Сандаков Приведение кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду Учебно-методическое пособие 2009
.pdfЕ.Б. Сандаков, В.П. Трифоненков, М.В. Смоленцев
ПРИВЕДЕНИЕ КРИВЫХ
ИПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ККАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Учебно-методическое пособие
Москва 2009
0
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Е.Б. Сандаков, В.П. Трифоненков, М.В. Смоленцев
ПРИВЕДЕНИЕ КРИВЫХ
ИПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ККАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Учебно-методическое пособие
Москва 2009
1
УДК 514.12(07)
ББК 22.151.3я7
С 18
Сандаков Е.Б., Трифоненков В.П., Смоленцев М.В. Приведение
кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду:
учебно-методическое пособие. – М.: МИФИ, 2009. – 32 с.
Пособие «Приведение кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду» предназначено для студентов МИФИ первого курса всех специальностей. Оно полностью соответствует программе курса «Аналитическая геометрия», предусмотренного для таких технических и экономических вузов с углубленным изучением высшей математики, как МИФИ.
Состоит из двух параграфов. В первом параграфе рассматривается приведение кривых второго порядка к каноническому виду, а во втором – приведение поверхностей второго порядка к каноническому виду. В начале каждого параграфа приводятся краткие теоретические сведения (подробные сведения можно найти в пособии [1]). Затем разбирается большое число примеров приведения кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. С.Г. Артышев
Рекомендовано к изданию редсоветом МИФИ
ISBN 978-5-7262-1134-3 |
© Московский инженерно-физический институт |
|
(государственный университет), 2009 |
2
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
§ 1. |
Приведение кривых второго порядка |
|
|
к каноническому виду................................................................. |
4 |
§ 2. |
Приведение уравнения поверхности второго порядка |
|
|
к каноническому виду ............................................................... |
18 |
Рекомендуемая литература............................................................... |
30 |
3
§ 1. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду
Общим уравнением линии второго порядка называется уравнение вида
a x2 |
2a |
xy |
a y2 |
2a |
x 2a |
23 |
y |
a |
0 , |
|
(1.1) |
|
11 |
12 |
|
22 |
13 |
|
|
33 |
|
|
|
|
|
в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, a12 |
, a22 |
отли- |
||||||||||
чен от нуля (т.е. |
a2 |
a2 |
a2 |
0). |
Коэффициенты |
a , a , a |
22 |
на- |
||||
|
11 |
12 |
22 |
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
зываются коэффициентами группы старших членов, коэффициенты a13 , a23 и a33 – коэффициентами линейной части уравнения (1.1).
Коэффициент a33 также называют свободным членом уравнения
(1.1).
Поставим следующую задачу. Найти такую декартовую систему координат, в которой уравнение (1.1) примет настолько простой вид, что геометрическая характеристика линии, определяемой этим уравнением, не будет представлять затруднений. Так как переход от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой может быть осуществлен некоторым параллельным переносом системы координат и последующего поворота, то для решения поставленной задачи необходимо знать, как преобразуются коэффициенты уравнения (1.1) при параллельном переносе и повороте.
Как известно, старые (x, y) и новые (x , y ) координаты точки M при
параллельном переносе связаны соотношениями: |
|
||
x x0 |
x ; |
(1.2) |
|
y y0 |
y . |
||
|
Подставляя выражения (1.2) для x и y в левую часть (1.1), получаем уравнение линии в системе O x y . Очевидно, это уравнение имеет вид:
a (x )2 |
2a |
x y |
a |
22 |
( y )2 |
2a |
|
x |
|
2a |
23 |
y |
|
a |
0 , |
(1.3) |
|||
11 |
|
12 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a13 |
|
a11x0 |
|
a12 y0 |
|
a13; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a23 |
|
a12 x0 |
|
a22 y0 |
|
a23; |
|
|
|
|
|
|
(1.4) |
|||
a |
a x2 |
2a x y a y2 |
2a x 2a |
23 |
y |
0 |
a . |
|
|||||||||||
33 |
11 |
0 |
12 |
0 |
0 |
|
22 |
0 |
|
|
13 |
0 |
|
|
|
33 |
|
4
Осуществляя параллельный перенос координат, новое начало O (x0 , y0 ) иногда можно выбрать так, чтобы в уравнении (1.3) исчезли
члены первой степени, т.е. так, чтобы коэффициенты a13 и a23 |
равня- |
||||||
лись нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
a11x0 |
a12 y0 |
|
a13 |
0; |
|
(1.5) |
|
a12 x0 |
a22 y0 |
|
a23 |
0. |
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда уравнение (1.3) примет в новой системе O x y вид: |
|
||||||
a (x )2 |
2a |
x y a |
22 |
( y )2 |
a |
0 . |
(1.6) |
11 |
12 |
|
|
33 |
|
|
Очевидно, если (a, b) – произвольная точка, принадлежащая линии, определяемой уравнением (1.6), то и симметричная ей относительно
O точка ( a, |
b) лежит на этой линии, т.е. |
все точки данной линии |
располагаются |
симметрично относительно |
точки O . Точка |
O (x0 , y0 ) , обладающая указанным свойством, называется центром данной линии.
Таким образом, для нахождения координат (x0 , y0 ) центра данной
линии необходимо найти решение системы (1.5).
Уравнения (1.5) называются уравнениями центра линии второго порядка.
Если уравнения центра имеют единственное решение, то линию второго порядка называют центральной. В силу теоремы Крамера имеем: для того, чтобы кривая, определяемая уравнением (1.1), была центральной, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы
(1.5) J |
2 |
a11 |
a12 |
был отличен от нуля. |
|
a12 |
a22 |
|
|
|
|
|
Рассмотрим далее поворот декартовой прямоугольной системы координат на угол .
Как известно, поворот системы координат на угол задается фор-
мулами |
|
|
|
|
x |
x cos |
y sin ; |
(1.7) |
|
y |
x sin |
y cos . |
||
|
Подставляя выражения (1.7) для x и y в левую часть (1.1), получаем уравнение линии в новой системе O x y . Очевидно, это уравнение имеет вид:
5
a (x )2 |
2a x y |
a |
22 |
( y )2 |
2a x |
2a |
23 |
y |
a |
0 , |
(1.8) |
11 |
12 |
|
|
13 |
|
|
33 |
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
cos2 |
2a |
cos |
sin |
a |
|
sin2 |
; |
|
||||
|
11 |
11 |
|
12 |
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
||
a |
a |
cos |
sin |
a (cos2 |
sin2 |
) |
|
a |
22 |
cos sin |
; |
||||
12 |
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
22 |
a |
sin2 |
2a |
cos |
sin |
a |
22 |
|
cos2 |
; |
(1.9) |
||
|
|
11 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a13 |
a12 cos |
a23 sin |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a23 |
a13 sin |
a23 cos . |
|
|
|
|
|
|
|||
Всегда можно выбрать угол |
поворота системы координат так, |
чтобы после преобразования в уравнении (1.8) исчез член с произве-
дением текущих координат, т.е. так, чтобы в уравнении (1.8) |
a12 0 . |
|||||||||||||
Учитывая (1.9), для определения угла |
получаем уравнение: |
|
||||||||||||
|
a sin2 |
|
(a |
a |
)sin |
|
cos |
a |
cos2 |
0 . |
|
|||
|
12 |
|
|
11 |
22 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
Если a12 |
0 (иначе нет надобности в повороте систем координат), то |
|||||||||||||
последнее уравнение приводится к виду |
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
tg2 |
(a |
a |
|
) tg |
a |
0 . |
|
|
(1.10) |
|||
|
12 |
|
|
|
22 |
11 |
|
12 |
|
|
|
|
||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
22 |
a |
(a |
22 |
a )2 |
4a2 |
|
|
|||
|
tg |
|
|
11 |
|
|
11 |
12 |
. |
|
(1.11) |
|||
|
|
|
|
|
|
2a12 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отметим, |
что tg 1 |
tg 2 |
1. Это означает, что для уравнения (1.1) |
всегда найдутся два взаимно ортогональных направления, определяемые углами 1 и 2 , такие, что, поворачивая координатные оси на
один их этих углов, в новой системе координат получим уравнение линии, в котором отсутствует член с произведением текущих коорди-
нат (т.е. a12 0). После поворота на угол |
, тангенс которого опреде- |
|||||
лен по формуле (1.11), уравнение линии примет вид |
|
|||||
a (x )2 |
a ( y )2 |
2a x 2a y a |
0 . |
|||
11 |
22 |
|
13 |
23 |
33 |
|
Коэффициенты a11, a22 , a13 |
, |
a23 определяют по формулам (1.9), пред- |
||||
варительно определив sin |
и cos |
по известному tg : |
||||
|
|
|
6 |
|
|
|
sin |
|
tg |
|
|
cos |
|
|
1 |
|
|
. |
(1.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 tg2 |
1 |
|
tg2 |
|
Знаки в знаменателях этих формул выбираются произвольно, но обя-
зательно одинаковыми. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Как уже отмечалось, все кривые второго порядка подразделяются |
||||||||||
на два больших класса: |
центральные и нецентральные. Кривые, для |
||||||||||
которых определитель |
J2 |
|
a11 |
a12 |
|
0 , являются центральными, а |
|||||
|
|
||||||||||
|
a12 |
a22 |
|
||||||||
кривые, |
для которых |
J2 0 , |
– нецентральными (или параболиче- |
||||||||
скими). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Замечание. Нетрудно показать, что величины J2 |
a11 a22 и |
|||||||||
J2 |
|
a11 |
a12 |
являются инвариантами линии второго |
порядка (1.1) |
||||||
|
a12 |
a22 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно преобразований декартовой прямоугольной системы координат.
Центральные кривые в свою очередь в зависимости от знака J 2
делятся еще на два класса: при |
J2 0 кривые называются кривыми |
эллиптического типа, а при J2 |
0 – кривыми гиперболического типа. |
Итак, все линии второго порядка в зависимости от знака инварианта J 2 делятся на следующие три типа:
эллиптический тип, если J2 |
0 ; |
гиперболический тип, если J2 |
0 ; |
параболический тип, если J2 |
0 . |
Очевидно, тип линии не меняется при изменении декартовой системы координат. Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема. Для любой кривой второго порядка, заданной в декартовой прямоугольной системе координат Oxy уравнением (1.1), существует такая декартовая прямоугольная система координат O x y , в которой это уравнение принимает один из девяти видов:
1) |
x2 |
|
y2 |
1 |
– эллипс (рис. 1); |
|
a2 |
|
b2 |
||||
|
|
|
|
|
||
2) |
x2 |
|
y2 |
|
|
1 – мнимый эллипс; |
a2 |
|
b2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
7 |
3)x2 a2
4)x2 a2
5)x2 a2
6)y2
7)y2
8)y2
9)y2
|
y2 |
|
0 |
– одна точка; |
|
|
b2 |
||||
|
|
|
|||
|
y2 |
|
1 |
– гипербола (рис. 2); |
|
|
b2 |
||||
|
|
|
|||
|
|
y2 |
0 |
– пара пересекающихся прямых (рис. 3); |
|
|
|
b2 |
|||
|
|
|
|
||
2 px – парабола (рис. 4); |
|||||
a2 |
0 – пара параллельных прямых ( y a и y a ); |
||||
a2 |
0 – пара мнимых параллельных прямых; |
0 – пара совпавших прямых.
Рис. 1 |
Рис. 2 |
Рис. 3 |
Рис. 4 |
8
Рассмотрим примеры приведения кривых второго порядка к каноническому виду. Для этого рассмотрим отдельно случай центральной линии и случай нецентральной линии (параболический случай).
I. Случай центральной линии
Пример 1.1. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка 5x2 8xy 5y2 18x 18y 9 0 и построить ее относительно первоначальной системы координат.
Решение. Отметим, что в случае центральной линии (J2 0) на
практике удобнее сначала сделать параллельный перенос системы координат в центр, а затем поворот системы координат вокруг центра. В
нашем случае |
J2 |
5 |
4 |
9 . |
|
4 |
5 |
||||
|
|
|
Следовательно, данная линия является центральной. Координаты центра линии определим из системы уравнений (1.5), которая в дан-
ном случае имеет вид
5x0 4 y0 9 0;
4x0 5y0 9 0.
Решая эту систему, найдем x0 1, y0 1. Перенесем начало координат в точку O (1; 1) , сохраняя направление осей координат. Уравнение данной линии относительно новой системы координат O x y имеет
вид 5(x )2 8x y 5( y )2 a |
0 . |
33 |
|
Напомним, что при параллельном переносе системы координат в центр линии старшие коэффициенты в уравнении линии остаются без изменения, члены первой степени исчезают, а свободный член вычисляется подстановкой в левую часть исходного уравнения координат
центра |
вместо текущих |
координат: |
a33 |
5 12 |
8 1 1 5 12 18 1 |
18 1 |
9 9 . Следовательно, окончательно уравнение данной линии |
||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
5(x )2 |
8x y 5( y )2 |
9 |
0 . |
(1.13) |
Далее сделаем поворот системы координат на угол , тангенс которого вычислим по формуле (1.11). В нашем случае
9