3. Операторы и матрицы
.pdf1
Задачи для самостоятельной работы
3. Векторное произведение, операторы, матрицы
1. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) x |
|
e 1 |
3 e 2 , y |
e 1 |
e 3 , z |
e 1 2 e 2 e 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2) x |
|
|
3 e 1 |
2 e 2 |
e 3 , y |
|
5 e 1 |
5 e 2 |
5 e 3 , z |
e 2 |
2 e 3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) x |
|
|
6 e 2 |
e 3 , y |
2 e 2 , z e 1 e 2 e 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах |
x и |
y , если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) x |
|
a |
3 b , y |
|
2 a |
b , |
|
a |
|
2, |
b |
|
1, a, b |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2) x |
|
2 a b , y |
a |
|
3 b , |
a |
b |
|
, a, b |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3) x |
|
a |
2 b , y |
a |
|
3 b , |
|
a |
|
b |
|
, a, b |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 , |
|
|
|
||||||||||
3. Пусть |
|
a |
0 |
– некоторый фиксированный вектор |
из |
а операторы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A : R3 R3 и B : R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x R |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
R3 , действуют по правилам |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1) A x |
|
a, x a |
, 2) A x |
a, x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Показать, что эти операторы линейные и найти их матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4. Показать, что операторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A : R3 |
|
R3, B : R3 |
R3 , C : R3 R3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
действие которых задано координатными соотношениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
2x 3x |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) A x2 |
|
|
|
|
2x1 3x3 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x2 3x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
2x 3x |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) B x2 |
|
|
|
2x1 2x2 3x3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
x |
|
x 2x |
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
3) C x2 |
|
|
3x1 2x2 |
|
, |
||
|
|
|
3x2 x3 |
|
|
||
x3 |
|
|
|
|
являются линейными и записать их матрицы.
5. В каноническом базисе трёхмерного пространства R3 действия операторов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A : R3 R3 и |
|
B : R3 |
R3 на произвольный вектор x |
|
R3 заданы соотно- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
шениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2x 3x |
|
|
|
2x |
|
|
|
x |
|
|
3x x |
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
||||
A x2 |
|
|
|
|
|
|
2x1 3x3 |
|
; B x2 |
|
|
|
|
|
|
2x1 |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
3x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Найти координаты вектора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1) A |
2 B |
x ; 2) |
2 A |
3 B |
|
x ; 3) A B B A x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. Найти матрицы, обратные данным матрицам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 2 |
|
3 |
|
1 |
|
|
1 2 |
|
|
1 |
|
3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 3 |
|
1 |
|
|
|
0 2 3 |
|
|
|
|
1 |
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а) |
|
; б) |
|
; в) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3 1 |
|
2 |
|
|
|
0 1 2 |
|
|
|
|
2 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7. Решить СЛАУ матричным методом и по формулам Крамера: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 3x |
2 |
|
|
|
|
x |
3 |
2, |
|
|
x 3x |
2 |
|
|
x |
3 |
5, |
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2x1 3x2 |
2x3 |
|
|
0, |
|
2 |
|
|
3x1 |
4x2 |
3x3 |
11, |
||||||||||||||||||||||||||
|
3x 2x |
2 |
|
|
x |
3 |
|
4; |
|
|
|
2x 4x |
2 |
x |
3 |
9. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. Найти решение СЛАУ по формулам Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x1 2x2 x3 8, |
|
|
3x1 2x2 x3 5, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x2 3x3 5, |
|
|
2x1 3x2 x3 1, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1) 2x1 |
2) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x 4x |
2 |
5x |
|
|
|
10; |
|
|
2x |
x |
|
3x |
11; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 2x2 3x3 2x4 6,
2x1 x2 2x3 4 8,
3)3x1 2x2 x3 2x4 4,2x1 3x2 2x3 8.x43x
|
|
|
|
|
|
|
9. Разложить вектор x |
|
|
, a |
|
, a |
|
по системе векторов a |
1 |
2 |
3 : |
|||
|
|
|
|
|
|
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
a1 |
e 2 |
2 e 3 , a 2 |
e 1 |
e 3 , a 3 e 1 2 e 2 |
4 e 3 , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 e 1 9 e 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
a1 |
e 1 |
3 e 2 , a 2 e 1 e 2 e 3 , a 3 e 2 2 e 3 , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 e 1 12 e 2 e 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
a1 |
3 e 1 e 2 e 3 , a 2 |
3 e 2 e 3 , a 3 |
e 1 e 2 |
e 3 , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 e 2 4 e 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. В каноническом базисе пространства R3 дана линейно независимая система векторов
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
2 e 1 2 e 2 , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
2 e 2 |
2 e 3 , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
2 e 1 2 e 3 |
|
|
|||
и матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
2 |
3 |
. |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Будет ли линейно независимой система векторов A x1 , 2 A x 2 , 3 A x 3 ? |
|||||||||||||
11. Проверить, что AB C A BC , если |
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
8 |
4 |
3 2 |
5 |
|
1 |
1 |
0 |
|||||
|
|
|
5 |
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
A |
6 |
9 |
|
, B |
4 |
|
, C |
0 1 |
1 . |
||||
|
4 7 |
3 |
|
|
9 |
6 |
5 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
12. Вычислить многочлен
P X X 3 3X 2
от матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
X |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
. |
||||
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
13. Найти матрицу X , удовлетворяющую условию:
|
|
|
4 |
|
|
4 |
2 |
а)5A 2X 0 |
|
|
|
, если A |
8 |
0 |
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
и) 1 A 3X 2B, если A |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Вычислить определители: |
|
|||||||||||||
|
|
|
a |
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ф) |
|
a |
a |
a |
; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x2 |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
|
y 2 |
y |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Решить уравнения: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
4 |
5 |
1 |
0 ; |
|
|||||||||
|
|
2 1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||
б) |
2 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
0 . |
|
||||
|
|
|
x 10 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
16. Решить неравенства: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
1 |
x |
|
2 |
|
1; |
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
1 |
1 |
|
2 |
0 . |
|
||||||||
|
|
5 |
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
17. Вычислить определитель: |
|
|||||||||||||
|
427 |
|
327 |
|
|
|
|
|||||||
|
246 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1014 |
543 |
|
443 |
. |
|
||||||||
|
342 |
721 |
|
621 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
5 |
|
, |
B |
|
|
. |
|
|
7 |
9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
18. Решить матричные уравнения: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) X |
2 1 |
|
|
0 |
|
|
4 |
|
3 2 |
; |
|||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|||||
б) |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
2 |
|
5 3 |
|
|
3 |
1 |
||||||||
19. Решить методом Гаусса СЛАУ: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2x1 x2 x3 4, |
|
|
|
|
|||||||||||||
а) |
3x1 |
4x2 |
2x3 |
11, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 |
2x2 |
4x3 |
11; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 x2 4x3 0, |
|
|
|
|
||||||||||||||
б) |
3x1 |
5x2 |
7x3 0, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5x |
2 |
6x |
3 |
0; |
|
|
|
||||||
|
4x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
1 |
2x |
2 |
3x |
3 |
2x |
4 |
6, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2x1 x2 |
2x3 3x4 8, |
|
|
|||||||||||||||
в) |
|
3x1 2x2 x3 2x4 4, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2x |
1 |
3x |
2 |
2x |
3 |
x |
4 |
8. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. Пространство R3 подвергается деформации под действием линейного опера-
тора A , заданного в каноническом базисе матрицей
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
3 |
1 |
. |
|
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найти объём треугольной пирамиды с вершинами |
|||||||
A 0; 0; 0 ; B 3; 3; 0 ; C 0; 3; 3 ; D 3; 0; 3 |
|||||||
до и после деформации пространства. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
, a |
2 , a 3 |
, a |
– некоторый базис, а |
||
21. Пусть a1 |
4 X 4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
T |
2 |
5 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 X |
4 . Найти матрицу оператора в бази- |
|||||
– матрица линейного оператора T : X |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , g 2 , g 3 , |
g 4 |
X 4 , если: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
се g |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) g1 |
2 a1 |
a 2 a 3 a 4 , g 2 |
3 a1 2 a 2 3 a 3 a 4 , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
g 3 |
4 a1 |
3 a 2 |
2 a 3 a 4 , g 4 |
|
5 a1 |
4 a 2 |
3 a 3 |
2 a 4 ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) g1 |
2 a1 |
a 2 2 a 3 3 a 4 , g 2 |
|
3 a1 |
a 2 |
|
2 a 3 |
|
2 a 4 , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
g 3 |
2 a1 |
2 a 3 |
2 a 4 , |
g 4 2 a1 a 2 |
a 3 |
|
2 a 4 . |
|
22. Используя понятие ранга матрицы и теоремы о совместности, выяснить вопрос о совместности следующих СЛАУ:
|
2x |
1 |
x |
2 |
4 x |
3 |
0, |
||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) |
3x1 5x2 7 x3 0, |
||||||||||||||
|
|
1 |
5x |
2 |
6x |
3 |
0; |
||||||||
4x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x1 x2 |
x3 x4 0, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x3 x4 0, |
|||||
x1 2x2 |
|||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
4x2 5x3 2x4 0, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
1 |
x |
3 |
3x |
4 |
0. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
23. При каких значениях параметра a СЛАУ является совместной:
x |
|
|
2x |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
a, |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
а) x1 2x2 x3 x4 1, |
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2x |
2 |
|
x |
3 |
|
|
|
|
4 |
5; |
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
5x |
2 |
2x |
3 |
4x |
4 |
2, |
|||||||||||
3x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) 7x1 4x2 x3 3x4 a, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
ax |
2 |
4x |
3 |
|
|
|
|
4 |
3. |
|||||||
5x |
|
|
|
6x |
|
7
24. Найти ядро оператора, заданного в пространстве R3 своей матрицей
1 |
1 |
0 |
|
A |
|
|
. |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
Дать геометрическую интерпретацию и получить параметрические уравнения ядра.
25. Найти ядро, дефект, ранг и множество значений линейного оператора
A : Rm Rn , заданного в некоторых базисах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, e |
|
|
Rm |
|
, a |
|
|
Rn |
||
e1 |
2 |
, , e m , |
, a1 |
2 |
, , a n , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
своей матрицей:
|
2 |
|
1 |
|
|
|
1 1 |
|
2 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
|
0 |
1 |
2 |
; б) |
|
1 |
1 1 ; в) |
|
3 |
2 |
0 |
0 |
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
1 2 |
|
1 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
1 1 |
|
1 |
|
1 2 1 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
г) |
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
1 2 |
|
2 |
|
|
1 1 |
|
|
||
1 |
2 |
1 |
; д) 1 |
|
|
; е) |
2 2 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
1 5 11 |
|
1 3 1 |
0 |
||||||||
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|