Metodichka_po_vyshke_1_ch
.pdfМинистерство образования Республики Беларусь
Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Часть 1
Краткий конспект лекций для студентов специальности 1-53 01 02
«Автоматизированные системы обработки информации» заочной формы обучения
Могилев 2008
2
Составитель В. Г. Замураев
Первая часть включает разделы «Введение в математический анализ», «Векторная алгебра и аналитическая геометрия», «Определители и матрицы. Системы линейных уравнений» и «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», изучаемые студентами в первом семестре.
В основу конспекта положены краткие теоретические сведения, которыми снабжены соответствующие разделы сборника задач [5].
© ГУВПО «Белорусско-Российский университет», 2008
3
Содержание
Введение в анализ
§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика ……… 4
§2. Функции действительной переменной ……………………………… 6
§3. Предел последовательности действительных чисел ……………….. 8
§4. Предел функции. Непрерывность …………………………………… 9
§5. Комплексные числа …………………………………………………... 11
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
§6. Векторная алгебра …………………………………………………….. 14
§7. Линейные геометрические объекты …………………………………. 19
§8. Кривые на плоскости …………………………………………………. 22
§9. Поверхности и кривые в пространстве ……………………………… 26
Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
§10. Определители ………………………………………………………... 29
§11. Матрицы ……………………………………………………………... 32
§12. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы ………… 34
§13. Системы линейных уравнений ……………………………………... 36
§ 14. Линейные операторы в пространстве n …………………………... 40
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
§15. Производная …………………………………………………………. 41
§16. Дифференциал ……………………………………………………….. 45
§17. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора …... 47
§18. Исследование функций и построение графиков …………………... 50
Список литературы ………………………………………………………... 52
4
Введение в анализ
§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика
1. Понятие действительного числа. Из курса элементарной математики известно, что всякое неотрицательное действительное число x представляется бесконечной десятичной дробью
[x], x1x2... , |
(1) |
где [x] – наибольшее целое число, не превосходящее x и называемое целой частью числа x , xn {0,1,2,...9} для любого n .
При этом дроби, у которых xn =9 для всех n ≥ n0 ( n0 – некоторое нату-
ральное число), обычно исключаются из рассмотрения в силу следующих равенств:
[x],999... =[x]+1,
[x], x1x2...xn0 −1999... =[x], x1x2...(xn0 −1 +1) ( n0 >1, xn0 −1 ≠ 9 ).
Действительное число x рационально, т. е. представимо в виде отноше-
ния mn , m, n , в том и только в том случае, когда дробь (1) периодическая. В
противном случае число x иррационально.
Абсолютной величиной или модулем действительного числа x называется неотрицательное число
x, если x ≥ 0,
x= −x, если x < 0.
Правила сравнения действительных чисел, а также арифметические операции над ними известны из курса элементарной математики.
2. Множества и операции над ними. Под множеством понимается лю-
бая совокупность объектов, называемых элементами множества.
Запись a A означает, что объект a есть элемент множества A (принадлежит множеству A ); в противном случае пишут a A. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Запись A B ( A содержится в B ) означает, что каждый элемент множества A является элементом множества B ; в этом случае множество A называется подмножеством множества B . Множества A и B называют равными ( A = B ), ес-
ли A B и B A.
Существуют два способа задания (описания) множеств.
5
а) Множество A определяется непосредственным перечислением всех своих элементов a1 , a2 , …, an , т. е. записывается в виде
A ={a1,a2 ,..., an}.
б) Множество A определяется как совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества T , которые обладают общим свойством α . В этом случае используется обозначение
A ={x T α(x)},
где запись α(x) означает, что элемент x обладает свойством α . Объединением множеств A и B называется множество
A B ={x x A или x B}.
Пересечением множеств A и B называется множество
A ∩ B ={x x A и x B}.
Разностью множеств A и B называется множество
A \ B ={x x A и x B}.
Если, в частности, A – подмножество некоторого универсального множества
T , то разность T \ A обозначается символом A и называется дополнением множества A (до множества T ).
Операции и ∩ естественным образом обобщаются на случай произвольного (конечного или бесконечного) семейства множеств.
Множество X называется счётным, если может быть установлено вза- имно-однозначное соответствие между элементами этого множества и элемен-
тами множества всех натуральных чисел. |
|
3. Верхние и нижние грани. Пусть X |
– произвольное непустое множе- |
ство действительных чисел. Число M = max X |
называется наибольшим (макси- |
мальным) элементом множества X , если M X и для всякого x X выполняется неравенство x ≤ M . Аналогично определяется понятие наименьшего (минимального) элемента m = min X множества X .
Множество X называется ограниченным сверху, если существует действительное число a такое, что x ≤ a для всех x X . Всякое число, обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества X . для заданного ограниченного сверху множества X множество всех его верхних граней имеет наименьший элемент, который называется точной верхней гранью множества
6
X и обозначается символом sup X . Очевидно, sup X = max X тогда и только тогда, когда sup X X .
Аналогично определяются понятия ограниченного снизу множества, нижней грани и точной нижней грани множества X ; последняя обозначается символом inf X .
Множество X , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным. 4. Логическая символика. При записи математических рассуждений целесообразно применять экономную символику, используемую в логике. Ука-
жем несколько наиболее простых и употребительных символов.
Пусть α , β , … – некоторые высказывания или утверждения, т. е. повествовательные предложения, относительно каждого из которых можно сказать истинно оно или ложно.
Запись α означает «не α », т. е. отрицание утверждения α .
Запись α β означает: «из утверждения α следует утверждение β » (
– символ импликации).
Запись α β означает: «утверждение α эквивалентно утверждению β », т. е. из α следует β и из β следует α ( – символ эквивалентности).
Запись α β означает «α и β » ( – символ конъюнкции). Запись α β означает «α или β » ( – символ дизъюнкции). Запись
x X α(x)
означает «для всякого элемента x X истинно утверждение α(x)» ( – кван-
тор всеобщности).
Запись
x X α(x)
означает «существует элемент x X такой, что для него истинно утверждение
α(x)» ( – квантор существования).
Если элемент x X , для которого истинно утверждение α(x), не только существует, но и единствен, то пишут:
!x X α(x).
§ 2. Функции действительной переменной
1. Понятие функции. Пусть D – произвольное множество действительных чисел. Если каждому числу x D поставлено в соответствие некоторое вполне определённое действительное число f (x), то говорят, что на множестве
7
D определена числовая функция f . Множество D называется областью определения, а множество
E ={y y = f (x), x D}
– множеством значений числовой функции f . Символически функция записывается в виде f : D → E или y = f (x).
Наиболее распространённым является аналитический способ задания функции. Он состоит в том, что с помощью формулы конкретно устанавливается алгоритм вычисления значений функции f (x) для каждого из значений ар-
гумента x . В этом случае область определения функции обычно не указывают, понимая под нею то множество значений аргумента x , для которого данная
формула имеет смысл (естественная область определения функции). |
|
|||
Пусть функция f : D → E такова, |
что для любых x1, x2 D из условия |
|||
x1 ≠ x2 следует f (x1 )≠ f (x2 ). в этом случае всякому числу y E |
может быть |
|||
поставлено в соответствие некоторое вполне определённое число |
x D такое, |
|||
что f (x)= y ; тем самым определена новая функция f −1 : E → D , |
называемая |
|||
обратной к заданной функции |
f . |
|
|
|
Пусть заданы функции |
f : X →Y |
и g :Y → Z . Их композицией |
(или |
|
сложной функцией, полученной последовательным применением функций |
f и |
|||
g ) называется функция h = g |
f : X → Z , определяемая равенством |
|
|
h(x)= g (f (x)), x X .
Функция f (x) называется чётной (нечётной), если её область определения симметрична относительно точки x = 0 и f (−x)= f (x) ( f (−x)= − f (x)).
Функция f (x) называется периодической, если существует положительное число T (период функции) такое, что x D (f (x +T )= f (x)).
2. Элементарные функции. Следующие функции называются основны-
ми элементарными.
1. Степенная функция: y = xα , α .
2. |
Показательная функция: y = ax , a > 0 , a ≠1. |
|
3. |
Логарифмическая функция: y = loga x , a > 0 , a ≠1. |
|
4. |
Тригонометрические функции: y =sin x , y = cos x , y = tg x , |
y = ctg x . |
5. |
Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x , |
y = arccos x , |
y = arctg x , y = arcctg x .
8
Элементарной называется всякая функция, которая может быть получена из конечного числа основных элементарных функций с помощью арифметических операций и операции композиции.
Графиком функции y = f (x) называется множество
{ |
|
} |
Γ = (x, y) |
2 |
x D, y = f (x) , |
где 2 – множество всех точек плоскости.
На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат Oxy график функции представляется множеством точек M (x, y), ко-
ординаты которых удовлетворят соотношению y = f (x) (графическое изображение функции).
§ 3. Предел последовательности действительных чисел
1. Понятие последовательности. Последовательностью действительных чисел называется функция f : → , определённая на множестве всех нату-
ральных чисел. Число f (n) называется n -м членом последовательности и обозначается символом xn , а формула xn = f (n) называется формулой общего члена последовательности (xn )n .
2. Предел последовательности. Число a называется пределом последо- |
||||||||
вательности (x |
) |
n |
, т. е. lim x |
= a , если для любого ε > 0 существует номер |
||||
n |
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
N (ε ) такой, что при n > N (ε ) |
выполняется неравенство |
|
xn − a |
|
<ε . При этом |
|||
|
|
сама последовательность называется сходящейся.
Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность (xn )n имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал номер
N (ε ) такой, что при n > N (ε ) |
выполняется неравенство |
|
xn+p − xn |
|
<ε |
для |
||
|
|
|||||||
любого p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Последовательность (x |
) |
n |
называется бесконечно малой, если lim x |
= 0 . |
||||
n |
|
|
|
n→∞ n |
|
|||
Последовательность (xn )n |
называется бесконечно большой (сходящейся |
|||||||
к бесконечности), что формально записывается в виде lim x |
= ∞, если для лю- |
|||||||
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
бого числа Ε > 0 существует номер N (Ε) такой, что при n > N (Ε) выполняет-
ся неравенство xn > Ε. Если при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности положительны (отрицательны), то используется запись
lim xn = +∞ ( lim xn = −∞).
n→∞ n→∞
9
Число a называется предельной точкой последовательности (xn )n , если для
любого ε > 0 найдётся бесконечное число членов этой последовательности, удовлетворяющих условию xn − a <ε .
Принцип БольцаноВейерштрасса. Всякая ограниченная после-
довательность имеет хотя бы одну предельную точку.
Наибольшая (наименьшая) из предельных точек последовательности |
|||||||||||||||
(xn )n называется верхним (нижним) пределом этой последовательности и обо- |
|||||||||||||||
значается символом |
|
x |
( lim x |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n→∞ n |
n→∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ 4. Предел функции. Непрерывность |
|
|
|
||||||||||||
1. Предел функции. Пусть функция y = f (x) определена на множестве |
|||||||||||||||
D . Число a называют |
пределом |
функции y = f (x) в точке x0 и пишут |
|||||||||||||
lim f (x)= a , если для любого ε > 0 |
существует число δ (ε )> 0 |
такое, что для |
|||||||||||||
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
<δ (ε ) следует неравенство |
|
|
f (x)− a |
|
|
|||
любого x D из условия 0 < |
|
x − x0 |
|
|
|
|
<ε . |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
Критерий Коши. Для того, чтобы функция y = f (x) |
|
|
имела предел в |
точке x0 , |
необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало |
|||||||||||
δ (ε )> 0 |
такое, что |
|
f (x′)− f (x′′) |
|
<ε , как только |
|
x′− x |
|
<δ (ε ) и |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
<δ (ε ). |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x′′− x0 |
|
|
есть предел функции y = f (x) при x , стремящемся |
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
Говорят, что число a |
|||||||||||
к бесконечности, и пишут lim f (x)= a , если для любого ε > 0 |
|
существует чис- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
ло A(ε )> 0 такое, что f (x)− a <ε , как только x > A(ε ).
В дальнейшем используются следующие замечательные пределы:
|
|
lim sin x |
=1, |
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
+ |
1 x |
|
1 x |
= e , |
lim 1 |
|
= lim(1+ x) |
|||
x→∞ |
|
x |
x→0 |
|
|
где e = 2,71828... – основание натуральных логарифмов.
Наряду с введённым выше понятием предела функции используют также
следующее понятие одностороннего предела. Число a называют пределом |
||||
функции y = f (x) в точке x0 справа (слева) |
|
и пишут lim f (x)= a |
||
|
|
|
|
x→x0 +0 |
( lim f (x)= a ), если для любого ε > 0 существует число δ (ε )> 0 такое, что из |
||||
x→x0 −0 |
|
f (x)− a |
|
|
условия 0 < x − x0 <δ (ε ) ( −δ (ε )< x − x0 < 0 ) следует |
|
|
<ε . Аналогично |
|
|
|
10
вводится понятие одностороннего предела на бесконечности ( lim f (x) и
x→+∞
2. Бесконечно малые и бесконечно большие. Функция α(x) называется
0 |
|
x→x |
|
( |
x |
) |
= 0 . |
|
||||
бесконечно малой при x → x , если lim α |
|
|
|
|||||||||
Бесконечно малые α(x) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
и β (x) |
называются сравнимыми, если существу- |
|||||||||||
ет хотя бы один из пределов lim |
α(x) |
|
или lim |
β (x) |
. |
|||||||
β (x) |
|
|||||||||||
x→x0 |
|
|
|
x→x0 |
α(x) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть α(x) и β (x) – сравнимые бесконечно малые при x → x0 , и пусть, |
||||||||||||
для определённости, существует lim |
α(x) |
=C . Тогда: |
||||||||||
β |
(x) |
|||||||||||
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) Если C ≠ 0 , то α(x) |
и β (x) |
|
называют бесконечно малыми одного по- |
рядка. В частности, при C =1 бесконечно малые α(x) и β (x) называют экви-
валентными и пишут α β .
б) Если C = 0 , то α(x) называют бесконечно малой более высокого порядка, чем β (x), и пишут α = o(β). Если при этом существует действительное
число r > 0 такое, что lim |
α(x) |
≠ 0 , то α(x) называют бесконечно малой по- |
|
(β (x))r |
|||
x→x0 |
|
рядка r относительно β (x).
Функция α(x) называется бесконечно большой при x → x0 , если
lim α(x)= ∞. Подобно тому, как это сделано выше для бесконечно малых, вво-
x→x0
дится понятие сравнимых бесконечно больших и их классификация.
3. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
Функция y = f (x) с областью определения D называется непрерывной в точке x0 , если выполнены следующие три условия:
а) функция y = f (x) определена в точке x0 , т. е. x0 D ;
б) существует lim f (x);
x→x0
в) lim f (x)= f (x0 ).
x→x0
если условие а) выполнено, то условия б) и в) эквивалентны следующему:
lim f (x0 , x)= 0 ,
x→0
где
f (x0 , x)= f (x0 + x)− f (x0 )