1 введение
.doc
Литература.
1. Математика для экономистов: учебное пособие / С.И. Макаров. – М.: КНОРУС, 2008.
2. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. – М.: ЮНИТИ, 2001.
3.Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике: учебник: в 2-х ч.. – М.: Финансы и статистика, 2003.
4. Математика для экономистов. Задачник:учебно-практическое пособие / кол. авторов; под ред. С.И. Макарова, М.В. Мищенко. – М.: КНОРУС, 2008.
Лекция 1.
Математическая символика
Логические символы
- для любого, любой
- существует
: - такой, что
- и
- или
- следует
- тогда и только тогда (необходимо и достаточно)
┐- символ отрицания
Теоретико-множественные символы
- объединение
- пересечение
- разность
С – дополнение
- включается, входит
- принадлежит
- пустое множество
Элементы теории множеств
Множество – совокупность элементов, объединенных по какому-либо признаку.
А={}
Пусть А, В, С – некоторые множества. Тогда над ними можно совершать следующие операции:
1. Объединение множеств:
.
2. Пересечение множеств:
.
3. Разность множеств:
.
4. Дополнение множества в другом множестве:
.
Самостоятельно: свойства операций над множествами.
Стандартные множества
N = {1, 2, 3, …} – натуральные числа
Z = { N , N , 0} – целые числа
P = {, где Z , N,- взаимно простые} – рациональные числа
(конечные или периодические десятичные дроби)
Q – иррациональные числа (бесконечные непериодические десятичные
дроби)
R = { P Q } – действительные числа.
Элементы множества R называются собственными точками;
- несобственные точки.
Виды промежутков:
- отрезок
- интервал
, - полуинтервал.
Абсолютная величина числа
Опр. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа х называется само число х, если оно неотрицательно и противоположное ему число –х, если оно отрицательно:
R ,
Свойства модуля:
1.
2.
3.
4.
5.
6. , ().
7. Первое неравенство треугольника: R:
.
Второе неравенство треугольника: R:
.
Окрестность точки
Понятие окрестности точки вводится по следующему определению.
Опр. 1. Если - собственная точка, то окрестностью точки х0 называется множество точек х, удовлетворяющих условию: .
Поясним геометрический смысл этого понятия. Раскроем знак модуля:
,
,
.
Таким образом, окрестность точки х0 представляет собой совокупность точек , удаленных от х0 на расстояние, не превосходящее .
Опр.2. Если , то то окрестностью точки х0 называется множество точек х, удовлетворяющих условию: .
Опр.3. Если , то то окрестностью точки х0 называется множество точек х, удовлетворяющих условию: .
Опр.4. Если , то то окрестностью точки х0 называется множество точек х, удовлетворяющих условию: .
Понятие функции
Пусть Х и У – некоторые множества.
Опр. Если каждому элементу ставится в соответствие по некоторому правилу единственный элемент , то говорят, что на множестве Х задана функция (функциональная зависимость) со значениями в множестве У:
, .
Множество Х называется областью определения функции и обозначается D(f), множество У называется областью значений функции и обозначается I(f).
В мат. анализе рассматривают в основном числовые функции, т.е. такие, где Х и У – множества действительных чисел.
Если функция f переводит элемент в элемент , то х называют независимой переменной или аргументом или прообразом элемента у, у называют зависимой переменной или значением функции или образом элемента х. Для функциональной зависимости образ всегда единственен.
Способы задания функций (задать множества и описать правило):
- аналитический, с помощью одной или нескольких формул:
- табличный:
Год |
1800 |
1930 |
1960 |
1975 |
1987 |
2000 |
Численность населения (млрд) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
- графический (ЭКГ);
- словесный (функция Дирихле 1-рац., 0-иррац.);
- (читается «у равно антье х») целая часть – наибольшее число, не превосходящее х.
Например, .
Функция называется явной, если она задана формулой, разрешенной относительно зависимой переменной. Если функция задана уравнением, не разрешенным относительно зависимой переменной, то говорят, что функция задана неявно.
()
Опр. Композицией отображений и называется отображение .
Например, ;
;
.
Композицию числовых функций называют сложной функцией или функцией от функции.
Опр. Если обратное соответствие, переводящее Y в X является функцией, т.е. у каждого элемента имеется единственный прообраз , то это соответствие называют обратным отображением или обратной функцией к функции :
, .
Пример. Рассмотрим функцию при x0.
Выразим х: , . Обратной функцией будет являться .
Т.к. традиционно независимую переменную обозначают х, то, переобозначив переменные, получим обратную функцию .
Обратная функция к обратной функции совпадает с исходной функцией: .
Обратная функция существует для любой строго монотонной функции.
Опр. Графиком числовой функции y=f(x) называется совокупность точек плоскости вида (x,f(x)), где .
Графики обратных функций симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.
Некоторые свойства функций.
Опр. Числовая функция y=f(x) называется монотонно возрастающей (убывающей), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции:
.
Опр. Числовая функция y=f(x) называется ограниченной сверху на множестве А, если найдется число М такое, что:
.
Опр. Числовая функция y=f(x) называется ограниченной снизу на множестве А, если найдется число М такое, что:
.
Опр. Числовая функция y=f(x) называется ограниченной на множестве А, если найдется число К такое, что:
.
В противном случае функция называется неограниченной.
Числовая функция y=f(x) называется четной, если ; числовая функция называется нечетной, если .
Числовая функция y=f(x) называется периодической, если найдется такое число Т>0, что .
Элементарные функции и их классификация.
К основным элементарным функциям относят: линейную, степенную, показательную, логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Опр. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и/или конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.
Пример. Неэлементарные: .
Элементарные функции делят на алгебраические и трансцендентные.
Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий (например, полином, дробно-рациональная функция, иррациональная функция). Остальные – трансцендентные (показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции).
Знать свойства и графики основных элементарных функций.
Преобразования графиков функций
1. - симметричное отображение относительно оси Ох.
2. - симметричное отображение относительно оси Оу.
3. - параллельный перенос на а влево/ вправо.
4. - параллельный перенос на а вверх/ вниз.
5. - растяжение (для к>1) /сжатие (для 0<к<1) в к раз вдоль оси Оу.
6. - растяжение (для 0<к<1) /сжатие (для к>1) в к раз вдоль оси Ох.
7. - часть графика, расположенная ниже оси Ох, отображается симметрично относительно оси Ох, остальная часть графика не изменяется.
8. - часть графика, расположенная в правой полуплоскости копируется в левую полуплоскость.