[ Гельфрейх ] Математический анализ. Задачи для коллоквиума и экзамена на 1 курсе (ПМФ)
.pdfСАНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ |
ПРИОРИТЕТНЫЙ |
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ |
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ |
УНИВЕРСИТЕТ |
"ОБРАЗОВАНИЕ" |
Проект ¾Инновационная образовательная среда в классическом университете¿
Пилотный проект • 22 ¾Разработка и внедрение инновационной образовательной программы ¾Прикладные математика и физика¿¿
Физический факультет кафедра высшей математики и математической физики
Н.Г.Гельфрейх
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ ДЛЯ КОЛЛОКВИУМОВ И ЭКЗАМЕНОВ НА 1 КУРСЕ
БАЗОВЫЙ ПОТОК
Учебно-методическое пособие
Санкт-Петербург 2007г.
2
²Рецензент: зав. кафедрой высшей математики и математической физики, проф., д.ф.м.н. Буслаев В.С.
²Печатается по решению методической комиссии физического факультета СПбГУ.
²Рекомендовано Ученым советом физического факультета СПбГУ.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЗАДАЧИ ДЛЯ КОЛЛОКВИУМОВ И ЭКЗАМЕНОВ НА 1 КУРСЕ. БАЗОВЫЙ ПОТОК. СПб., 2007
Учебно-методическое пособие содержит простейшие задачи по курсу "Математический анализ"(1-й и 2-й семестры). Все задачи снабжены подробными решениями. Пособие предназначено для студентов базового потока первого курса физического факультета.
3
Оглавление |
|
Введение............................................................................................. |
3 |
I. Операции над множествами. Метод математической индукции. |
|
Бином Ньютона.............................................................................. |
3 |
II. Комплексные числа...................................................................... |
5 |
III. Пределы..................................................................................... |
10 |
IV. Производная............................................................................... |
16 |
V. Неопределенный интеграл.......................................................... |
21 |
VI. Определенный интеграл............................................................ |
27 |
VII. Несобственные интегралы и ряды........................................... |
31 |
VIII. Функции многих переменных................................................. |
34 |
Список литературы.......................................................................... |
39 |
Введение.
Методическое пособие адресовано студентам базового потока первого курса физического факультета СПбГУ и предназначено для помощи в самостоятельной подготовке студентов к коллоквиумам и экзаменам по курсу "Математический анализ". Пособие содержит только основные стандартные задачи, умение решать которые необходимо для получения удовлетворительной оценки. Все задачи снабжены подробными решениями. В пособие не вошли технически сложные и нестандартные задачи, требующие много времени на решение. Такие задачи можно найти в пособиях [1] [3].
I. Операции над множествами. Метод математической индукции. Бином Ньютона.
1. Даны множества A = f¡1; 2; 3g è B = f1; 2; 3g. Найти множества
A [ B, A \ B, A n B, B n A, A £ B.
Решение. Символ A [ B обозначает новое множество, которое состоит из всех элементов множеств A è B. Это множество называется объединением множеств A è B. Символ A \ B обозначает новое множество, которое состоит из общих элементов множеств A è B. Это множество называется пересечением множеств A è B. Символ AnB обозначает новое множество, которое состоит из элементов множества A, не принадлежащих множеству B. Это множество на-
зывается разностью множеств A è B. Символ A £ B обозначает мн-
ожество новой природы, а именно, множество, элементами которого являются пары вида (a; b), где на первом месте стоит какой-нибудь
4
элемент множества A, а на втором какой-нибудь элемент мн-
ожества B.
В соответствии с определением объединения множеств, множество A [ B в нашем случае состоит из чисел -1; 1; 2; 3 и, таким обра-
зом, может быть записано как A [ B = f¡1; 1; 2; 3g. Множество A \ B в нашем случае состоит из чисел 2; 3 и может быть записано как A \ B = f2; 3g. Разность множеств A è B содержит всего один элемент: ¡1, что может быть записано как A n B = f¡1g. Аналогично, B n A = f1g. Множество A £ B содержит 9 элементов, каждый из которых является парой чисел: A £ B =
f(¡1; 1); (¡1; 2); (¡1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3)g.
2. Пользуясь методом математической индукции, доказать неравенство 3n > 1 + 2n ïðè n ¸ 2.
Решение. 1) Проверяем базу (т.е. истинность доказываемого утверждения при наименьшем значении n). Ïðè n = 2 неравенство
принимает вид: 32 > 1 + 2 ¢ 2, что верно.
2) Индукционный переход. Предположим,k что неравенство выполняется при некотором значении n = k: 3 > 1 + 2k и докажем,
÷òî è äëÿ n = k + 1 в этом случае оно выполняется так же : > 1 + 2(k + 1). Действительно, по индукционному предпол-
ожению справедливо неравенство 3k > (1 + 2k), а потому
3k+1 = 3¢3k > 3(1+2k) = 3+3¢2k = 1+2+3¢2k > 1+2+2k = 1+2(k+1):
Из 1) и 2) согласно методу математической индукции следует, что неравенство 3n > 1+2n выполняется для любых натуральных n ¸ 2.
Что и требоваëîñь доказать. 3. Вычислить 101!
99! .
Решение. Пользуясь определением факториала
n! = n(n ¡ 1)(n ¡ 2) : : : 2 ¢ 1;
запишем
101! = 101 ¢ 100 ¢ 99 ¢ 98 : : : 2 ¢ 1 = 101 ¢ 100 = 10100: 99! 99 ¢ 98 ¢ 97 ¢ : : : 2 ¢ 1
4. Упростить выражение (n+1)!
(n¡1)!.
Решение.
(n + 1)! = (n + 1)n(n ¡ 1) : : : 2 ¢ 1 = (n + 1)n: (n ¡ 1)! (n ¡ 1)(n ¡ 2) : : : 2 ¢ 1
5. Сократить дробь nk!!, k < n.
5
Решение.
n! = n(n ¡ 1) : : : (k + 1)k(k ¡ 1) : : : 2 ¢ 1 = n(n ¡ 1) : : : (k + 1): k! k(k ¡ 1)(k ¡ 2) : : : 2 ¢ 1
6. Упростить выражение: C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n¡2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
формулой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. Воспользовавшисьn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ck |
= |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
k!(n ¡ k)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Cn1¡2 |
= |
(n ¡ 2)! |
|
: |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
= |
(n ¡ 2)!3!(n ¡ 3)! |
= |
|
|
|
6 |
: |
||||||||||||||
|
|
|
|
3!(n ¡ 3)! |
|
|
|
n(n ¡ 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Cn3 |
1!(n ¡ 3)! |
|
|
|
|
|
1!(n ¡ 3)!n! |
|
|
¢ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Решение. Воспользовавшись формулой |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
12. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
7. Найти коэффициент при x¡3 в выражении: |
x2 ¡ x1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бинома Ньютона |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(a + b)n |
= |
|
|
|
Cnkakbn¡k; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
запишем равенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= k=0 C12k (x2) µ¡x¶ |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
µx2 ¡ x¶ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 12 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12¡k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(¡1) ¡ |
xk¡12 |
|
|
|
1 |
|
12 |
|
|
12 |
|
¡x2 ¡ x1 ¢ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
¢ |
12¡k |
|
||||||||||||||
Воспользовавшись |
равенствами |
|
2 |
|
k |
|
|
|
|
x2k |
è |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
12 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
) |
|
|
|
= |
12 |
â âèäå: |
|
|
¡x |
|
|
= |
|||||
|
|
|
, запишем выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
µx2 |
|
|
|
|
|
¶ |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
¡ |
x |
|
= k=0 (¡1)12¡kC12k x3k¡12: |
|
|
|
|
|
|
|
Сумма содержит 13 слагаемых, каждый из которых является произведением числа (¡1)12¡kC12k на переменную x в степени 3k ¡ 12. Отсюда видно, что x¡3 содержит то слагаемое, для которого выпо-
лняется 3k ¡ 12 = ¡3, ò.å. k = 3. Соответствующее слагаемое имеет
âèä:
(¡1)12¡3C123 x¡3 = ¡3!9!12! x¡3 = ¡220x¡3:
Таким образом, коэффициент при x¡3 равен ¡220.
II.Комплексные числа.
1.Вычислить 2¡i
3+2i.
Решение. Для того, чтобы поделить одно комплексное число на другое в алгебраической форме, домножим числитель и знаменатель
6
на число, комплексно сопряженное знаменателю (знаменатель равен 3 + 2i, комплексно сопряженное ему число равно 3 ¡ 2i):
2 ¡ i |
= |
(2 ¡ i)(3 ¡ 2i) |
= |
2 ¢ 3 ¡ 2 ¢ 2i ¡ i ¢ 3 + i ¢ 2i |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||
3 + 2i |
|
|
(3 + 2i)(3 ¡ 2i) |
|
|
32 ¡ (2i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
6 ¡ 4i ¡ 3i ¡ 2 |
= |
|
4 ¡ 7i |
|
= |
4 |
|
|
7 |
i: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 + 4 |
|
|
|
|
13 ¡ |
13 |
|||||
2. Вычислить в алгебраической форме p |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 ¡ 4i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. |
По определению квадратного корня, требуется найти |
|||||||||||||||||||
такое комплексное |
число z |
|
= x + iy, квадрат которого |
равен |
||||||||||||||||
3 ¡ 4i. То есть требуется найти2 |
вещественные числа x è y, óäî- |
|||||||||||||||||||
влетворяющие равенству |
(x + iy) |
= 3 ¡ 4i. Раскрывая квадрат, по- |
||||||||||||||||||
лучим x |
2 |
+ 2ixy ¡ y |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
= 3 ¡ 4i. Два комплексных числа равны, если |
их вещественные и мнимые части совпадают, т.е. одно комплексное равенство x2 ¡ y2 + 2ixy = 3 ¡ 4i равносильно двум вещественным:
x2 ¡ y2 = 3 è 2xy = ¡4. Эта система имеет два вещественных решения x1 = 2; y1 = ¡1 è x2 = ¡2; y2 = 1. Таким образом получаем два
значения квадратного корня: z1 = ¡2 + i è z2 = 2 ¡ i. p
3. Представить комплексные числа z1 = ¡1 + i, z2 = ¡1 ¡i 3, z3 = 1 ¡ 2i в тригонометрической форме так, чтобы значение аргумента
лежало в интервале (¡¼; ¼].
Решение. Комплексное число z = x + iy, не равное нулю, может быть записано в тригонометрической форме:
z = r(cos ' + i sin ');
ãäå r = jzj = px2 + y2 модуль, а ' = arg z аргумент комп-
лексного числа. Аргументом ' комплексного числа z = x + iy
называется угол между положительной вещественной полуосью и лучом, выходящим из начала координат и проходящим через точку, изображающую число z на плоскости. Аргумент ' может быть на-
йден из уравнений |
|
|
|
|
|
|
cos ' = |
x |
; |
||
|
z |
||||
|
( sin ' = |
|
jy j |
|
|
|
|
: |
|||
|
jzj |
Аргумент комплексного числа определяется с точностью до 2¼k, k 2
Z.
Вычислим значения модулей заданныõ ÷èñåë:
jz1j = p(¡1)2 + 12 = p2; q p
jz2j = (¡1)2 + (¡ 3)2 = 2;
7
jz3j = p12 + (¡2)2 = p5:
Для того, чтобы найти arg z1 достаточно заметить, что со-
ответствующая этому числу точка лежит на комплексной плоск- |
||||||
îñòè âî II четверти на биссектрисе координатного угла. Поэтому |
||||||
arg z1 = 34¼ . |
|
|
|
|||
Для числа z2 = ¡1¡ip |
|
аргумент может быть найден из системы |
||||
3 |
||||||
|
|
cos '2 = ¡21 |
; |
|
||
|
|
p |
|
|
||
½ sin '2 = ¡ |
3 |
: |
||||
2 |
||||||
Решением системы являются следущие значения: |
||||||
'2 = ¡2¼=3 + 2¼k; |
|
|
k 2 Z: |
Для того, чтобы значение аргумента лежало в интервале (¡¼; ¼],
выберем k = 0 и тогда arg z2 = ¡2¼=3. Для числа z3 = 1 ¡ 2i имеем
1 |
|
|
|
|
cos '3 = p |
|
; |
|
|
5 |
||||
( sin '3 = ¡p2 |
|
: |
||
5 |
Отсюда получаем tg '3 = ¡12 Учитывая, что число z3 = 1¡2i лежит в IV четверти, получаем
'3 = arctg µ¡ |
1 |
¶ + 2¼k; k 2 Z: |
2 |
Для того, чтобы значение аргумента лежало в интервале (¡¼; ¼], выберем и здесь k = 0 и будем считать, что
arg z3 = arctg µ¡ |
1 |
¶: |
|
||
2 |
Зная модули и аргументы заданных чисел, запишем их в триго- |
|||||||||||||||||||
нометрической форме: |
|
|
|
|
|
|
µcos 34 |
+ i sin 34 |
¶ |
; |
|
|
|
||||||
|
z1 = ¡1 + i = p2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
¼ |
¼ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z2 = ¡1 ¡ i |
|
|
3 = 2 (cos(¡2¼=3) + i sin(¡2¼=3)) ; |
: |
||||||||||||||
|
z3 = 1 ¡ 2i = p5 |
µcos arctg |
µ¡2¶ |
+ i sin arctg |
µ¡2¶¶ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||
4. |
Вычислить ³¡¡¡1+i |
´ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 ip |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Делить, умножать, возводить в степень и извлекать корни из комплексных чисел удобно, если они записаны в триго-
8
нометрической форме. Частное двух комплексных чисел может быть вычислено по формуле
r1(cos '1 + i sin '1) |
= |
r1 |
(cos('1 |
¡ '2) + i sin('1 |
¡ '2)): |
|
|
|
|
||||
r2(cos '2 + i sin '2) |
r2 |
Целая степень комплексного числа вычисляется по формуле
(jzj(cos arg z + i sin arg z))n = jzjn (cos(n arg z) + i sin(n arg z)) :
Представим числитель и знаменатель в тригонометрической форме:
¡1 + i = p2 µcos 34¼ + i sin 34¼¶;
p
¡1 ¡ i 3 = 2 (cos(4¼=3) + i sin(4¼=3)) :
В результате получаем
|
|
1 ¡ ip |
|
|
|
12 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
||||||||
|
|
3 |
|
= |
|
2 |
cos |
|
|
3¼ |
|
4¼ |
|
+ i sin |
|
|
3¼ |
|
4¼ |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||
à |
¡ |
|
! |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
¡ |
3 |
|
|
|
|
4 |
¡ |
|
3 |
|
! |
|
|
|||||||||||||||||
|
1 + i |
à |
|
µ |
|
|
µ |
|
|
¶ |
|
|
µ |
¶¶ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
à |
p |
|
|
|
cos |
µ |
|
|
7¼ |
|
|
|
+ i sin |
µ |
7¼ |
¶¶ |
! |
12 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
22 |
|
|
¡12 |
|
|
|
|
¡12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¶ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Ã |
p |
|
! |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(cos(¡7¼) + i sin(¡7¼)) = ¡ |
1 |
: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
64 |
|
pp
5.Вычислить 4 ¡1 ¡ i 3.
Решение. Корень n-ной степени из комплексного числа может быть
вычислен по формуле: |
r |
µcos ' +n2¼k |
+ i sin ' +n2¼k¶; |
|||||
n |
r(cos ' + i sin ') = pn |
|||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = 0; 1; 2; : : : ; n ¡ 1:
В нашем случае n = 4 и число под корнем в тригонометрической
форме записи имеет âèä:
p
¡1 ¡ i 3 = 2 (cos(¡2¼=3) + i sin(¡2¼=3)) :
Следовательно, справедливо равенство: |
|
|
|
|
|||||||
q4 |
|
|
|
= p4 |
|
µcos µ |
¡2¼=3 + 2¼k |
¶ + i sin |
µ |
¡2¼=3 + 2¼k |
¶¶; |
¡1 ¡ ip |
|
|
|||||||||
3 |
|
2 |
|||||||||
|
4 |
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = 0; 1; 2; 3: |
9
Выпишем все 4 значения корня: |
µ¡24 |
|
|
3¶¶ = |
|
|||||||||||||||||
z1 |
= p4 2 |
µcos |
µ¡24 |
|
3¶ + i sin |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¼= |
|
|
|
¼= |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= p4 |
|
|
(cos (¡¼=6) + i sin (¡¼=6)) ; |
|||||||
|
= p4 2 |
µcos |
µ¡ |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
z2 |
|
4 |
|
¶ + i sin µ¡2 |
4 |
¶¶ = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2¼=3 + 2¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼=3 + 2¼ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= p4 |
|
(cos (¼=3) + i sin (¼=3)) ; |
|||||||
|
= p4 2 |
µcos |
µ¡ |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
z3 |
|
4 |
|
¶ + i sin µ¡2 |
4 |
¶¶ = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2¼=3 + 4¼ |
|
|
= p4 |
|
|
|
|
|
¼=3 + 4¼ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos (5¼=6) + i sin (5¼=6)) ; |
||||||||
|
= p4 2 |
µcos |
µ¡ |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
z4 |
|
4 |
|
¶ + i sin µ¡2 |
4 |
¶¶ = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2¼=3 + 6¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼=3 + 6¼ |
|
p
= 4 2 (cos (4¼=3) + i sin (4¼=3)) :
6. Разложить на множители полином x4 + 1.
Решение. Полином может быть разложен на множители по формуле
a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an = a0(x ¡ x1)(x ¡ x2) ¢ ¢ ¢ (x ¡ xn);
ãäå x1; x2; : : : xn корни полинома с учетом кратности. Найдем корни полинома x4 + 1:
x1;2 = e§i¼=4, x3;4 = e§i3¼=4:
В итоге получим
x4 + 1 = (x ¡ ei¼=4)(x ¡ e¡i¼=4)(x ¡ ei3¼=4)(x ¡ e¡i3¼=4):
7. Вычислить sin i.
Решение. Синус и косинус комплексного числа определяются формулами
sin z = |
eiz ¡ e¡iz |
; |
cos z = |
eiz + e¡iz |
: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2i |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
Подставляя z = i в формулу для синуса, получим |
|
|
|
||||||||||||
sin i = |
ei¢i ¡ e¡i¢i |
= |
e¡1 ¡ e |
= i |
e ¡ e¡1 |
= ish1; |
|
||||||||
|
2i |
2i |
³ |
2 |
|
|
|
¡2 |
´. |
||||||
8. Вычислить Ln(1 ¡ ip3). |
|
|
|
|
|
||||||||||
ãäå sh1 гиперболический синус единицы |
shx = |
ex |
e¡x |
|
10
Решение. Логарифм комплексного числа может быть вычислен по формуле Lnz = ln jzj + i arg z + i2¼k, ãäå k 2 Z. Поскольку модуль j1 ¡ ip3j = 2, а аргумент arg (1 ¡ ip3) = ¡¼=3, получаем
p
Ln(1 ¡ i 3) = ln 2 ¡ i¼=3 + i2¼k; k 2 Z:
III.Пределы.
1.Выписать первые 4 члена последîвательности, если ее общий член задан следующей формулой: xn = n1 .
Решение. Подставляя в общую формулу n = 1; 2; 3; 4, получим
x1 = 1, x2 = |
21, x3 = 31, x4 = |
41. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. Выписать первые 4 члена последовательности, если ее общий член |
|||||||||||||||||||||
задан следующей формулой: yn |
= |
|
kn=1 (¡2)k. |
|
|||||||||||||||||
Решение. Полагая в общей формуле |
|
|
|
, получим |
|||||||||||||||||
y1 = |
|
1 |
( |
2) |
k |
= ( |
¡ |
2) |
1 |
= |
¡ |
2; |
P n = 1; 2; 3; 4 |
|
|||||||
|
k=1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
( |
¡ |
|
|
|
|
|
|
= 2; |
|
|
|
|
|
|||||
y2 = Pk=1 |
2) |
k |
= 2 + ( 2)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
( |
¡ |
¡ |
|
|
|
¡ |
|
|
+ ( |
|
2)3 |
= |
|
6; |
|
|||
y3 = Pk=1 |
2) |
k |
= 2 + ( 2)2 |
¡ |
¡ |
|
|||||||||||||||
|
P |
4 |
|
¡ |
¡ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
n |
|
n, ò.å., |
||||
|
|
(¡2) |
|
= ¡2 + (¡2)2 |
+ (¡2)3 |
|
|
||||||||||||||
y4 = Pk=1 |
|
+ (¡2)4 = 10. |
|||||||||||||||||||
Заметим, что для этой последовательности каждый следующий |
|||||||||||||||||||||
член отличается от предыдущего на (¡2) : yn = yn¡1 |
+ (¡2) |
начиная со второго члена последовательности, можно вычислять
òàê: y2 = y1 + (¡2)2 = ¡2 + 4 = 2; y3 = y2 + (¡2)3 = 2 ¡ 8 = ¡6;
y4 = y3 + (¡2)4 = ¡6 + 16 = 10 è ò.ä.
3. Выписать первые 4 члена последовательности, если ее общий член задан следующей формулой: zn = 3.
Решение. То, что в формуле для общего члена не содержится n, означает, что члены последовательности от номера n не зависят, т.е.
эта последовательность является постоянной, или тождественной:
z1 = 3, z2 = 3, z3 = 3, z4 = 3.
4. Сформулировать определение понятия "предел последовательности an равен плюс бесконечности"(lim an = +1).
Решение. Предел последовательности an равен плюс бесконечности означает, что для любого положительного числа M найдется такой
номер N, начиная с которого, все члены последовательности будут
больше числа M: an > M ïðè n ¸ N.
5. Сформулировать определение понятия "предел последовательности an равен минус бесконечности"(lim an = ¡1).
Решение. Предел последовательности an равен минус бесконеч- ности означает, что для любого отрицательного числа M найдется