Варламов Линейные електрические цепи переменного тока Част ИИ 2008
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Н.В. Варламов, Э.Я. Школьников
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Часть II
Учебное пособие
Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии»
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
Москва 2008
1
УДК 621.3.11.7(075) ББК 31.211я7 В 18
Варламов Н.В., Школьников Э.Я. Линейные электрические цепи переменного тока Часть II: Учебное пособие М.: МИФИ, 2008. – 88 с.
Учебное пособие является логическим продолжением ранее изданного учебного пособия «Линейные электрические цепи переменного тока» (авторы О.В. Гаркуша и Э.Я. Школьников, издание МИФИ 2004 г.). В учебном пособии рассматриваются: линейные электрические цепи переменного тока с взаимной индуктивностью; резонанс в линейных электрических цепях; переходные процессы в линейных электрических цепях. Каждая глава сопровождается примерами решения типовых задач.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся на факультете «Автоматика и электроника». Оно будет полезно также студентам других факультетов, изучающим курс «Электротехника».
Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы МИФИ.
Рецензент д-р техн. наук, профессор Стенин В.Я.
ISBN 978-5-7262-1004-9
©Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2008
2
|
CОДЕРЖАНИЕ |
|
Введение............................................................................................................ |
|
4 |
Глава 1. |
Электрические цепипеременного тока |
|
|
с взаимной индуктивностью............................................................ |
5 |
1.1. |
Индуктивно связанные элементы цепи.......................................... |
5 |
1.2. |
Согласное и встречное соединение индуктивных элементов...... |
7 |
1.3. Коэффициент связи....................................................................... |
10 |
|
1.4. Трансформатор без ферромагнитного сердечника..................... |
11 |
|
Примеры.......................................................................................................... |
|
14 |
Глава 2. Резонансы в линейных электрических цепях............................... |
18 |
|
2.1. Резонанс напряжений.................................................................... |
18 |
|
|
2.1.1. Условия резонанса напряжений........................................ |
18 |
|
2.1.2. Энергетические соотношения при |
|
|
резонансе напряжений....................................................... |
20 |
|
2.1.3. Частотные характеристики последовательного |
|
|
колебательного контура..................................................... |
22 |
|
2.1.4. Добротность последовательного |
|
|
колебательного контура..................................................... |
25 |
Примеры.......................................................................................................... |
|
27 |
2.2. Резонанс токов............................................................................... |
30 |
|
|
2.2.1. Условие резонанса токов................................................... |
30 |
|
2.2.2. Энергетические соотношения при резонансе токов......... |
37 |
|
2.2.3. Частотные характеристики параллельного |
|
|
колебательного контура..................................................... |
39 |
Примеры.......................................................................................................... |
|
42 |
Глава 3. |
Переходные процессы в линейных электрических цепях |
|
|
(классический метод расчета)....................................................... |
47 |
3.1. Законы коммутации........................................................................ |
47 |
|
3.2. Классический метод анализа переходных процессов................. |
50 |
|
3.3. Виды начальных условий и определение порядка цепи............. |
56 |
|
Примеры.......................................................................................................... |
|
57 |
3.4. |
Характеристическое уравнение цепи |
|
|
(анализ модели цепи в свободном режиме) ................................ |
65 |
3.5. |
Расчет переходных процессов в цепях первого порядка |
|
|
(классическим методом) ................................................................ |
74 |
Примеры.......................................................................................................... |
|
77 |
Список литературы......................................................................................... |
87 |
|
|
3 |
|
Введение
Вучебном пособии рассматриваются линейные электрические цепи переменного тока с взаимной индуктивностью; резонанс в линейных электрических цепях; переходные процессы в линейных электрических цепях.
Для цепей переменного тока с взаимной индуктивностью рассмотрены особенности составления уравнений на основе законов Кирхгофа при наличии индуктивно связанных элементов цепи, проанализировано согласное и встречное соединение таких элементов, введено понятие коэффициента связи, дано описание модели трансформатора без ферромагнитного сердечника.
Впособии рассматриваются особенности работы линейной цепи
врежиме резонанса напряжения и резонанса тока, приведены выкладки и соотношения, раскрывающие условия возникновения этих режимов и их основные характеристики, проанализированы энергетические соотношения при резонансе напряжений и резонансе токов, а также частотные характеристики последовательного и параллельного колебательных контуров.
Вотличие от электрических цепей, процессы энергообмена в которых имеют установившейся характер, а параметры элементов цепи и схема их соединений остаются постоянными, на практике во многих электрических цепях происходит подключение или отключение участков цепи, а параметры элементов цепи могут резко измениться в результате воздействия. При этом в электрических цепях возникает переходный процесс, для анализа которого необходима система интегро-дифференциальных уравнений. В пособии изложен классический метод расчета переходных процессов, дано обоснование законов коммутации, рассмотрены виды начальных условий, понятие порядка цепи и алгоритм получения характеристического уравнения цепи на основе анализа модели цепи в свободном режиме.
Для формирования первичного навыка решения типовых задач в каждой главе пособия приведены примеры, которые не только позволяют освоить простейшие практические приёмы, но во многих случаях дополняют содержание теоретических разделов.
4
ГЛАВА 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
СВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИЕЙ
1.1.Индуктивно связанные элементы цепи
Явление наведения ЭДС в электрической цепи при изменении тока в другой цепи получило название взаимной индукции. Электрические цепи, в которых появляется этот эффект, называются индуктивно связанными цепями.
Рис. 1
На рис. 1 изображены два витка (контура), удаленных на некоторое расстояние один от другого. По первому витку протекает ток i1 , по второму i2 . Зависимости токов i1 и i2 от времени – произ-
вольные. На рис. 1 представлена также пространственная картина магнитных потоков, вызванных этими токами. Здесь введены следующие обозначения:
Ф11 – магнитный поток, замыкающийся в первом витке, вызванный током i1 ;
Ф22 – магнитный поток, замыкающийся во втором витке, вызванный током i2 ;
5
Ф12 – магнитный поток, создаваемый в первом витке током i1 , проходящий через второй виток;
Ф21 – магнитный поток, создаваемый во втором витке током i2 , проходящий через первый виток.
Тогда полный поток, создаваемый в первом витке током i1 :
Ф1 = Ф11 + Ф12 . |
(1.1) |
Соответственно, полный поток, создаваемый во втором витке током i2 :
Ф2 = Ф22 + Ф21 . |
(1.2) |
С учетом принятых обозначений, а также соотношений (1.1) и (1.2) полный ток (магнитное поле) в первом витке:
Ф1полн = Ф1 ± Ф21 . |
(1.3) |
И, соответственно, во втором витке: |
|
Ф2 полн = Ф2 ± Ф12 . |
(1.4) |
Знак «+» в выражениях (1.3) и (1.4) соответствует одинаковому направлению потоков, знак «–» – противоположному.
Для линейных магнитных сред (отсутствие ферромагнитных материалов) справедливо:
Ф1 = L1i1 , Ф2 = L2i 2 , |
(1.5) |
где, L1 и L2 – индуктивности первого и второго витка. Соответственно, при этих же условиях можно полагать что:
Ф12 = М12 i1 , Ф21 = М21 i2 . |
(1.6) |
Можно показать, что коэффициенты М12 и М21 равны: |
|
М12 = М21 = М . |
(1.7) |
Коэффициент М получил название взаимной индуктивности и измеряется в Гн. С учетом (1.3)–(1.7) можно получить выражение для полных ЭДС, индуктируемых в первом и втором витках:
e |
= − |
dФ1полн |
= − L |
di1 |
M |
di2 |
; |
(1.8) |
|
dt |
dt |
dt |
|||||||
1полн |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
e2 полн = − |
dФ1полн |
= − L2 |
di2 |
M |
di1 |
. |
(1.9) |
dt |
dt |
|
|||||
|
|
|
dt |
|
Первые члены в выражениях (1.8) и (1.9) являются ЭДС самоиндукции:
e |
= − L |
di1 |
, |
e |
2 L |
= − L |
|
di2 |
. |
(1.10) |
dt |
|
|||||||||
1L |
1 |
|
|
|
2 dt |
|
Вторые члены в выражениях (1.8) и (1.9) получили название ЭДС взаимоиндукции:
e |
= M |
di2 |
, e |
2 M |
= M |
di1 |
. |
(1.11) |
|
|
|||||||
1M |
|
dt |
|
dt |
|
|||
|
|
|
|
|
Что же касается полных напряжений, наводимых в витках, то их выражения в соответствии с (1.8) и (1.9) выглядят следующим образом:
u |
= L |
|
di1 |
|
± M |
di2 |
, |
(1.12) |
||||
|
|
dt |
|
dt |
||||||||
|
1полн |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
u |
2 полн |
= L |
2 |
|
di2 |
± M |
|
di1 |
. |
(1.13) |
||
|
dt |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
Отметим что выражения (1.8), (1.9), (1.12) и (1.13) остаются справедливыми, если рассматриваются любые два индуктивных элемента (катушки индуктивности). В этом случае величины L1 ,
L2 , M должны быть взяты для этих элементов.
1.2. Согласное и встречное соединение индуктивных элементов
Для определения знаков в соответствующих выражениях на схемах прибегают к условным обозначениям.
Одноименные зажимы катушек (например, северные полюса или начало обмотки) обозначают символом y (рис. 2), а сам факт индуктивной связи катушек представлен на схеме дугой с двумя стрелками и параметром М.
Знак «+» в выражениях (1.12) и (1.13) соответствует случаю, когда токи в катушках ориентированы относительно своих зажимов y одинаково (например, втекают в эти зажимы, как показано на рис. 2, а). В этом случае говорят, что катушки включены согласно.
7
Рис. 2
Знак «–» в выражениях (1.12) и (1.13) соответствует случаю, когда токи в катушках ориентированы относительно своих зажимов y противоположно (например, i1 – втекает, i2 – вытекает из зажима,
как показано на рис.2,б). В этом случае говорят, что катушки соединены встречно.
В качестве примера рассмотрим схемы на рис. 3.
Рис. 3
8
На этом рисунке два индуктивных элемента соединены последовательно (i1 = i2 = i ) . Тогда полное падение напряжения u12 для рис. 3,а:
u |
= ( L |
di + M |
di ) + ir |
+ ( L |
|
di |
+ M di ) + ir |
= |
||||
12 |
1 dt |
dt |
1 |
|
|
|
2 dt |
dt |
2 |
|
||
|
|
= i(r + r ) + (L |
+ L |
2 |
+ 2M ) di |
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
dt |
|
|
||
и для рис. 3б: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
di − M |
di ) + ir + ( L |
|
di |
− M di ) + ir = |
||||||||
u = ( L |
|
|||||||||||
12 |
1 dt |
dt |
1 |
|
|
|
2 dt |
dt |
2 |
(1.14) |
||
|
|
= i(r + r ) + ( L + L |
|
|
|
− 2M ) di . |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
dt |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остается добавить, что в первом случае катушки соединены согласно, во втором – встречно.
Пусть токи в цепи (как и напряжение) изменяются со временем следующим образом:
i(t ) = I m sin(ω t + ϕ) .
Тогда ток i(t ) можно представить:
i(t ) = Im[ Ie jωt ] ,
где I – так называемая комплексная амплитуда тока I = I me jϕ . Выражение для комплексной амплитуды падения напряжения от
взаимной индукции u = M dtdi в этом случае можно представить в
следующем виде:
U = j ω M I .
Здесь j ω M можно рассматривать как комплексное сопротив-
ление взаимной индукции, которое в радиотехнике называют сопротивлением связи.
Для схем, представленных на рис. 3, в случае гармонического тока комплексные амплитуды падения напряжения на зажимах 1–2 получаются следующим образом.
9
Для рис. 3,а:
U12 |
= ( jωL1 I + jωMI ) + r1 I + |
( jωL2 I + jωMI ) + r2 I = |
|
|
(1.15) |
|
= (r1 + r2 ) I + jω( L1 + L2 + 2M ) I . |
Для рис.3б:
U12 = ( jωL1I − jωMI ) + r1I + ( jωL2 I − jωMI ) + r2 I = (r1 + r2 ) I + jω( L1 + L2 − 2M ) I .
1.3. Коэффициент связи
Помимо взаимной индуктивности М степень индуктивной связи двух катушек характеризуют с помощью так называемого коэффициента связи Kсв , который определяется следующим образом
(см. рис.1):
Kсв = |
Ф12 |
|
Ф21 |
. |
(1.16) |
|
|
||||
|
Ф1 |
Ф2 |
|
Здесь в числителе стоят магнитные потоки, пошедшие на взаимную индукцию, а в знаменателе магнитные потоки в контурах, вы-
рабатываемые их собственными токами. Учитывая, |
что Ф12 = Mi1 , |
|||||||||
Ф21 = Mi2 , Ф1 = L1i1 , |
Ф2 = L2i2 и |
подставляя эти |
выражения в |
|||||||
(1.16) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
св |
= |
Mi1 |
|
Mi2 |
= |
M |
. |
(1.17) |
|
|
L2i2 |
|
||||||||
|
|
L1i1 |
|
L L |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Из формулы (1.16) |
следует, что Kсв всегда меньше единицы, |
|||||||||
так как Ф12 ≤ Ф1 , а Ф21 ≤ Ф2 . Таким образом, для Kсв справедли- |
||||||||||
во: |
|
|
0 ≤ Kсв ≤ 1 . |
|
|
(1.18) |
||||
|
|
|
|
|
Случай расположения катушек, когда Kсв близок к 1, изображен на рис. 4,а. Это достигается бифилярным способом намотки катушек. Напротив, значение Kсв близко к 0, для случая рис. 4,б, когда оси катушек расположены перпендикулярно друг к другу.
10