Бабич Диференціальні рівняння

Òåìà 4

Системи диференцiальних рiвнянь

4.1.Основнi поняття

Означення 17. Система диференцiальних рiвнянь виду

äå x1, x2, . . . , xn невiдомi функцi¨ незалежно¨ змiнно¨ t, назива¹ться н о р м а л ь н о ю с и с т е м о ю.

Розв'язком системи (4.1.1) називають сукупнiсть n функцiй

Задачу вiдшукання розв'язку системи (4.1.1) за умов (4.1.2) називають задачею Кошi.

41

4.2.Метод виключення невiдомих

Розглянемо один1 iз способiв побудови розв'язку системи (4.1.1). Диференцiю¹мо за t перше рiвняння системи (4.1.1):

Отримане рiвняння знову диференцiю¹мо по t i, беручи до уваги рiвняння (4.1.1), матимемо:

1Ознайомитися докладнiше iз методами розв'язування систем диференцiальних рiвнянь можна, наприклад, у [4; 5].

42

Iз перших n −1 рiвнянь системи (4.2.1) виразимо1 íåâiäîìi x2, . . . , xn:

Пiдставивши цi вирази в останн¹ рiвняння системи (4.2.1), отрима¹мо рiвняння n-го порядку вiдносно невiдомо¨ x1:

Знаходимо його розв'язок

x1(t) = ψ1(t, C1, . . . , Cn),

пiдставля¹мо його у спiввiдношення (4.2.2) i отриму¹мо невiдомi

xi(t) = ψi(t, C1, . . . , Cn), i = 2, . . . , n.

П р и к л а д 1. Розв'язати систему диференцiальних рiвнянь

Р о з в ' я з а н н я. Диференцiю¹мо п е р ш е рiвняння:

x00 = x0 + 4y0 + 9.

Пiдставля¹мо сюди вираз для y0 iз д р у г о г о рiвняння задано¨ системи

y0 = x + y:

x00 = x0 + 4x + 4y + 9.

Iз п е р ш о г о рiвняння задано¨ системи знаходимо y:

y = 14 (x0 − x − 9t).

Пiдставляючи цей вираз у отримане рiвняння другого порядку, ма¹мо:

x00 = x0 + 4x + (x0 − x − 9t) + 9.

43

Ми отримали рiвняння другого порядку вiдносно однi¹¨ невiдомо¨ x:

x00 − 2x0 − 3x = −9t + 9.

Знаходимо його розв'язок. Буду¹мо характеристичне рiвняння:

λ2 − 2λ − 3 = 0.

Воно ма¹ коренi λ1 = −1, λ2 = 3. Розв'язком отриманого диференцiального рiвняння другого порядку ¹ функцiя

x = C1e−t + C2e3t + 3t − 5.

Знаходимо y, скориставшись ранiше отриманим для нього виразом:

y= 14 (x0 − x − 9t) = 14 −C1e−t + 3C2e3t + 3 − C1e−t − C2e3t − 3t + 5 − 9t =

=−12 C1e−t + 12 C2e3t − 3t + 2.

Ïр и к л а д 2. Розв'язати систему диференцiальних рiвнянь

Р о з в ' я з а н н я. Диференцiю¹мо п е р ш е рiвняння:

x00 = x0 + z0.

З урахуванням виразiв для x0 i y0 ìà¹ìî

x00 = (x + z) + (2x + y) = 3x + y + z.

Диференцiю¹мо отримане рiвняння i врахову¹мо вирази для x0, y0 i z0:

x000 = 3x0 + y0 + z0 = 3(x + z) + (x − 3y − z) + (2x + y) = 6x − 2y + 2z.

Таким чином, ми отримали систему рiвнянь

44

Iз перших двох рiвнянь цi¹¨ системи знаходимо y i z:

Пiдставля¹мо значення y i z у рiвняння третього порядку:

x000 = 6x − 2y + 2z = 6x − 2(x00 − x0 − 2x) + 2(x0 − x) = −2x00 + 4x0 + 8x.

Отже, для визначення невiдомо¨ x ми отримали рiвняння

x000 + 2x00 − 4x0 − 8x = 0.

Розв'язу¹мо характеристичне рiвняння:

λ3 + 2λ2 − 4λ − 8 = 0 λ2(λ + 2) − 4(λ + 2) = 0 (λ + 2)(λ2 − 4) = 0

(λ + 2)(λ + 2)(λ − 2) = 0.

Характеристичне рiвняння ма¹ двократний корiнь λ = −2 i простий корiнь λ = 2. Загальний розв'язок отриманого рiвняння третього порядку ма¹ вигляд

x(t) = C1e2t + (C2 + C3t)e−2t.

Пiдставля¹мо функцiю x(t) у вирази для y i z:

y(t) = x00(t) − x0(t) − 2x(t) = e−2t(4C2 + 4C3t − 5C3),

z(t) = x0(t) − x(t) = C1e2t + e−2t(−3C2 − 3C3t + C3).

Ç à ó â à æ å í í ÿ. Ми встановили, що за певних умов (див. виноску 1 на с. 43) нормальна система n диференцiальних рiвнянь зводиться

n − 1 перших рiвнянь системи (4.2.1), а з меншого ¨х числа. У цьому разi система (4.1.1) зводиться до кiлькох рiвнянь iз однi¹ю невiдомою функцi¹ю в кожнiм.

П р и к л а д 3. Розв'язати систему диференцiальних рiвнянь:

Р о з в ' я з а н н я. Очевидно, що з першого та третього рiвнянь дано¨ системи, якi мiстять лише невiдомi x i z, можна виключити одну невiдому i отримати

45

рiвняння другого порядку вiдносно однi¹¨ невiдомо¨. Виключимо, наприклад, невiдому z. Вiзьмемо похiдну вiд першого рiвняння i враху¹мо вирази для x0 i

z0:

x00 = 8x0 − 6z0 = 10x − 6z.

Виразимо z iз першого рiвняння z = −16 (x0 − 8x) отримане рiвняння другого порядку. У результатi матимемо:

x00 = 10x − x0 − 8x àáî x00 − x0 − 2x = 0.

Загальний розв'язок цього рiвняння ма¹ вигляд

x(t) = C1e−t + C2e2t.

Знаходимо функцiю z(t):

z(t) = 32 C1e−t + C2e2t.

Рiвняння для визначення невiдомо¨ y з урахуванням виразiв для x(t) i z(t) набува¹ вигляду

Знаходимо невiдому y:

y(t) = −52 C1e−t + C3e2t.

Пропону¹мо самостiйно переконатися, що в даному прикладi змiннi x i z виключаються iз двох рiвнянь, а саме: iз рiвняння для y0 та рiвняння для y00.

 ï ð à â è

Розв'язати системи диференцiальних рiвнянь:

46

47

Âiäïîâiäi

48

57. x(t) = C1e−t + C2e2t, y(t) = C1e−t −C2e2t −C3e2t, z(t) = C1e−t + C3e2t.

58. x(t) = C2e−t+C3e2t, y(t) = −C1e−t−C2e−t+C3e2t, z(t) = C1e−t+C3e2t.

59. x(t) = C2e−t − C3e2t, y(t) = C1e2t + C2e−t, z(t) = C3e2t.

49

60. x(t) = −C3e−t + C2et, y(t) = C1e−t + C2et, z(t) = C3e−t.

61. x(t) = C1e3t − C2e2t − C3et, y(t) = C1e3t − 3C2e2t − 2C3et, z(t) = C2e2t + C3et.

62. x(t) = C1e−t + C2et + C3e3t, y(t) = 3C1e−t + 2C2et + C3e3t, z(t) = −C1e−t − C2et.

Бiблiографiчний список

1. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2. ч./ П. Е. Данко, А. Г. Попов. M.: Высш. шк., 1974. Ч. 2. 464 с.

2. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. M.: МГУ, 1984. 280 с.

3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т. M.: Наука, 1970. Т. 2. 576 с.

4. Смирнов В. И. Курс высшей математики: В 5 т. M.: Наука, 1974. Т. 2. 656 с.

5. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. M.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 467 с.

6. Шипач¼в В. С. Высшая математика. M.: Высш. шк., 1990. 479 с.

50