В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания для студентов 2 курса заочной формы обучения
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра прикладной математики
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ
Программа, контрольные работы № 4,5,6 и методические указания для студентов 2 курса заочной формы обучения специальностей 060400, 060500, 060800
Составитель В.М.Волков
Утверждены на заседании кафедры Протокол № 5 от 06. 04. 01
Рекомендованы к печати учебнометодической комиссией специальности 060400 Протокол № 3 от 19. 04. 01
Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса КузГТУ
Кемерово 2001
1
Контрольные работы № 4,5,6 составлены в соответствии с программой курса высшей математики для студентов-заочников инженерно- экономических специальностей. В составлении работ и методических указаний к ним принимали участие преподаватели: В.М.Волков, Е.А.Волкова, О.С.Георгинская, В.А.Гоголин, И.А.Ермакова.
Номера задач контрольных работ студент должен выбрать по таблице «Выбор номеров контрольных задач» следующим образом:
найти строку, соответствующую первой букве фамилии; найти столбец, соответствующий последней цифре шифра зачётной книжки;
на пересечении найденных строки и столбца взять номера задач контрольных работ № 4,5,6.
Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, возврааются непроверенными.
ПРОГРАММА курса «Высшая математика» для инженерно-
экономических специальностей (2 курс)
1. Функции нескольких переменных
1.1.Понятие функции нескольких переменных. Областьопределения. Непрерывность.
1.2.Частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции, его применение к приближённым вычислениям.
1.3.Касательная плоскость к поверхности. Частные производные высших порядков.
1.4.Экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.
1.5.Градиент. Производная функции двух переменных по направле-
нию.
2. Неопределённый интеграл
2.1.Первообразная (неопределённый интеграл), её свойства. Таблица интегралов.
2.2.Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.
2.3.Использование таблиц (справочников) неопределённых инте-
гралов.
3. Определённый интеграл
2
Выбор номеров задач контрольных работ
№ |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
9 |
А,В, |
1 31 80 |
2 32 79 |
3 33 78 |
4 34 77 |
5 35 76 |
6 36 75 |
7 37 74 |
8 38 73 |
9 |
39 |
72 |
10 40 71 |
||||||||||||||||
Д |
110 130 |
100 150 |
101 131 |
120 130 |
91 141 |
110 140 |
111 121 |
100 150 |
101 131 |
120 130 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
17 47 64 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Ё,Е,З |
11 41 70 |
12 42 69 |
13 43 68 |
14 44 67 |
15 45 66 |
16 46 65 |
18 48 63 |
19 49 62 |
20 50 61 |
|||||||||||||||||||
|
109 129 |
99 149 |
102 132 |
119 129 |
92 142 |
109 139 |
112 122 |
99 149 |
102 132 |
119 129 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
27 57 74 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Г,Ж, |
21 51 80 |
22 52 79 |
23 53 78 |
24 54 77 |
25 55 76 |
26 56 75 |
28 58 73 |
29 59 72 |
30 60 71 |
|||||||||||||||||||
И,Л |
108 128 |
98 148 |
103 133 |
118 128 |
93 143 |
108 138 |
113 123 |
98 148 |
103 133 |
118 128 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
54 |
84 |
|
|
|
|
|
|
|
К |
1 |
60 |
90 |
2 |
59 |
69 |
3 |
58 |
88 |
4 |
57 |
87 |
5 |
56 |
86 |
6 |
55 |
85 |
8 |
53 |
83 |
9 |
52 |
82 |
10 51 81 |
|||
|
107 127 |
97 147 |
104 134 |
117 127 |
94 144 |
107 137 |
114 124 |
97 147 |
104 144 |
117 127 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
17 43 66 |
|
|
|
||||||||||||||||||
М,Н, |
11 49 70 |
12 48 61 |
13 47 62 |
14 46 63 |
15 45 64 |
16 44 65 |
18 50 67 |
19 42 68 |
20 41 69 |
|||||||||||||||||||
О |
106 126 |
96 146 |
105 135 |
116 126 |
95 135 |
106 136 |
115 125 |
96 146 |
105 136 |
116 126 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
27 37 76 |
|
|
|
||||||||||||||||||
П,Ы |
21 31 80 |
22 32 71 |
23 33 72 |
24 34 73 |
25 35 74 |
26 36 75 |
28 38 77 |
29 39 78 |
30 40 79 |
|||||||||||||||||||
|
105 125 |
95 145 |
106 136 |
115 125 |
96 146 |
105 135 |
116 126 |
95 145 |
106 136 |
115 125 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 54 86 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
С,У, |
1 60 90 |
2 59 81 |
3 58 82 |
4 57 83 |
5 56 84 |
6 55 85 |
8 53 87 |
9 |
52 |
88 |
10 51 89 |
|||||||||||||||||
Б |
104 124 |
94 144 |
107 137 |
114 124 |
97 147 |
104 134 |
117 127 |
94 144 |
107 137 |
114 124 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
17 44 66 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Р,Т, |
11 50 70 |
12 49 61 |
13 48 62 |
14 47 63 |
15 46 64 |
16 45 65 |
18 43 67 |
19 42 68 |
20 43 69 |
|||||||||||||||||||
Ф |
104 123 |
96 143 |
108 138 |
113 123 |
98 148 |
103 133 |
118 128 |
93 143 |
108 138 |
113 123 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
27 34 76 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Х,Ц, |
21 40 80 |
22 39 71 |
23 38 72 |
24 37 73 |
25 36 74 |
26 35 75 |
28 33 77 |
29 32 78 |
30 31 79 |
|||||||||||||||||||
Ш |
112 122 |
92 142 |
109 139 |
112 122 |
99 149 |
102 132 |
119 129 |
92 142 |
108 139 |
112 122 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 57 86 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ч,Щ, |
1 51 90 |
2 52 82 |
3 53 81 |
4 54 83 |
5 55 65 |
6 55 84 |
8 58 87 |
9 |
59 |
88 |
10 60 89 |
|||||||||||||||||
Э,Ю, |
101 121 |
91 141 |
110 140 |
111 121 |
100 150 |
101 131 |
120 130 |
91 141 |
110 140 |
111 121 |
||||||||||||||||||
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
3.1.Задачи, приводящиеся к понятию определённого интеграла.
3.2.Определённый интеграл как предел интегральных сумм.
3.3.Основные свойства определённого интеграла.
3.4.Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
3.5.Приложение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объёмов тел вращения.
4.Криволинейные интегралы
4.1.Задачи, приводящиеся к криволинейным интегралам.
4.2.Определение криволинейных интегралов по длине дуги и по координатам, их основные свойства и вычисление.
4.3.Приложение интегралов к вычислению масс неоднородных линий и работы переменной силы.
5.Обыкновенные дифференциальные уравнения
5.1.Задачи, приводящиеся к дифференциальным уравнениям. Основные определения.
5.2.Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
5.3.Интегрирование простейших типов дифференциальных уравнений: с разделяющимися переменными, однородных и линейных.
5.4.Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.
5.5.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
5.6.Применение дифференциальных уравнений для решения задач физики и механики.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Контрольная работа №4
Для решения данной контрольной работы следует проработать литературу по теме «Функции нескольких переменных» [2, гл. IX, с. 4- 24, с. 31-38, с. 41-44; 6, гл. I, с. 9-16, гл. YI, с. 248-251; 7, гл. YIII, с. 208221].
4
При решении задач 1-30, если функция двух переменных задана только аналитическим выражением, то под областью определения понимают совокупность всех точек плоскости OXY, в которых аналитическое выражение определено и принимает действительные значения. Например, для функций z = ϕ(x,y), где ϕ(x,y) - некоторая функция двух
переменных, выполнены условия:
1)z = (a ) область определения D : ϕ(x,y)≠ 0 ;
ϕx,y
2)z = 2n ϕ(x,y) область определения D : ϕ(x,y)≥ 0,n f0 - целое;
3)z = lnϕ(x,y) область определения D : ϕ(x,y)f0 ;
4)z = arcsinϕ(x,y) область определения D : ϕ(x,y)≤1 .
Пример. |
Найти |
область |
|
|
определения |
функции |
|
z = arcsin x |
+ ln(x2 + y2 −1). |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
≤1 или −1 ≤ x |
|
|
Первое слагаемое определено при |
|
≤1 или − 2 ≤ x ≤ 2 . |
|||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
Областью определения первого слагаемого является часть плоскости, выделенная штриховкой на рис.1.
Второе слагаемое определено при x2 + y2 −1 f0 x2 + y2 f1. Изобра-
зим штриховкой область определения второго слагаемого на чертеже
(рис. 2).
Область определения нашей функции есть пересечение областей определения слагаемых функции (рис. 3). Точки линий x = −2, x = 2 при-
надлежат области определения, а точки окружности x2+y2 =1 не принадлежат области определения.
5
Для решения задач 31-60 нужно уметь находить частные производные первого и второго порядка [2, гл. IX, с. 1217; 6, гл. YI, с. 253256; 7, гл. YIII, с. 209210].
Пример. Показать, что функция z = x2 sin yx удовлетворяет уравне-
нию ∂2z = ∂2z .
∂x∂y ∂y∂x
Решение. Найдём частные производные функции z = x2 sin yx перво-
го порядка. Рассматривая y как постоянную величину, получим частную производную функции z по x :
∂z |
= 2xsin |
y |
+ x2 cos |
y |
− |
y |
= 2xsin |
y |
− ycos |
y |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∂x |
x |
x2 |
x |
x |
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
Рассматривая x как постоянную величину, получим частную производную функции z по y :
∂z |
= x2 cos |
y |
1 |
= xcos |
y |
. |
∂y |
|
|
x |
|||
|
x x |
|
|
Найдём вторые частные производные:
∂2z |
|
|
|
∂ |
∂z |
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
y |
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|||||
|
= |
|
|
|
|
|
= |
2xcos |
|
|
|
|
− cos |
|
− y − sin |
|
|
|
= |
2cos |
|
− cos |
|
+ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
∂y∂x |
|
|
|
∂y |
∂x |
|
|
|
|
x x |
|
|
x |
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
. |
|||||||
+ y sin y = cos y |
+ y sin y |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
x |
|
x |
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∂2z |
|
∂ |
|
|
∂z |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
y |
|
y |
|
|
|
y |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= cos |
|
+ x |
− sin |
|
− |
|
|
= cos |
|
+ |
|
sin |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
x2 |
|
|
x x |
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
∂x∂y ∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим частные производные второго порядка в заданное уравнение
cos yx + yx sin yx = cos yx + yx sin yx .
Получили тождество, то есть функция z удовлетворяет заданному уравнению.
При решении задач 61-90 во втором пункте нужно использовать приложения полного дифференциала к приближённым вычислениям
[2, гл. IX, с. 2021; 6, гл. YI, с. 264-266; 7, гл. YIII, с. 219221].
6
Пример. Дана функция z = x2 + xy − y и две точки A(1,2) и B(1,03;1,98). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке B; 2) вычислить приближённое значение z1 функции в точке B, исходя из значения z0 функ-
ции в точке A и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхно-
сти z = x2 + xy − y в точке C(1,2,z0 ).
Решение. 1. z1 = z(B)= (1,03)2 +1,03 1,98 −1,98 =1,1203 .
2. Используем формулу
f (x0 + ∆x,y0 + ∆y)≈ f (x0 ,y0 )+ fx′(x0 ,y0 )∆x + fy′(x0 ,y0 )∆y . Положим x0 =1, x0 + ∆x =1,03, y0 = 2, y0 + ∆y =1,98. Тогда
∆x = 0,03; ∆y = −0,02 .
Для заданной функции вычисляем частные производные
fx′(x,y)= 2x + y |
fx′(1,2)= 2 + 2 = 4 ; |
fy′(x,y)= x −1 |
fy′(1,2)=1 −1 = 0; |
f (x0 ,y0 )= f (1,2)= z0 =1 + 2 − 2 =1.
Следовательно:
z1 = f (x0 ,y0 )+ fx′(x0 ,y0 )∆x + fy′(x0 ,y0 )∆y =1 + 4 0,03 + 0 (− 0,02)=1,12 .
3. Относительную погрешность определяем по формуле
δ = |
|
|
z1 − z1 |
|
|
100% = |
|
|
1,1203 −1,12 |
|
|
100% = 0,027%. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
1,12 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Используем уравнение касательной плоскости:
fx′(x0 ,y0 )(x − x0 )+ fy′(x0 ,y0 )(y − y0 )− (z − z0 )= 0
к поверхности z = f (x,y). Подставляем в уравнение касательной плоско-
сти все данные, найденные в п. 2, получим
4(x −1)+ 0(y − 2)− (z −1)= 0 или 4x − z − 3 = 0 .
Для решения задач 91 –120 следует знать, что функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает наибольшего и наименьшего значений или в критических точках, лежащих внутри, или на границе области, или в угловых точках границы области [2, гл. IX, с. 4147; 6, гл. YI, с. 266-275; 7, гл. YIII, с. 221-225].
7
Пример. Функция z = x2 − 2xy − y2 + 4y задана в треугольнике, ограниченном прямыми x = 0; y = 0; x + y = 6 .Найти наибольшее и наимень-
шее значения функции z .
Решение. Построим заданную область (рис. 4). Найдём критические точки внутри области, пользуясь необходимым условием существова-
ния экстремума z′x = 0,
z′y = 0.
z′x = 2x − 2y,
z′y = −2x − 2y + 4.
Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
2x − |
2y = 0, |
|
|
x =1, |
|
− 2y + |
4 = 0. |
|
|
− 2x |
|
y =1. |
||
Получили |
критическую точку M1 (1,1), |
которая лежит внутри области. Значение функции в этой точке z1 =1 − 2 −1 + 4 = 2. Исследуем функцию
на |
границе области. |
После |
подстановки |
уравнения |
стороны |
AO |
y = 0, 0 ≤ x ≤ 6 , |
исходная |
функция |
примет |
вид |
z = x2 − 2x 0 − 0 + 4 0 = x2 , то есть является функцией одной переменной. Определим критические точки z′x = 2x, 2x = 0, x = 0 . Получаем точку
O(0,0). |
Это |
угловая |
точка, |
вычисляем |
z2 = z(0)= 0. |
На |
OB x = 0, |
0 ≤ y ≤ 6, исходная функция примет вид |
z = −y2 + 4y , то есть |
является функцией одной переменной. Определим критические точки
z′y = −2y + 4, |
− 2y + 4 = 0, y = 2 . Получаем точку M2 (0,2). Эта точка при- |
|||||
надлежит отрезку, вычисляем z3 = z(M2 )= 4 . На AB y = 6 − x, |
0 ≤ x ≤ 6 , |
|||||
исходная функция примет вид z = 2x2 − 4x −12 , |
то есть является функ- |
|||||
цией |
одной |
переменной. |
Определим |
критические |
точки |
|
z′x = 4x − 4, |
4x − 4 = 0, x =1. Получаем точку M3 (1,5). Эта точка принад- |
лежит отрезку, вычисляем z4 = z(M3 )= −14 . Найдём значения функции в угловых точках A(6,0); B(0,6) (в точке О значение уже вычислено).
z5 = z(A)= 36 − 0 − 0 + 0 = 36, z6 = z(B)= 0 − 0 − 36 + 24 = −12 .
Из полученных значений z1 = 2,z2 = 0,z3 = 4,z4 = −14,z5 = 36,z6 = −12 выбираем наибольшее и наименьшее. Получаем
8
zнаиб = z(A)= 36, zнаим = z(M3 )= −14 .
При решении задач 121 –150 нужно использовать понятия скалярного поля, производной по заданному направлению и градиента функции
[2, гл. IX, с. 3138; 6, гл. YIII, с. 343-348].
Например, для определения градиента функции z = 5x2y − 7xy2 + 5xy в точке A(1,2) нужно найти значения частных производных в этой точке.
∂z |
=10xy − 7y2 + 5y, |
∂z |
|
= 20 − 28 +10 = 2; |
|
|
|||||
∂x |
|
∂x |
|
A |
|
|
|
||||
∂z |
= 5x2 −14xy + 5x, |
∂z |
|
|
= 5 − 28 + 5 = −18. |
∂y |
|
∂y |
|
|
A |
|
|
|
По определению градиента |
gradz = |
∂z |
r |
+ |
∂z |
r |
в данном примере |
||
∂x |
i |
∂y |
j |
||||||
|
|
= 2 ri −18 rj . |
|
|
|
|
|
||
получим gradz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения производной в точке А по направлению вектора a = −2 ri + rj найдём направляющие косинусы вектора a = −2 ri + rj
|
a |
2 |
|
ay |
|
1 |
. |
||||
cosα = |
|
rx |
= − |
5 |
, cosβ = |
|
r |
|
= |
5 |
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
Согласно определению производной функции вдоль заданного направ-
ления |
|
∂z |
|
|
|
= |
∂z |
|
|
cosα + |
∂z |
|
cosβ, в нашем примере получаем |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∂a |
|
A |
|
∂x |
|
A |
|
|
|
∂y |
|
A |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∂z |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
22 |
|
, то есть скалярное поле функции убывает в |
|||||
∂a A |
= 2 |
− |
|
|
|
|
−18 |
|
= − |
|
|
|
||||||
5 |
5 |
|
5 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ri + j . |
|||||||
направлении вектора a = −2 |
|
Контрольная работа №5
Для вычисления неопределённых интегралов № 1-30 необходимо проработать литературу: [1, гл.7, с. 285-312; 3, гл.5, с. 253-286; 6, гл.4,
с. 154-183; 7, гл.9, с. 225-286], где содержатся практические рекомендации по данной теме.
Для выполнения задания 1-30 (пункт а) нужно из таблицы интегралов выбрать такой, к которому можно свести данный интеграл.
9
Например, при вычислении
∫ |
|
|
dx |
= ∫(5x + 2)− |
5 |
dx |
|
|
( |
3 |
|||||
|
3 |
5x + 2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
используем табличный интеграл |
= un+1 |
|
|
|
|||
|
|
|
∫undu |
+ c . |
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
Согласно этой формуле подводим под знак дифференциала основание степени. Так как d(5x + 2)= 5dx, то умножим и разделим интеграл на 5,
то есть
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
5 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∫ 3 |
( |
5x |
+ 2 5 = ∫(5x + |
2) |
|
3dx = 5 ∫(5x + 2) |
|
3 5dx = |
5 ∫(5x |
+ 2) |
|
|
3d(5x + 2)= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
5 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= 1 (5x + 2) 3 |
|
|
|
+ c |
= − |
3 |
(5x + 2)− |
+ c = − |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
+ c . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
5 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103 (5x + 2) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Интеграл ∫x e3x 2 −1dx |
|
|
сводится к табличному ∫eudu = eu + c путём |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подведения |
|
под |
|
|
|
знак |
|
дифференциала |
показателя |
степени |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d(3x2 − 1)= 6xdx. Таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∫x e3x |
|
−1dx = |
|
∫e3x |
|
−16xdx = |
|
∫e3x |
|
|
−1d(3x2 − 1)= |
|
e3x |
|
|
|
|
−1 + c . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
В примере |
|
∫ 3cosx dx используем формулу ∫ du |
= ln |
|
u |
|
+ c , |
где под |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 + sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
знаком |
дифференциала |
|
|
находится |
знаменатель |
дроби. |
Так как |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d(2 + sinx)= cosxdx, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(2 + sinx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3∫ |
cosxdx |
|
|
= |
3∫ |
|
= 3 ln |
|
2 + sinx |
|
+ c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 + sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При вычислении интегралов в пункте б применяются методы под-
становки и интегрирования по частям, |
то |
есть по формуле |
∫udv = uv − ∫ vdu мы от исходного интеграла |
∫udv |
переходим к более |
простому ∫ vdu . |
|
|