Решения задач ЕГЭ
.pdfРешение
1. |
Время полёта пули до мишени: |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
X = v0τ; τ = |
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 |
|
|
|
2. |
Изменение вертикальной координаты пули за время полёта τ: |
|||||||||||||||
|
|
gτ |
2 |
|
g |
|
|
2 |
10 |
400 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y = |
|
= |
X |
|
= |
|
=1,25м; |
||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
v0 |
|
|
2 |
800 |
|
|
26. Тело брошено со скоростью v0 = 10 м/с пол углом α = 600 к горизонту. Определить скорость тела в верхней точке траектории.
Решение
1. Тело, брошенное в поле земного тяготения с начальной скоростью v0, направленной под углом α к горизонту будет двигаться по криволинейной траектории, лежащей в плоскости, перпендикулярной поверхности земли. Существенно отметить, движение протекает при постоянном по модулю и направлению ускорении g . Это даёт возможность разложить криволинейное движение
на два более простых: равномерное вдоль горизонтальной оси т.к. gx = 0 и ускоренное по вертикальной оси, где проявляется двояко ускорение свободного падения.
Рис. 26. Тело, брошенное под углом α к горизонту
2. Движение исследуемого тела относительно вертикальной оси из начальной точки О в точку С − равнозамедленное, а из точки С в точку В − равноускоренное с ускорением свободного падения g . В начальный момент времени
при t = 0 имеем: х0 = 0, у0 = 0, v0x = v0 cosα, v0y = v0 sinα, ax = 0, ay = − g.
3. Для проекций скорости в любой момент времени, например в точке М,
движения можно записать следующие уравнения |
|
|
vx (t)= v0 cosα, |
(1) |
|
vy (t)= v0 sin α − gt. |
||
|
11
4. |
Модуль вектора скорости определится как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
r |
= v02 cos2 α + |
(v0 sin |
α − gt)2 = |
v02 cos2 α + (v02 sin2 α − 2v0 sin αgt + g2t2 ), |
||||||||||||||||||
|
|
v |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
= |
v02 (cos2 α + sin2 |
α)− 2v0gt sin α + g2t2 . |
(2) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
v |
||||||||||||||||||||
5. |
Положение вектора скорости определим, используя свойства прямо- |
|||||||||||||||||||||||
угольного треугольника, построенного на векторе скорости и его проекциях |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
v |
|
sin α −gt |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
tgβ = |
|
vy |
|
, β = arctg |
0 |
. |
(3) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
v0 cosα |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
vx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
Уравнения движения запишем, используя особенности равномерного пе- |
|||||||||||||||||||||||
ремещения точки по горизонтали и равноускоренного по вертикали |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
= v0t cosα, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= v0t sin α − gt2 . |
|
|
|
|
(4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Время подъёма тела в верхнюю точку траектории С определим, исполь- |
|||||||||||||||||||||||
зуя второе уравнение системы (1) при условии: vy = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
v0 sin α −gtC = 0, tC = |
v0 sin α |
. |
|
(5) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
8. |
Определим далее полное время полёта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ = 2tC = |
2v0 sin α . |
|
|
|
|
(6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
При подстановке времени полёта τ в первое уравнение системы (3.38) |
|||||||||||||||||||||||
получим максимальную дальность броска |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
xmax = |
2v2 sin αcosα |
= |
v2 sin 2α |
. |
|
|
|
(7) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Из последнего уравнения, в частности, следует, что при прочих равных условиях максимальная дальность броска будет иметь место при α = 450, т.к. в
этом случае 2α = π/2, sin 2α = 1.
11.Максимальная высота подъёма определится путём подстановки времени из уравнения (6) во второе уравнение системы (4)
y |
|
= v |
|
sin α |
v |
0 |
sin α |
− |
g v2 sin2 |
α |
, |
|||
max |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
g |
2 |
g2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ymax = |
|
v2 sin2 |
α |
. |
|
|
(8) |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2g |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Уравнение траектории получается при исключении времени из уравнений (4). Из первого уравнения
|
|
|
|
|
t = |
x |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 cosα |
|
|
|
|
||||
при подстановке этого значения t во второе уравнение, получим |
|
||||||||||||
y = v |
0 |
sin α |
x |
− g |
|
|
x2 |
= xtgα − |
g |
x2 . |
(9) |
||
v0 cosα |
|
|
|
2v02 cos2 α |
|||||||||
|
|
2 v02 cos2 α |
|
|
|
|
|
||||||
13. Если ввести обозначения: tgα = a, |
g |
(2v02 cos2 α)= b , то уравнение тра- |
|||||||||||
ектории примет более классифицируемый вид |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
y = ax - bx2 . |
|
|
|
(10) |
12
14. Проведенный выше анализ показывает, что в верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в ноль, т.е. vC = vx
vC = vx = v0 cosα =10 0,5 = 5 мс ;
27.Спортсмен толкает ядро с начальной скоростью v0 = 15 м/с под углом α = 450 к горизонту. Определить время полёта ядра и время его подъёма в высшую точку траектории.
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x(t)= v |
t cosα, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gt2 |
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t)= v0t sin α − gt2 . y(t) = 0; |
v0t sin α − |
2 = 0; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gt2 |
− v0t sin α = 0; |
t |
2 − |
2v |
t sin α |
= 0; tΣ |
= |
2v |
|
sin α |
= |
30 0,707 |
2,121c; |
|||
2 |
0 |
g |
|
|
0 |
g |
10 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
tC |
= |
tΣ |
=1,06c; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
28. Диск, брошенный под углом α = 450 к горизонту, достиг наибольшей высоты h = 15 м. Определить дальность полёта диска.
Решение
1. Время полёта диска:
gt2 |
− v0t sin α = 0; t2 |
− |
2v |
t sin α |
= 0; tΣ = |
2v |
|
sin α |
; |
2 |
0 |
g |
|
0 |
g |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2. Начальная скорость диска:
y |
|
= v |
|
sin α |
v |
0 |
sin α |
− |
g v2 sin2 |
α |
, y |
|
= |
v2 sin2 |
α |
=h; |
|
max |
0 |
|
|
|
0 |
|
max |
0 |
|
||||||||
|
|
g |
2 g2 |
|
2g |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
0 |
= |
|
2gh |
|
|
300 |
24,5 |
м; |
|
||
|
|
sin2 α |
0,5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
||||
3. Дальность полёта диска: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xmax = |
2v2 sin αcosα |
= |
v2 sin 2α |
|
600 |
60м; |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
g |
g |
|
|
10 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29.Найти высоту подъёма сигнальной ракеты, выпущенной со скоростью v0
=20 м/с под углом α = 600 к горизонту.
Решение
ymax = |
v2 sin2 |
α |
= |
400 |
0,45 |
=15м; |
0 |
|
|
|
|||
2g |
|
20 |
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
30. Камень, брошенный под углом к горизонту, достиг наибольшей высоты h = 45 м. Найти время полёта камня.
13
Решение
h = |
v2 sin2 |
α |
; |
v0 sin α = 2gh; |
||||
0 |
|
|||||||
2g |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tΣ = 2v0 sin α |
= |
2 |
2gh |
= 2 |
900 |
= 6c; |
||
|
g |
10 |
||||||
|
g |
|
|
|
|
|
31. Масса бетонного блока, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равна m1 = 6 кг. Какой будет масса блока, если первую его сторону увеличить в два раза, вторую − в 1,5 раза, а третью уменьшить в 3 раза?
|
|
|
Решение |
|
||
|
m1 = ρ(a b c); |
|
|
|
||
m = ρV; |
|
|
|
|
|
m1 = m2 = 6кг; |
m2 |
1,5b |
c |
||||
|
= ρ 2a |
3 |
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
32. Два кубика изготовлены из одинакового материала. Сторона второго кубика в 2 раза больше, чем второго. Сравнить массы кубиков.
Решение
|
3 |
; |
|
|
m |
|
|
m = ρV; |
m1 = ρa |
|
|
2 |
= 8; |
||
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
m |
|
|
|
m2 = ρ(2a) |
; |
|
|
1 |
|
33. Лыжник массой m = 60 кг, имеющий в конце спуска с горы скорость v0 = 10 м/с, останавливается через τ = 20 с после спуска. Определить, пренебрегая сопротивлением воздуха, величину силы трения.
Решение
1. Ускорение лыжника во время его движения после спуска:
|
ar |
|
= |
v |
= |
v0 |
= 0,5 |
м |
; |
|
|
||||||||
|
|
t |
τ |
с2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2. При движении от конца спуска до остановки на лыжника действует в направлении движения одна внешняя сила − сила трения, которая и обеспечивает торможение. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось:
Fμ = ma = 60 0,5 = 30 H;
34. Автомобиль массой m = 1800 кг, двигаясь из состояния покоя по горизонтальному пути, через τ = 10 с достигает скорости v = 30 м/с. Определить, пренебрегая сопротивлением движению, силу тяги автомобиля.
|
|
|
|
Решение |
|
|
|||
1. Ускорение автомобиля при разгоне: |
|
|
|
||||||
|
ar |
|
= |
v |
= |
v |
= 3 |
м |
; |
|
|
||||||||
|
|
t |
τ |
с2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
14
7. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на направление движения:
F = ma =1800 3 = 5,4 кН;
35. Тело массой m = 100г движется вдоль оси ОХ, изменение проекции скорости во времени задано графически. Определить значение силы, действующей на тело в момент времени τ = 2 с.
Решение
| a |= |
| v | |
; |
|
t |
|||
|
|
|
r |
= m |
|
r |
|
= 0,1 |
9 −3 |
= 0,2H ; |
Рис. 35. Зависимость проекции |
|
F |
|
|
||||||
|
|
a |
|
2 |
скорости от времени движения тела |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
36. Определить величину и направление равнодействующей двух равных |
|||||
|
r |
= |
r |
= 5H , линии действия которых составляют угол |
|
по модулю сил |
F1 |
F2 |
α = |
||
1200. |
|
|
|
|
|
Решение
1. Модуль равнодействующей: r
R = F12 + F22 + 2F1F2 cosα = 50 −50 0,5 = 5H; 2. Если (i;F2 )= π6, то (i;R)= π2 .
37. Силы F1 = 6 Н и F2 = 8 Н приложены к одному телу . Угол между линиями действия сил составляет α = 900. Масса тела m = 2 кг. Определить ускорение с которым движется тело.
Решение
1. Равнодействующая сил: |
|
|
|
|
|
|||||
|
r |
= F2 |
+ F2 |
+ 2F F cosα; α = 900 |
; |
r |
= F2 |
+ F2 |
= 36 + 64 =10Н; |
|
|
R |
R |
||||||||
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
2. Ускорение тела:
|
|
|
|
i=n |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=n |
r |
|
∑Fi |
|
|
Rr |
|
|
10 |
|
м |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∑Fi = mar; |
ar |
= |
i=1 |
|
= |
|
|
|
= |
= 5 |
; |
|||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
i=1 |
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
2 |
|
с |
38.Брусок спускается с наклонной плоскости, длиной L = 15 см в течение τ
=0,26 с. Определить равнодействующую всех сил, действующих на брусок массой m = 0,1 кг во время его движения, если начальная скорость бруска равна нулю.
|
|
Решение |
|
|
|
|
1. Ускорен6ие бруска: |
|
|
|
|
|
|
L = |
at2 |
a |
= |
2L |
; |
|
2 |
; |
t2 |
||||
|
|
|
|
|
15
2. Равнодействующая действующих на брусок сил:
|
r |
= m |
|
ar |
|
|
r |
= m |
2L |
= |
0,1 |
0,3 |
= 0.44H ; |
|
R |
|
; |
R |
|||||||||
|
|
t2 |
6,76 |
10−2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39. Снаряд массой m = 2 кг вылетает из ствола орудия в горизонтальном направлении со скоростью v = 400 м/с. Определите значение равнодействующих всех сил, считая её постоянной, если длина ствола L = 2,5 м.
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|||
1. |
Время движения снаряда в стволе орудия: |
|
|||||||||||
|
a = |
v ; L = |
a |
t2 |
; |
t = |
2L |
|
= |
|
5 |
=1,25 10−2 c; |
|
|
|
|
v |
400 |
|||||||||
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
||||||
2. |
Равнодействующая сил: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R = ma = m |
v |
= m |
v2 = 21,6 105 |
= 6,4 103 Н; |
||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
2L |
|
5 |
|
40. Два шара радиусами R1 = 0,2 м и R2 = 0,3 м соприкасаются друг с другом. Во сколько раз изменится сила тяготения между шарами, если один из шаров отодвинуть на х = 100 см?
|
|
|
m1m2 |
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|||
F |
= G |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
1 |
|
(r1 |
|
|
|
F |
|
1,5 |
|
2,25 |
|
||||
|
|
+ r2 ) |
|
|
|
= |
|
= |
= 9; |
||||||
|
|
|
|
m m |
|
|
2 |
0,52 |
0,35 |
||||||
F |
= G |
|
|
2 |
; |
|
F |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
(r |
+ r |
+ x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41. Расстояние между планетой Нептун и Солнцем в 30 раз больше, чем расстояние между Землёй и Солнцем, масса Нептуна в 15 газ больше массы Земли. Во сколько раз сила притяжения Солнца к Земле больше, чем Солнца к Нептуну?
Решение
F = G mНmС ; |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
Н |
|
2 |
|
|
|
|
F |
|
m |
|
|
r |
|
1 |
|
|
||
|
r1 |
|
|
|
|
= |
З |
|
|
= |
900 |
= 60; |
||||||
|
m |
m |
|
|
|
З |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
F |
m |
|
|
15 |
|||||||||||
F = G |
С |
; |
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
||||||
З |
|
|
Н |
|
|
H |
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
З |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42. Как изменится сила тяжести, действующая на ракету при её вертикальном подъёме на высоту, равную двум радиусам планеты?
Решение
F = G |
Мm |
; |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
R |
2 |
|
|
|
F |
|
9R |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= 9; |
|||
|
|
Mm |
|
1 |
R2 |
|||||
|
|
F2 |
||||||||
F = G |
|
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(R + 2R) |
|
|
|
|
|
|
|
16
43. Как изменится сила тяжести, действующая на космический корабль, если сначала он был на расстоянии трёх земных радиусов от поверхности планеты, а мотом только одного радиуса?
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
F |
= G |
|
Мm |
; |
|
|
|
|
|
(3R + R)2 |
F |
|
16 |
|
|||||
1 |
|
|
= |
= 4; |
|||||
|
|
|
Mm |
|
|
2 |
|
||
F = G |
|
; |
|
F1 |
|
4 |
|
||
|
(2R) |
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44. Определить ускорение свободного падения на планете, масса которой больше массы Земли на 200%, а радиус на 100% больше земного. Ускорение свободного падения на Земле принять g 10 м/с2.
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mg = G mMЗ |
; g = G MЗ ; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
RЗ2 |
|
|
|
|
RЗ2 |
|
|
g |
X |
= |
3MЗ |
; |
gX = 3 ; |
g |
X |
= |
3 g = 7,5 |
м |
; |
|
|
с2 |
|||||||||||
|
|
4RЗ2 |
g |
4 |
|
|
4 |
|
45. Предположим, что радиус Земли уменьшился в 3 раза. Как при этом должна измениться масса Земли, чтобы ускорение свободного падения на её поверхности осталось прежним?
Решение |
|
|
||
mg = G mM |
; g = G |
M |
; |
|
R2 |
||||
R2 |
|
|
MX 2 ; MX = M ;
R 9
3
46.Космический корабль движется вокруг Земли по круговой орбите радиу-
сом R = 3 107 м. Массу Земли принять равной М = 6 1024 кг. Определить скорость космического корабля.G RM2 = G
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
||
G |
mM |
= |
mv2 |
; v = |
GM |
= |
6,67 10−11 |
6 1024 |
3,65 10 |
3 |
м |
; |
|
R2 |
R |
R |
3 |
107 |
|
с |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
47. Первая космическая скорость для спутника Марса, летающего на небольшой высоте, v = 3,5 км/с. Определить массу планеты Марс, если её ради-
ус R = 3,38 106 м.
Решение
G |
mM |
= |
mv2 |
; M = |
v2R |
= |
1,23 107 3,38 106 |
6,21 10 |
23 |
кг; |
|
R |
2 |
R |
G |
11 |
|
||||||
|
|
|
|
|
6,67 10 |
|
|
|
17
48. Как изменится первая космическая скорость, если радиус планеты увеличить в 9 раз?
Решение
G |
mM |
= |
mv2 |
; |
|
v = |
GM |
; |
|
R2 |
R |
|
R |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
v1 = |
GM |
|
|
|
|
|
||
|
|
R |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 = 3v2 ; |
|
||
|
|
GM |
|
|
|||||
|
v2 = |
|
|
|
|
|
|||
|
|
9R |
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49. Массу спутника увеличили в 4 раза. Как изменится величина его первой космической скорости?
Решение
1. Условие нахождения спутника на круговой стационарной орбите:
G |
mM |
= |
mv2 |
; v = |
GM |
; |
|
R2 |
R |
R |
|||||
|
|
|
|
2.Масса спутника в уравнение первой космической скорости не входит.
50.Каков период обращения низкоорбитального спутника Меркурия, масса которого М = 3,26 1023 кг, а радиус R = 2,42 106 м?
Решение
G |
mM |
= |
mv2 |
; v = |
GM |
|
6,67 10−11 |
3,26 1023 |
3 10 |
3 |
м |
; |
R2 |
R |
R |
2,42 |
106 |
|
с |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
v = ωR = |
2π |
; |
T = |
2πR |
= |
6,28 2,42 106 |
5 103 с 1,41 суток; |
|
|
T |
|
|
v |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
51. |
Определить жёсткость системы |
|
|
|
|
|
|
|
двух последовательно соединённых пру- |
||
|
|
|
|
|
|
жин жёсткостью k1 = 600 Н/м и k2 = 400 Н/м. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
Рис. 51. Последовательные пружины |
|
1. |
При последовательном соединении |
|||||
|
пружин их деформация будет разной при |
|||||||
|
|
|
|
|
|
одинаковой действующей силе, это обстоя- |
тельство позволяет определить общую жёсткость пружин следующим образом:
xo = x1 + x2 |
= |
F |
+ |
F |
= |
F |
, |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
k1 |
k2 |
ko |
|||
ko = |
k1k2 |
|
240 |
Н. |
|
|
|||
k1 + k2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
м |
|
|
52. Определить жёсткость системы двух пружин жёсткостью k1 = 200 Н/м и k2 = 400 Н/м при их параллельном соединении.
Решение
1. Пружины соединены параллельно, их деформация одинакова:
Рис. 52. Параллельное соединение пружин |
x1 = x |
2 = x . |
|
|
18
2. Сила, действующая на массу со стороны пружин, определится в виде суммы
F = F + F , или |
k |
0 |
x = k |
1 |
x + k |
2 |
x; |
k |
0 |
= k |
1 |
+ k |
2 |
= 600 Н |
; |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53. К двум последовательно соединённым пружинам параллельно присоединена третья пружина. Какова жёсткость системы, если все пружины имеют одинаковую жёсткость k1 = k2 = k3 = 600 Н/м?
Решение
1. Жёсткость последовательного соеди-
нения: |
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xo = x1 + x2 = |
+ |
F |
= |
F |
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
k1 |
k2 |
k1,2 |
|
|
|
|
||||
k1,2 = |
k1k2 |
= 600 600 = 300 Н |
; |
|
|
|
|||||||
k1 + k2 |
Рис. 53. Смешанное соединение пружин |
||||||||||||
|
1200 |
|
|
м |
|
||||||||
3. Жёсткость системы трёх пружин: |
|
Н |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
k1,2,3 |
= k1,2 + k3 |
= 900 |
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
54. Под действием груза проволока удлинилась на х = 1 см. Этот же груз подвесили к такой же длины проволоке, но имеющей в 2 раза большую площадь сечения. Каким будет удлинение проволоки?
|
|
|
mg |
|
Решение |
ε |
x1 |
= |
|
|
|
s |
; |
x |
|||
|
|
|
|
ε2 = mg2s ; x2 = 2; x2 = 5 10−3 м;
55.На шероховатой горизонтальной поверхности лежит тело массой m = 1
кг. Коэффициент трения пела о поверхность μ = 0,1. Определить силу трения между телом и поверхностью при действии на тело силы F = 0,5 Н.1x 1
Решение
1. Значение силыrтрения при начале движения:
FТр = μmg 0,1 1 10 =1H; FТр > F,
следовательно, сила трения по модулю равна действующей на покоящееся тело силе.
56. Тело массой m = 1 кг движется по горизонтальной плоскости. На тело действует сила F = 10 Н, направленная под углом α = 300 к горизонту. Коэффициент трения скольжения равен μ = 0,4. Определить модуль силы трения.
Рис. 56. Сила трения
19
Решение
FТр = μN ;
r
N = mg + Fy = mg + Fcos600 ; FrТр = μ(mg + Fcos600 );
FrТр = 0,4(10 +10 0,5)=15H;
57. Груз поднимают на верёвке: один раз равномерно, во второй раз с ускорением а = 20 м/с2. Во сколько раз натяжение верёвки больше во втором случае, чем в первом случае?
Решение
T1 |
= mg; |
|
|
T |
= |
g + a |
= 3; |
T2 |
|
|
2 |
g |
|||
= m(g + a); |
|
T1 |
|
|
58. Парашютист массой m1 = 80 кг спускается на парашюте с установившейся скоростью v = 5 м/с. Какой будет установившаяся скорость , если на том же парашюте будет спускаться мальчик массой m2 = 40 кг, считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости парашюта FR v?
Решение
m1g = kv1; |
|
m |
= |
v |
; v2 |
= |
m v |
= |
40 5 |
= 2,5 |
м |
; |
|
|
1 |
1 |
2 1 |
|
|
||||||||
m2 |
v2 |
80 |
с |
||||||||||
m2g = kv2 ; |
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
59. Автобус, масса которого с полной загрузкой составляет m = 15 т, трогается с места с ускорением а = 0,7 м/с2. Определить силу тяги автобусного двигателя FT, если коэффициент сопротивления движению r = 0,03.
Решение
1. Второй закон Ньютона в проекции на направление движения:
FT = ma + FR = ma + rmg = m(a + rg)=1,5 104 (0,7 +10 0,03) 1,5 104 H;
|
60. Брусок массой m = 0,5 кг прижат к вертикаль- |
|||||||||||
|
ной стене силой F = 10 Н. Коэффициент трения |
|||||||||||
|
скольжения между бруском и стеной равен μ = 0,4. |
|||||||||||
|
Какой величины вертикальную силу нужно прило- |
|||||||||||
|
жить к бруску, чтобы поднимать его с ускорением а = |
|||||||||||
|
2 м/с2? |
|||||||||||
|
|
|
Решение |
|||||||||
|
1. |
Нормальная реакция связи: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
= |
|
F |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2. |
Сила трения: |
||||||||||
|
|
|
FТр |
|
= μN = μF ; |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
Рис. 60. Ускоренный подъём |
3. |
Уравнение второго закона Ньютона в проекции |
20