.
					3		3			6				3			3
	Ответ: y(							1)			4 – наибольшее значение функции на [–1, 3];

y(1) 2 – наименьшее значение функции на [–1, 3].

Пример 4. Провести полное исследование функции и построить ее график.

a)	y	x2
a)	y	x	3
		x	3
Решение
1.	Область определения.
Исключим точку, в которой знаменатель дроби x 3 0, т. е. x						3. Таким
образом, D( y)			, 3	3,	.

Четность, нечетность, периодичность функции.

y( x)

(

x)2

y x

y x ; y x

y x .

x 3

(

Следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Так как

состав

функции

не входят

периодические

функции, то

– непериодическая.

Непрерывность.

Так как заданная функция является элементарной, то она непрерывна на своей области определения. Единственной точкой, в которой функция не

существует, является точка x									3.
Исследуем характер разрыва функции в этой точке.
	lim		x2		3		0 2		9	;

		0 x		3	3		0	3	0
x	3
	lim		x2			3	0 2		9	.


		0 x		3	3		0	3	0
x	3

Так как и левый и правый предел не являются конечными, то точка x 3 есть точка разрыва 2-го рода.

4. Асимптоты.

а) при x 3 функция терпит разрыв 2-го рода, значит прямая x 3 вертикальная асимптота;

б) найдем наклонные асимптоты:

xlim

x lim

x(x

lim

x2 3x

lim

3 .

x 3

Прямая y

3 – наклонная асимптота.

Нули функции и интервалы знакопостоянства.

Функция

обращается в нуль при

0 . Разобьем всю числовую

x 3

прямую на интервалы точками x

3 , x

определим интервалы

знакопостоянства функции:

(

, 3)

( 3, 0)

(0,

)

y(x)

–

Функция отрицательна на интервале (

и положительна на

интервалах ( 3, 0)

(0, +∞).

6. Интервалы монотонности и экстремумы.

Найдем критические точки.

x 3

x 3 x2

2x x 3 x2

;

3 2

x 3 2

0 ,

если x 2

6x 0,

0, x

6 – критические точки;

не существует при x

3, но эта точка не является критической, потому

что функция в ней не определена.

Разобьем всю числовую прямую на интервалы точками x

3 , x

0 и

6 , и определим знак производной y' на этих интервалах:

(–

, –6)

–6

(–6, –3)

–3

(–3, 0)

(0, +

)

y (x)

–

не

–

существует

y(x)

–12

точка

max

разрыва

min

Функция возрастает в интервалах (– , –6) и (0, + ), убывает в интервалах

(–6, –3) и (–3, 0);

y( 6) 12 – максимум функции; y(0) 0 – минимум функции.

7. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем точки перегиба:

(2x 6) x 3 2

6x 2 x 3

3 2

3 4

(2x 6) x 3 2 x2

y 0 .

3 3

Следовательно, в D( y) точек перегиба нет. Исследуем выпуклость и

вогнутость графика слева и справа от точки разрыва x 3 . Для этого определим интервалы знакопостоянства второй производной у":

х	(– , –3)	–3	(–3, + )
х	(– , –3)		(–3, + )

y (x)	–	не существует	+

y(x)	выпукла	не существует	вогнута

8. Построение графика (рис. 31).

	y	x2
	y	x	3
		x	3
х = – 3
–3	0		х
	у = х – 3

–12

Рис. 31

Область значений.

На основании построенного графика получаем, что

Е(Eу)y= (–∞, ,–12]

[0,0

+∞).

б)

f (x)

1 2

Решение

Область определения.

Так как x 1

1, таким образом

D( f (x))

1, .

Четность, нечетность, периодичность функции.

f x f x

f x

f x .

1 2

e x 1 x 2

Следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной.

В состав функции не входят периодические функции, следовательно, функция непериодическая.

3. Непрерывность.

Вычислим односторонние пределы в точке x 1.

	lim	e x		e		1	;
	lim		1 2			0	;
x	1 0	x	1 2			0

	lim		e x		e	1		.
	lim		1 2			0		.
x	1 0	x	1 2			0

Следовательно, в точке x 1 функция терпит разрыв 2-го рода (бесконечный).

4. Асимптоты.

а) так как в точке x 1 функция терпит разрыв 2-го рода, значит прямая x 1 – вертикальная асимптота;

б) найдем наклонные асимптоты:

lim

e x

0 ;

1 2

lim

e x

0 .

1 2

lim

воспользуемся правилом

x x

1 2

Лопиталя Бернулли

x lim

e x

x lim

e x

x lim

e x

2 x

3x2 4x

6 x 4

lim

e x

Таким образом, при x

график

функции имеет горизонтальную

асимптоту y

0 . А при x

наклонных (горизонтальных) асимптот нет.

5. Нули функции и интервалы знакопостоянства.

f x

0 ни при каких х, следовательно,

график функции с осью Ох не

пересекается, причем на всей области определения функция положительна.

f (0)

(0, 1) – точка пересечения

f x с осью Оу.

6. Интервалы монотонности и экстремумы.

Найдем f

f x

x 1 2

ex 2 x 1

x 1 ex

x 1 2 ex

ex x 1

;

x 1 4

x 1 3

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
27.03.201664.39 Кб41matematikac.docx
#
27.03.20165.73 Mб24Math.pdf
#
27.03.20161.53 Mб36otvety_matematika.docx
#
27.03.20162.69 Mб55Математика.Павловская О.Г., Плюснина Е.С.pdf