01_Надежность_Введение_и_Основы_МС_и_ТВ
.pdf
Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Основы МС и ТВ
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Достаточно часто на практике используются простейшие числовые характеристики законов распределения, которые позволяют судить о некоторых свойствах случайной величины. Одной из таких характеристик является математическое ожидание. Математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется постоянное число, около которого с ростом числа испытаний устойчиво колеблется среднее арифметическое значение случайной величины, найденное по данным испытаний. Для непрерывной случайной величины математическое ожидание определится как
|
|
|
M x |
x f x dx , |
(1.12) |
|
0 |
|
для дискретной случайной величины как
M x n |
xi P X xi . |
(1.13) |
i 1
Вмеханической интерпретации « M x » представляет собой абсциссу центра
тяжести площади под кривой плотности вероятности « f x » (рис. 1.2):
|
|
|
|
|
|
X ср F x |
x f x dx , |
(1.14) |
|
|
|
|
0 |
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x f x dx |
|
|
|
X ср |
0 |
|
x f x dx M x , |
(1.15) |
|
|
|||
|
|
f x dx |
0 |
|
|
|
|
|
|
0
где F x f x dx 1.
Следует отметить, что « M x » является некоторым постоянным числом и представляет собой характеристику случайной величины « X ». Статистически « M x » определяется как среднеарифметическое значение результатов наблюдений:
|
|
1 |
N |
|
|
M x ст |
xi . |
(1.16) |
|
|
|
|||
|
|
N i 1 |
|
|
Следует учитывать, что M x ст M x |
при N . |
|
||
Рис. 1.2. Механическая интерпретация математического ожидания случайной величины
Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Основы МС и ТВ
Второй простейшей характеристикой надежности является дисперсия (поле возможного разброса относительно математического ожидания) случайной величины. Дисперсия случайной величины – средневероятностное значение суммы квадратов отклонений значений случайной величины от ее среднего значения (математического ожидания). Дисперсия представляет собой момент инерции единичной площади под кривой « f x » (рис. 1.2) относительно оси, прохо-
дящей через « M x », т.е. характеризует разброс случайной величины относитель-
но ее среднего значения (математического ожидания).
Для непрерывной случайной величины дисперсия определится как
|
|
Dx x M x 2 f x dx , |
(1.17) |
для дискретной случайной величины как
N |
|
Dx xi M x 2 P( X xi ) . |
(1.18) |
i 1
Статистически « Dx » определяется по известной формуле [4]:
|
1 |
N |
|
|
Dx ст |
xi M x ст 2 . |
(1.19) |
||
|
||||
|
N i 1 |
|
||
При малом « N » более хорошее приближение дает несмещенная оценка дисперсии:
|
|
1 |
N |
|
|
|
Dx ст |
xi M x ст 2 |
, |
(1.20) |
|
|
|
||||
|
|
N 1 i 1 |
|
|
|
при этом Dx ст Dx |
при N . |
|
|
|
|
Если требуется иметь показатель, имеющий такую же размерность, что и случайная величина « X », целесообразно использовать величину, называемую среднеквадратичным отклонением:
x |
Dx . |
(1.21) |
||
Также представляет интерес величина |
x |
|
|
|
Vx |
, |
(1.22) |
||
|
||||
|
M x |
|
||
являющаяся безразмерным отношением среднеквадратичного отклонения случайной величины к ее математическому ожиданию и называющаяся коэффициентом вариации случайной величины (относительным рассеиванием случайной величины).
Контрольные вопросы
Что называется частотой, а что – частностью появления события? Что понимается под сложным событием?
Что понимается по условной вероятностью?
Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей. Что понимается под совместными событиями?
Что понимается под независимыми событиями?
Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Основы МС и ТВ
Дайте определение случайной величины.
Дайте определение закону распределения случайной величины.
Дайте определение плотности распределения вероятностей случайной величины.
Дайте определение математического ожидания и дисперсии случайной величины.