Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Анатомия домашних животных

Файл:

Лекции УТС корр2014

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Интегральные регуляторы реализуют закон управляющего воздействия в виде формулы:

1 dt ,

T и 0

где Ти – время интегрирования.

Интегральный регулятор может использоваться как предельный выключатель, предохраняющий систему от выхода за установленные допустимые пределы отклонения регулируемой величины в случае возникновения неисправности.

Всережимные регуляторы должны обеспечивать изменение регулируемой величины во всем диапазоне задаваемых значений независимо от нагрузки. В сумматор поступает сигнал по измерительному каналу от фактического значения параметра и по каналу задающего устройства. Чтобы улучшить характеристики переходного процесса при изменении режима или при случайных воздействиях, в регулирующие устройства вводят интегральное или дифференциальное звено или оба этих звена, работающих поочередно.

В пропорционально-интегральных регуляторах управляющее воздействие описывается уравнением:

	1	t
( k р	1		dt ) ,

	T и

		0

где первое слагаемое определяет пропорциональную часть, а второе – интегральную.

В пропорционально-дифференциальных регуляторах управляющее воздействие описывается уравнением:

( k р T д	d ),
	dt

где Тд – время дифференцирования.

Такие регуляторы позволяют временно увеличить величину управляющего воздействия и сократить время выхода на новый установившийся режим.

В пропорционально-дифференциальных-интегральных регуляторах управляющее воздействие описывается уравнением:

		d	1	t
( k р	T д	d	1	dt )

		dt	T и
				0

Такие регуляторы позволяют добиться наилучших показателей переходного процесса путем и добиться нулевого отклонения регулируемой величины от заданного значения во всем диапазоне нагрузок.

Все перечисленные виды регуляторов первоначально были реализованы в отечественной промышленности в виде приборов и агрегатов универсальной системы элементов промышленной пневмоавтоматики (УСЭППА). Недостатком этих приборов являлось наличие калиброванных отверстий и каналов малого диаметра, которые могли засоряться при некачественной подготовке рабочей среды (воздуха). В настоящее время применяются электронные регуляторы, в которых операции дифференцирования и интегрирования выполняются с помощью электронных схем и микропроцессоров.

Ранее существовали другие виды классификации регуляторов.

По способу энергетического воздействия измерительной части регулятора на его исполнительную часть регуляторы делятся на два класса: регуляторы прямого и непрямого действия. На рис.25 а показана блок-схема системы управления с регулятором прямого действия, на рис 25 б – с регулятором непрямого действия.

Рис. 25 1- элемент задания, 2 – элемент сравнения, 3 – исполнительный механизм, 4 –

чувствительный элемент, 5 – усилитель, РО – регулирующий орган, О - объект

Регулятор прямого действия состоит из измерительного устройства, (включающего чувствительный элемент 4, элемент задания 1 и элемент сравнения 2), и исполнительного механизма 4, осуществляющего перестановку регулирующего органа в нужном направлении. Исполнительный механизм должен обладать вполне определенным выходным (или, как принято называть, перестановочным) усилием для перемещения РО. В регуляторе прямого действия необходимое перестановочное усилие вырабатывается чувствительным элементом.

В случае, когда нельзя спроектировать компактный чувствительный элемент, развивающий необходимое усилие, в конструкцию регулятора вводится усилитель 5, использующий дополнительную внешнюю энергию (с) для усиления мощности измерителя. Такой регулятор называется регулятором непрямого действия.

По способу обеспечения задачи регулирования регуляторы делились на следующие классы:

-астатические регуляторы

-статические регуляторы

-программные регуляторы

-двухпозиционные регуляторы.

На примерах простейших регуляторов давления можно понять отличие в конструкции статических и астатических регуляторов. На рис. 26 показан астатический регулятор давления.

Рис. 26 Астатический регулятор давления 1 – регулируемый объект, 2 – поршень (чувствительный элемент), 3 – груз (элемент

задания и элемент сравнения), 4 – передаточный рычаг (исполнительный механизм), 5 – шибер (регулирующий орган )

Впотоке газа имеется регулирующее устройство 5 с изменяемым сопротивлением, благодаря которому при переменном давлении на подводе можно поддерживать постоянное давление в полости А. В равновесном режиме имеется баланс между подводом и отводом газа, давление в рабочей полости А соответствует

расчетному значению Рр и уравновешивается грузом G. При изменении нагрузки (отвода) баланс нарушается и в зависимости от характера наступившего изменения уменьшается или увеличивается давление в полости А. Поршень (чувствительный элемент начинает перемещаться, открывая или закрывая шибер. Когда вновь будет

достигнуто исходное значение Рр, может наступить равновесие при новой нагрузке. Однако получить новое устойчивое равновесие без постоянных колебаний далеко не всегда удается. Это основной недостаток астатических регуляторов.

Встатическом регуляторе (рис. 27) элементом задания является верхняя опора пружины 4, элементом сравнения является пружина 3. Величина усилия, действующая на поршень со стороны пружины, меняется в зависимости от положения поршня по высоте. Из-за этого возникает не одно, как в предыдущем случае, а множество равновесных состояний по давлению. Так, если давление Р начало возрастать, поршень, поднимаясь и сжимая пружину, может занять новое положение, при котором возросшему давлению будет отвечать возросшее усилие пружины. Таким образом, статический регулятор с заведомо предусмотренной статической ошибкой. Значение поддерживаемого параметра однозначно связано с величиной нагрузки.

Рис. 27 Статический регулятор давления 1 – регулируемый объект, 2 – поршень (чувствительный элемент), 3 – пружина

(элемент сравнения), 4 – верхняя опора пружины (элемент сравнения), 5 - передаточный рычаг (исполнительный механизм), 6 – шибер (регулирующий орган )

Впрограммных регуляторах предусматривается дополнительный конструктивный элемент, изменяющий координату задания, а, следовательно, и регулируемую величину, по определенной функциональной зависимости от нагрузки, от времени или от других величин.

Вдвухпозиционных регуляторах реализуется релейный закон управления. Регуляторы этого типа работают по принципу включено – выключено.

7.Линеаризация нелинейной системы разложением в ряд Тейлора

На замкнутую систему регулирования внешнее воздействие осуществляется по двум направлениям:

-регуляторному каналу

-нагрузочному каналу

Воздействие по регуляторному каналу, сопровождающееся скачком входной координаты или ее изменению в виде гармонических колебаний, рассматривалось ранее. Происходящие при этом процессы во времени, характеризуемые переходными характеристиками, описывают свободное движение системы при выводе ее из состояния равновесия.

Воздействие по нагрузочному каналу определяются свойствами объекта регулирования. Например, в судовых и авиационных установках с ДВС воздействием по нагрузочному каналу является изменения угла разворота лопастей винта регулируемого шага (ВРШ), в транспортных установках – переключение передачи. Уравнения вынужденного движения системы составляется на основе уравнения свободного движения и уравнения движения объекта под воздействием нагрузки, как входной координаты.

На рис.28 показано поле режимов работы судовой установки с ВРШ при постоянных значениях одной из координат. В качестве координат приняты:

-цикловая подача топлива g, примерно соответствующая перемещению рейки топливного насоса

-угол разворота лопастей ВРШ, характеризуемый соотношением H/D

-задаваемое регулятором скорости значение оборотов n

Рис. 28 Таким образом, в реальности уравнение динамики системы в общем виде будет

являться функцией нескольких переменных:

F ( y		, y		, y		,	dy 1	,	dy 2	,	dy 3	,	d 2 y 1		,	d 2 y 2		, ) F		( x )
F ( y	1	, y	2	, y	3	,		,		,		,			,			, ) F	2	( x )
1	1		2		3		dt		dt		dt			2			2		2
													dt	2		dt	2

Для установившегося режима правая часть равна 0.

В теории автоматического управления производные по времени принято обозначать в виде переменной с точкой над обозначением, поэтому часто уравнение 7.1 для установившегося режима записывают в виде:

F1 ( y1 , y 2	, y 3	, y1	, y 2	, y 3	, y	1	, y	2 , )	x	7.2

Для установившегося режима

F1 ( y1 , y 2 , y 3 ) x 0

При анализе систем автоматического управления принято разделять их на линейные и нелинейные. Анализ нелинейных систем представляет значительные трудности, и в практических работах стараются свести нелинейные системы к линейным, Обыкновенными линейными называются системы, в которых динамические процессы описываются только линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Линейным называется дифференциальное уравнение, в котором все неизвестные и их производные – в первой степени и отсутствуют члены, содержащие их произведения. Если эти условия не соблюдаются, уравнение и описываемая им система считаются нелинейными. В особых линейных системах не все коэффициенты в дифференциальных уравнениях являются постоянными.

Чтобы система соответствовала обыкновенной линейной, все звенья системы должны быть линейными и должны характеризоваться сосредоточенными параметрами.

Так как во многих случаях нет возможности линеаризовать характеристики сложного объекта регулирования (например, такого, как ДВС), рассмотренный выше метод линеаризации характеристик элементов автоматики не позволяет получить линейную систему управления в целом.

Линеаризации таких систем осуществляется для определенных условий. В частности, если рассматривать движение системы вблизи равновесного исходного состояния, т.е. ограничиться малыми отклонениями координат, можно приближенно заменить нелинейные уравнения линейными. При этом используется способ разложения функции в ряд Тейлора по степеням малых отклонений (приращений). При этом производные рассматриваются как самостоятельные переменные.

Известно, что для функции многих переменных в общем случае ряд Тейлора может быть представлен следующим образом:

F ( X , Y , Z ) F ( X 0 , Y 0	, Z 0 )	dF		dF 2		dF 3	,

	1!		2!		3!

где F(X0, Y0, Z0) – значение функции в известной точке.

Полагая приращение малым, можно ограничить приближенное значение функции дифференциалом первого порядка.

F ( X , Y , Z ) F ( X 0

, Y 0 , Z 0 )

Применительно к выражению 7.2 разложение в ряд будет иметь вид:

F ( y 1 0

, y 2 0

, y 3 0 , y

, y 20 , )

y 1

y 2

y 3

dy 1

dy 2

dy 3

7.3

y 1

y 2 х 0

d y 1

d y 2

Если из приближенного уравнения движения 7.3 вычесть уравнение равновесного режима, будет получено уравнение движения в приращениях:

y 1

y 2

y 3

y 1

y 2

dy 1

dy 2

dy 3

d y 1

d y 2

Коэффициенты при неизвестных принимаются постоянными.

8.Устойчивость систем автоматического управления.

8.1Определение устойчивости

На любую автоматическую систему управления всегда действуют различные внешние возмущения, которые могут нарушить ее нормальную работу. Правильно сконструированная система должна устойчиво работать при всех внешних возмущениях.

Впервые строгое определение устойчивости было введено русским ученым А.М. Ляпуновым.

Пусть движение системы автоматического регулирования описывается дифференциальными уравнениями, которые могут быть приведены к виду:

dyi/dt = Yi(y1, y2,… yn, t),	8.1
где yi – вещественные переменные, характеризующие состояние системы
управления (обобщенные координаты),	Yi – известные функции переменных y1, y2,… yn,
и времени t, удовлетворяющие условиям существования и единственности решения.
Исходное состояние системы при t = t0	однозначно определяется совокупностью
начальных значений y10, y20,… yn0.

Если при t>t0 yi зависит только от исходных значений параметров и времени, т.е.

yi = yi(y10, y20,… yn0, t),

движение системы, подлежащей исследованию на устойчивость, считают

невозмущенным.
Предположим, что функции y * ( t )	являются частным решением дифференциальных
i
уравнений 8.1.
dyi(t)/dt = Yi(y1, y2,… yn, t)	8.2
Для установившегося движения
y * = const
i

Изменим условия движения, дав начальным значениям переменных y1, y2,… yn

небольшие по модулю приращения ε1, ε2, … εn, т.е. пусть при t = t0
y1 = y1(t0) + ε1, y2 = y2(t0) + ε2,… yn = y*n(t0) + εn	8.3
Движение системы, отвечающее измененным начальным условиям (8.3),
называется вынужденным.
Введем новую переменную
xi = yi(t) – y*i(t),	8.4

равную разности переменных при возмущенном и невозмущенном движении. Переменные xi называются отклонениями или вариациями величин yi.

Начальные отклонения xi при t = t0

xi = xi0 = εi

называют возмущениями.

А.М. Ляпуновым предложено следующее определение устойчивости: невозмущенное движение называют устойчивым по отношению к переменным xi, если при всяком произвольно заданном числе ε, как бы мало оно ни было, можно выбрать такое положительное число δ(ε), что при всяком возмущении xi0, удовлетворяющих условию:

x i20 , i 1

и при любом t ≥ t0 ,будет выполняться неравенство:

x i2 ( t ) ,

i 1

впротивном случае движение неустойчивое.

8.2Условия устойчивости линейных систем автоматического управления

Исследования устойчивости системы как правило производят не путем анализа общего решения уравнения (8.1), а методами, основанными на качественном анализе дифференциальных уравнений возмущенного движения, которым удовлетворяют отклонения (вариации) xi. Из уравнения (8.4) найдем yi(t) = y*i(t) + xi(t) и подставим в уравнение (8.1). Тогда уравнение возмущенного движения будет иметь вид:

dy*i(t)/dt + dxi(t)/dt = Yi(y*1+x1, y*2+x2,… y*n+xn, t) 8.5

Если правые части уравнения (8.5) допускают разложение в степенные ряды Тейлора, то после разложения по степеням xi получим:

dy *i ( t )

dx i ( t )

( y *

, y *

,... y *

, t )

(

Y i

)

...(

Y i

)

( x

, x

,.. x

8.6

x n

Где Ri(x1, x2, ..xn) – совокупность членов, зависящих от отклонений xi в степени выше первой. Учитывая (8.2), получим дифференциальное уравнение возмущенного движения:

	dx i		( t )	(	Y i			)		x		...(	Y i	)		x		R		( x		, x		,.. x		)	8.7
				(				)	0	x	1	...(		)	0	x	n	R	i	( x	1	, x	2	,.. x	n	)	8.7
		dt				x 1			0		1		x n		0		n		i		1		2		n
		dt				x 1							x n
Пренебрегая для малых отклонений Ri(x1, x2, ..xn) и вводя обозначение
a			(	Y i		)			,
a		ik	(			)	Xk 0		,
		ik		x 1			Xk 0
				x 1
Где aik в общем случае являются функциями времени, но могут быть и
постоянными. С целью линеаризации системы они в дальнейшем принимаются
постоянными. Отсюда получим линеаризованные уравнения в виде:
dxi(t)/dt = ai1x1+ ai2x2+ … ainxn, i = 1,2,..n																											8.8

Уравнения (8.8) называются линеаризованными уравнениями первого приближения. Системе уравнений (8.8) соответствует характеристическое уравнение, которое можно написать в следующем виде:

	a 11	s	a 11	..	a 1 n
D ( s )	a	21	a 22 s	..	a 2 n	0	8.9
D ( s )						0	8.9
		.	.	.	.
	a n 1		a n 2	.	a nn s

Из (8.9) можно найти корни si, где i = 1,.,…n. В общем случае корни комплексные, si = αi ± jωi. По корням характеристического уравнения судят об устойчивости системы.

Другим способом получения характеристического уравнения является применение оператора дифференцирования. Рассмотрим дифференциальное уравнение (5.1) системы автоматического управления записанное для регулируемой выходной величины y(t) при наличии управляющего воздействия x(t) :

d n y

d n 1 y

a n 1

a n y

d m x

d m 1 x

b m 1

b m x

0 dt n

1 dt n 1

0 dt m

1 dt m 1

Введем оператор дифференцирования p = d/dt

(a0 pn + a1 pn-1 +…+an )y(t) =(b0 pm + b1 pm-1 +…+bm )x(t), 8.10

где a0, a1, …an, b0, b1… bm –постоянные коэффициенты.

Изменение регулируемой величины y(t) при произвольном внешнем воздействии x(t) представляет собой решение уравнения 8.10:

y(t) = yв(t) + yсв(t),

где yв(t) – вынужденная составляющая, имеющая тот же характер, что и правая часть уравнения 8.10. Она определяется как частное решение как частное решение неоднородного дифференциального уравнения 8.10с правой частью:

(a0 pn + a1 pn-1 +…+an )yв(t) =(b0 pm + b1 pm-1 +…+bm )x(t)

Второе слагаемое yсв(t) – свободная (переходная) составляющая, которая определяется общим решением однородного дифференциального уравнения 8.10 без правой части:

a 0	d n y св		( t )	a 1	d n 1 y св	( t )	..	a n y св ( t ) 0	8.11
	dt	n			dt n 1

Решение уравнения 8.11 находят как yсв(t) = Аemt. Дифференцируя это выражение n раз и подставляя в 8.11 после сокращения на общий множитель Аemt получают

характеристическое уравнение: a0mn + an-1mn-1 + an = 0

Поскольку полученное характеристическое уравнение по своему виду совпадает с дифференциальным оператором при выходной величине в уравнении 8.10, характеристическое уравнение получают обычно приравнивая к нулю дифференциальный

оператор при выходной величине в исходном дифференциальном уравнении 8.10:

a0 pn + a1 pn-1 +…+an =0 8.12

Однако следует помнить, что в характеристическом уравнении p = m означает уже не оператор дифференцирования, а некоторое комплексное число, могущее располагаться в одном из четырех квадрантов числовой плоскости, на вещественной или на мнимой оси.

Теоремы Ляпунова:

1.Если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы левые,

действительная система (как и линеаризованная), устойчива. Добавление производных второго и высших порядков не отражается на устойчивости системы

2.Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один корень с

положительной вещественной частью (правый), то действительная система (как и линеаризованная), будет неустойчивой, даже если учесть производные второго и высших порядков.

3.Если среди корней характеристического уравнения имеются нулевые или чисто

мнимые корни, для оценки устойчивости системы необходим учет производных высших порядков, так как поведение реальной системы может существенно отличаться от линеаризованной. Такой случай называют критическим.

На практике теоремы Ляпунова позволяют пользоваться критериями устойчивости для линеаризованных систем, что дает возможность на ранних стадиях проектирования исключить возможные грубые ошибки.

8.3 Графическая иллюстрация теорем Ляпунова

В общем виде решение уравнения 8.11 представляет собой функцию:

y – C1er1t + C2er2t +…+ Cnernt,

8.13

где r1, r2, …rn – корни характеристического уравнения, Сi – постоянные интегрирования.

Как известно, устойчивость системы определяется устойчивостью ее свободного движения. Следовательно, для устойчивости системы необходимо, чтобы при t→ ∞ y→0. На рис. 29 представлены графики функций ert при различных значениях корней уравнения

– вещественных, комплексных и чисто мнимых. Комплексные корни дают составляющую вида:

y	k	C	k	e k t	(sin		k	t	k	) ,
	k		k				k		k

где Сk и ψk постоянные интегрирования. При построении графика принято: ω =5, ρ=1, ψ=1.

7.389

e 1 t

e t

sin ( 5 t 1 )

e t ( sin ( 5 t 1 ) )

7.389

10
10
0	0.5	1	1.5	2
0		t		2

Рис. 29

При вещественных отрицательных корнях функция стремится к нулю , при положительных – стремится к бесконечности. При комплексных корнях имеет место колебательный процесс. Если вещественная часть отрицательная, колебания затухающие, если положительная – амплитуда колебаний возрастает с течением времени. При чисто мнимых корнях колебания происходят при постоянной амплитуде. Независимо от численных значений коэффициентов Сi, присутствие хотя бы одного корня с положительной вещественной частью приводит к неустойчивости системы.

Таким образом, исследование корней характеристического уравнения является достаточным для оценки устойчивости системы автоматического управления. Однако прямое исследование сравнительно просто может быть выполнено лишь для уравнений первого и второго порядка. Уже для уравнений третьего и четвертого порядка прямое определение корней представляет значительные трудности.

Вместе с тем, чтобы ответить на вопрос об устойчивости системы, достаточно знать не сами корни, а только знаки вещественных частей. Поэтому можно произвести анализ с помощью специальных привил, называемых критериями устойчивости и позволяющих установить факт существования всех отрицательных корней.

8.4 Алгебраические критерии устойчивости (критерии Гурвица)

Система регулирования, для которой составлено характеристическое уравнение

8.12:

a0 pn + a1 pn-1 +… + an-1 p +an =0,

будет устойчива, если:

1)Все коэффициенты характеристического уравнения окажутся положительными.

2)Все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения по показанной ниже схеме, окажутся положительными:

1 a 1 0

a 1

a 0

a 1

a 0

a 2

a 0

и т.д.

a 3

a 2

a 1

a 3

a 2

a 5

a 4

a 3

a 2

a 5

a 4

a 3

a 7

a 6

a 5

a 4

Схема составления определителей Гурвица такова. В соответствии с порядком определителя (его номером) вначале записывают главную диагональ, идущую слева вниз направо: от коэффициента а1 до коэффициента аn , где n – номер определителя. Все строки дополняют коэффициентами до их общего числа, равного номеру определителя. При этом вправо от написанного элемента строки ставят коэффициенты с убывающими номерами индексов, а влево – с возрастающими номерами индексов. Если в уравнении 8.12 не содержатся коэффициенты с большим или меньшим индексом, в соответствующем месте строки ставится 0.

8.5 Частотные критерии устойчивости

На плоскости комплексного переменного корни характеристического уравнения устойчивой системы при свободном движении должны располагаться в левой полуплоскости, что соответствует отрицательной вещественной части корней.

Пользуясь представлениями частотного метода исследования, можно путем несложных преобразований характеристического уравнения, без нахождения самих корней решить вопрос об их расположении в той или иной полуплоскости комплексного переменного.

Критерий Михайлова

Если имеется характеристическое уравнение вида 8.12 и корню r придается чисто мнимое значение r = jω, что соответствует нахождению системы на границе устойчивости, то полином характеристического уравнения окажется сведенным к некоторому комплексному числу:

F(jω) = u(ω) +jv(ω), где

u(ω) = an - an-2 ω2 - an-4 ω4 - …;

v(ω) = an-1 ω - an-3 ω2 - an-5 ω3 - …

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>