модуль 2.16
.pdf
Среднее значение вектора Умова равно
|
|
|
1 |
A |
|
2 |
|
j |
w |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(11.40)
Среднее по времени значение плотности потока энергии, переносимой волной, называемой интенсивностью волны:
I |
j |
|
w |
где напомним,
A
1 |
A |
|
2 |
, |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
- амплитуда волны.
(11.41)
Пример Убедимся, что амплитуда A |
сферической волны пропорциональна |
Для этого найдем - среднее |
значение потока энергии сквозь |
поверхность радиуса |
r . |
1 |
. |
|
r |
||
|
волновую
|
|
|
4r |
2 |
2 |
r |
2 |
|
j |
|
~ Ar |
|
. |
Если энергия волны не поглощается средой, то
не должно зависеть от
r
, то есть
A |
2 |
r |
2 |
|
|
||
r |
|
|
|
const
. Отсюда и следует, что
Ar
~
1 r
.
6 Эффект Доплера для звуковых волн
Звуковые волны (или просто звук) – это распространяющийся в упругой среде волновой процесс, воспринимаемый человеческим ухом в диапазоне частот от ~ 20 Гц до 20кГц. Упругие волны с частотами < 20 Гц называют инфразвуком, а волны с частотами > 20 кГц – ультразвуком. Инфра- и ультразвуки человеческое ухо не слышит.
Пусть источник, находящийся в газе или жидкости, испускает короткие импульсы с частотой 0 . Если источник и приемник покоятся относительно среды, в которой распространяется волна, то частота импульсов, воспринимаемых приемником, будет равна частоте 0 источника ( 0 ).
Если же источник, или приемник, или оба движутся, то частота , воспринимаемая приемником, вообще говоря, оказывается отличной от частоты источника: 0 . Это
явление называют эффектом Доплера. Сначала рассмотрим случай, когда
прямой с постоянными скоростями ис и
источник S и приемник
пр .
P
движутся вдоль
Пусть пр |
0 |
и источник S движется навстречу приемнику. Он испускает импульсы |
|||||
с периодом T |
|
1 |
, за это время очередной импульс пройдет расстояние T , где |
||||
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- скорость волн в среде. Пока будет испущен следующий импульс, источник «нагонит» |
|||||||
предыдущий |
импульс на |
расстояние |
ис T0 . Таким образом, расстояние |
между |
|||
импульсами станет равным |
T ис |
T0 (рис. 7). |
|
||||
11
Воспринимаемая времени)
|
|
|
|
|
|
( |
|
||
|
T |
ис |
||
|
|
0 |
|
Рис. 7
неподвижным приемником частота (число импульсов за единицу
. |
(11.42) |
) |
|
Если же движется и приемник (пусть тоже навстречу источнику), то импульсы относительно приемника будут иметь скорость пр , и число воспринимаемых за
единицу времени импульсов
|
|
пр |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
T ( |
|
) |
|
|
|
||
|
ис |
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
||
пр ис
.
(11.43)
|
При движении как источника, так |
и приемника в противоположных направлениях |
||
пр |
0 и ис 0 |
(знаки перед пр |
и ис |
надо поменять на обратные). |
|
Как видно |
из приведенных |
рассуждений, эффект Доплера является следствием |
|
«уплотнения» (или разряжения) импульсов, обусловленным движением источника и приемника.
Формулу (11.43) можно записать в более общей и более простой форме:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v v |
|
|
|
xпр |
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.44) |
||||
|
|
0 |
|
xис |
, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
где x |
пр |
и x - проекции скоростей приемника и источника на ось |
X , |
проходящую |
||||
|
|
ис |
|
|
|
|
||
через них и положительное направление которой совпадает с направлением
распространения импульсов, т.е. от источника |
S к приемнику P . |
||||||
Например, пусть источник |
S |
и приемник |
P движутся так, как показано на рис. 8, со |
||||
скоростями |
ис |
и |
пр |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 8
12
Тогда в формулу (11.14) следует подставить
xис ис cos ис
xпр пр cos пр
В приведенном на рис. случае
|
x |
|
ис |
> 0, а
|
x |
|
пр |
< 0.
Задачи
|
|
Задача 1 (С.4.36) Предположим, что температура воздуха изменяется с высотой |
h по |
|||||||||||||||||||||||||||||
линейному закону от значения T1 |
= 300 К при h1 = 0 до значения T2 |
= 250 К на высоте h2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
= 10,0 км. Сколько времени t |
потребуется возбужденной на высоте h2 звуковой волне, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
чтобы достичь земной поверхности? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T T1 |
kh, |
|
k |
T T |
|
|
|
|||
|
|
Температура воздуха изменяется по закону |
где |
1 |
|
2 |
. |
Поэтому |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
h |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скорость звука |
|
|
RT |
a |
|
T1 kh , где |
a |
R |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Время |
dt |
dh |
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
dh |
|
1 |
h |
dh |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
2h |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T kh |
|
|
|
|
T |
T |
|
|
2 |
|
|
T |
|
|
T |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
a |
0 |
T kh |
|
k a |
|
|
|
|
0 |
|
|
k a |
|
|
|
|
T T |
R |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2h |
|
|
|
2 10 10 |
3 |
|
29 10 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
T |
|
T |
|
|
300 |
250 |
1, 40 8, 31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2 Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с. Период колебаний точек шнура 1,2 с, амплитуда колебаний 2 см. Определить
длину волны, фазу и смещение точки, отстоящей на 45 м от источника колебаний, через 4 с.
Дано: |
= 15 м/с, |
T |
= 1,2 с, |
|
A = 2 10 |
2 |
м, |
x = 45 м, t = 4 с |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
Найти: , 1 , 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T , 15 1,2 18 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Фаза 1 |
и смещение 1 |
любой точки могут быть найдены из уравнения волны: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
x |
||
Asin t |
|
|
, |
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
|
x |
|
|
2 3,14 |
|
|
45 |
|
5,24 |
рад |
||||||||
|
t |
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Смещение точки |
1 |
2 10 2 sin(5,24) 1,77 10 2 м. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3 Две точки находятся на расстоянии 6 и 12 м от источника колебаний. Найти разность фаз колебаний этих точек, если период колебаний 0,04 с, а скорость их распространения 300 м/с.
13
Дано: |
x1 = 6 м, |
x2 |
= 12 м, T |
= 0,04 с, = 300 м/с |
|
|||||||
Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение колебаний точек имеют вид: 1 Asin( t kx1 ) и 2 Asin( t kx2 ) , где |
||||||||||||
k |
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 k x2 |
x1 |
|
|||||
Откуда |
1 |
|
||||||||||
|
|
x |
, |
|
|
2 |
x |
|
|
|||
|
T |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 3,14 |
(12 6) |
рад |
|
||||||||
0,04 |
300 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Точки колеблются в противоположных фазах. |
|
|||||||||||
Задача |
4 Уравнение плоской бегущей волны имеет |
вид Asin( t x) , где |
||||||||||
A, , |
- |
положительные |
постоянные. Найти отношение |
амплитуды колебательной |
||||||||
скорости частиц среды к скорости волны.
Решение:
Колебательная |
скорость частиц |
u |
амплитуда скорости. |
Скорость волны |
|
d |
A cos( t |
|
dt |
||
|
находим из
x) ,
условия
где
u |
m |
A |
|
|
|
t x const |
||
-
,
dt dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Искомое отношение |
u |
m |
|
A |
A |
|
|
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 5 Источник |
S |
|
и приемник P |
удаляются друг от друга по одной прямой в |
||||||||
противоположные стороны со скоростями |
ис |
и пр . Частота источника 0 , скорость |
||||||||||
звука в среде v . Найти частоту , воспринимаемую приемником.
Решение:
В данном случае xист получим
|
|
|
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ист |
||
ист ,
|
x |
|
пр |
пр . Подставив эти величины в формулу (11.44),
14
Задача 6 (С 4.48) Неподвижный источник испускает звук частоты 0 |
. Найти частоту |
звука, отраженного от стенки, которая удаляется от источника с постоянной скоростью |
u . |
Скорость звука . Считать, что u . |
|
Решение: |
|
Рассмотрим процесс отражения звука в две фазы. Сначала стенка играет роль приемника и воспринимаемая ею частота, согласно (11.44), равна
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
, где ист 0 |
, |
|
|
u |
, |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
xпр |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ист |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть |
v1 |
v0 |
u |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На второй стадии стенка играет роль удаляющегося источника звука с частотой
поэтому частота отраженного звука |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
, где ист u , |
|
|
0 |
. |
||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
xпр |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ист |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда v2 |
v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставив 1 , получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
u |
|
0 |
|
|
u |
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
1 2 |
, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где учтено, что u .
1
,
Тесты
1.Направление волнового вектора в изотропной среде совпадает с направлением
1)касательной к поверхности; 2) нормали к волновой поверхности; 3) вектора смещения в упругой волне; 4) вектора скорости колебаний в упругой волне; 5) может иметь любое направление.
2.Волновое число измеряется в:
1) м2; 2) м;
3. |
Величина k |
2 |
|
|
|||
|
|
3) м-2; |
4) м-1; |
5) с/м. |
называется:
1)волновым числом; 2) частотой света; 3) периодом колебаний оптической волны,
4)квантом света, 5) импульсом световой волны.
4. Частота , волновое число k и скорость волны связаны между собой следующим образом:
1) k v / ; |
2) k v ; |
3) k / v ; 4) k / v ; 5) эти величины никак не |
связаны. |
|
|
15
5.Для плоской волны справедливо утверждение:
1) амплитуда волны обратно пропорциональна расстоянию до источника колебаний (в непоглощающей среде); 2) амплитуда не зависит от расстояния до источника колебаний (при условии, что поглощением среды можно пренебречь); 3) волновые поверхности имеют вид концентрических сфер.
6. |
|
1) |
|
Сферическая волна описывается согласно уравнению:
|
А |
cos( t kr) ; |
2) |
|
А |
cos( t kr) ; |
3) |
|
||
r |
2 |
r |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А |
cos( t |
|
r |
||
|
kr)
.
7.Упругие волны в жидкости могут быть….
1) продольными; |
2) поперечными; |
3) и продольными, и поперечными. |
8. На рисунке 1 показан моментальный снимок плоской волны, распространяющийся в направлении от источника, частота колебаний которого равна 1 кГц. Уравнение волны при этом имеет вид….
3) |
х |
1) |
х Аsin |
|
Аsin 2 10 |
3 |
|
|
||
10 |
3 |
|
(t |
||
(t 0,005y) ; 0,0025y) ;
Рис. 1. |
|
|
|
|
2) |
х Аsin |
|
4) |
х Аsin 2 10 |
3 |
|
|
|||
10 |
3 |
|
(t |
||
(t 0,0025y) 0,005y) .
;
9.Величина скорости распространения упругих волн больше….
1) в вакууме; |
2) в газах; |
3) в жидкостях; |
4) в резине; 5) в железе? |
||
10. |
Плотность некоторого двухатомного газа ρ = 1,78 кг/м3 при нормальном |
||||
давлении. Определите скорость распространения звука в газе при этих условиях. |
|||||
1) 285 м/с; |
2) 282 мм/с; |
3)282 м/с; |
4) 285 Мм/с. |
||
11.Энергия упругой сферической волны
1)растет пропорционально r; 2) растет пропорционально r2; 3) не зависит от r;
4)убывает по закону r -1, 5) убывает по закону r -2.
12.Если источник звука с частотой ν приближается к приемнику ν0, то воспринимаемая им частота ν0 будет….
1) ν0 > ν; |
2) ν0 < ν |
3) |
|
0 |
|
|
13. Что можно сказать о фазах колебаний в двух точках волны, расстояние между которыми равно 3 λ:
1) фазы различаются на Δφ = π; 2) фазы различаются на Δφ = - π; 3) фазы не определены, ответ не возможен; 4) фазы взаимно перпендикулярны; 5) фазы совпадают
Δφ = 0.
16
14.Упругая волна распространяется вдоль оси OX так, что смещение частиц
среды меняется по закону
sin(3 10 |
3 |
t |
|
4x)
, м. Определить отношение амплитуды
скорости колебаний к скорости распространения упругой волны.
1) 1.5; |
2) |
4.0; |
3) 0.75; |
4) 0.5; |
5) 0.25. |
15. |
Разность |
фаз колебаний 2-х точек среды, в которой распространяется |
|||
звуковая волна с частотой 103 Гц, равна 60°. Если расстояние между этими точками 25 см,
то скорость звука в этой среде равна… |
|
|
|
|
||||||
1) |
26,2 м/с; |
2) |
262 м/с; |
3) |
15 м/с; |
4) |
150 м/с; |
5) |
1500 м/с. |
|
16. |
Какова частота звуковой волны с длиной волны λ=3 см в морской воде, если |
|||||||||
скорость звука равна 1500 м/с? |
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
5 кГц, |
|
2) |
50 кГц, |
3) |
500 Гц, |
4) |
0.5 МГц, |
5) |
2 . |
17.Если уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль
оси ОХ имеет вид
0,2cos(628t
3,14x)
, то период колебаний равен…
1) 10 с; |
2) 1 с; |
3) 10 мс; |
4) 1 мс |
18.Упругая волна распространяется вдоль оси ОХ так, что смещение частиц
среды меняется по закону Аsin( t kx) , где A=1/3 м, ω=1200 с-1, k=6.28 м-1. Определить амплитуду скорости колебаний частиц среды в момент t=1с в точке с
координатой x=100 м: |
|
|
|
1) 0,4 м/с, |
2) 4 м/с, |
3) 40 м/с, |
4) 400 м/с, 5) 4000 м/с. |
19.Эффект Доплера заключается в…
1) неизменности скорости волны от относительной скорости движения источника; 2) зависимости скорости волны от относительной скорости движения источника; 3) независимости частоты волны от относительной скорости движения источника; 4) зависимости частоты волны от относительной скорости движения источника; 5)зависимости скорости волны от частоты
20. Электропоезд проходит со скоростью 72 км/ч мимо неподвижного человека, стоящего на платформе, и дает гудок с частотой 300 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/с, определите скачок частоты, воспринимаемой человеком.
1) 35,4 кГц; |
2) 36 Гц; |
3) 354 Гц; |
4)35,4 Гц. |
|
|
21. |
Человек, стоящий на платформе, слышит гудок проходящего мимо поезда. |
||||
Когда поезд приближается, частота звуковых колебаний гудка равна 175 Гц, а когда |
|||||
удаляется - 145 Гц. Приняв скорость звука в воздухе равной 330 м/с, найти скорость |
|||||
поезда: |
|
|
|
|
|
1) 10 м/с, |
2) 15 м/с, |
3) 20 м/с, |
4) 25 м/с, |
5) 30 м/с. |
|
17