- •Практикум
- •Занятие 7.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Занятие №9.
- •Правило Лопиталя.
- •Производная функции, заданной параметрически.
- •Примеры
- •Как определять интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Перечень вариантов домашней контрольной работы по теме «Исследование функций и построение их графиков»
- •Список литературы
- •Скворцова Мария Ивановна Мудракова Ольга Александровна Кротов Герман Сергеевич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Московская государственная академия тонкой
химической технологии им. М. В. Ломоносова
Кафедра
высшей и прикладной
математики
Скворцова М.И., Мудракова О.А., Кротов Г.С.
Практикум
по математическому анализу
для студентов вечернего отделения
1-го курса
(Часть II)
Учебно-методическое пособие
Москва, 2006 г.
УДК 512.8:516
ББК С42
Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент Каролинская С.Н. (МАИ им. С Орджоникидзе); к.ф.-м.н., доцент Краснослободцева Т.П. (МИТХТ им. М.В. Ломоносова).
Скворцова М.И., Мудракова О.А., Кротов Г.С., Практикум по математическому анализу для студентов вечернего отделения 1-го курса (Часть II), Учебно-методическое пособие — М.: МИТХТ, 2006 г, 30 стр., рис. 3.
Пособие представляет собой конспекты 6 практических занятий по курсу математического анализа для студентов вечернего отделения МИТХТ им. М. В. Ломоносова. Оно является продолжением I–й части одноименного учебно-методического пособия тех же авторов. В часть II включены следующие разделы: «Производная функции одной переменной», «Исследование функций и построение их графиков».
Каждое занятие посвящено отдельной теме. Конспекты 5-ти занятий содержат краткое изложение соответствующей теории, типовые примеры и задачи для самостоятельного решения (с ответами). В конспекте занятия №10 приведен образец варианта контрольной работы (с решениями), проводимой на этом занятии. Дан перечень 40 вариантов домашней контрольной работы по теме «Исследование функций и построение их графиков».
Пособие предназначено для студентов вечернего отделе-ния вузов химического профиля.
© МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2006 г.
Оглавление
Занятие 7.Производная функции одной переменной. Производная сложной функции. Логарифмическое дифференцирование…………………………………………………….…4
Занятие 8.Уравнения касательной и нормали к кривой. Угол между кривыми. Дифференциал функции. Приближённое вычисление значения функции в точке ..………….…………………………………………….………………….…..7
Занятие 9. Правило Лопиталя для вычисления пределов. Производная функции, заданной параметрически...………………………………………………………….11
Занятие 10. Контрольная работа №2 по теме "Производная функции одной переменной». Вариант-образец…………………………………………….………………………..14
Занятие 11. Исследование функций: нахождение интервалов возрастания (убывания) функций, экстремумов, интервалов выпуклости (вогнутости), точек перегиба, асимптот графика функции……….…………………..……………………….………………..16
Занятие 12. Общая схема исследования функций и построения их графиков…………………………..…………………….……….………...21
Перечень вариантов домашней контрольной работы по теме «Исследование функций и построение их графиков»…………………………………………………………….……26
Литература………………………………………………………………...29
Занятие 7.
Производная функции одной переменной. Производная сложной функции. Логарифмическое дифференцирование.
Определение. Приращением функции в точкеназывается следующая разность:
,
где — приращение аргумента в точке.
Определение. Производной функциив точкеназывается следующий предел:
.
Свойства производной:
(— константа);
;
;
;
;
Таблица производных основных элементарных функций
;
; ;
; ;
;
;
;
;
;
;
;
.
Производная сложной функции
Пусть , т.е.. Тогда
.
Примеры.
Найдём , пользуясь формулой для производной сложной функции:
.
Здесь .
.
Здесь .
Определение. Логарифмическая производная функции — это производная от :
.
Определение. Степенно-показательная функция — это функция вида .
Правило нахождения для степенно-показательной функции
Логарифмируем :;
Дифференцируем обе части этого равенства: ;
Находим из этого соотношения :
.
Примеры нахождения .
;
;
;
;
;
а) ; б); в);
;
а) ;
б) ;
в) .
Задачи для самостоятельного решения
Найти :
1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;6) ;7) ;8) ;9) ;10) ;11) ;12) ;13) ;14) ;15) ;16) ;17) ;18) ;19) .
Занятие №8.
Уравнение касательной и нормали к кривой. Угол между кривыми. Дифференциал функции. Приближённое вычисление значения функции в точке.
Уравнение касательной к кривой в точкеимеет вид:
. (1)
Если , то; если, то.
Определение. Нормаль к кривой в точке— это прямая, проходящая через точкуперпендикулярно касательной.
Уравнение нормали к кривой в точкеимеет вид:
. (2)
Если , то; если, то.
касательная случай случай
нормаль
Рис. 1
Определение. Угол между кривыми ,в их общей точке — это острый угол между касательными к ним в этой точке. Для вычисленияиспользуют формулу:
. (3)
Определение. Предположим, что приращение функции в точкеможет быть представлено в виде
,
где — приращение аргумента в точке, функциятакова, что, а- некоторая константа. Первое слагаемое в этом выражении называютдифференциалом функции в точкеи обозначают через, т.е.:
.
Приращение обычно обозначают черезиназывают дифференциалом независимой переменной. Таким образом,
.
Можно показать, что и, следовательно,
.
Приближённое вычисление значения функции в заданной точке.
Для этого используется формула:
. (4)
Примеры
Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке.
Найдём . Поэтому, согласно формулам (1) и (2):
—уравнение касательной (или );
—уравнение нормали (или ).
Найти угол между кривымии, а также уголмежду касательной к кривойв точкеи осью.
Найдём точку пересечения этих кривых. Для этого решим уравнение . Оно имеет единственное решение. Найдём,. Далее воспользуемся формулой (3):
.
Поэтому . Как известно (см. геометрический смысл производной),. Поэтому.
Вычислить приближённо: а) ; б).
Во всех случаях подбираем так, чтобы числобыло искомым, алегко бы определялось. Далее пользуемся формулой (4).
а) Возьмём ,. Тогда,,;
б) Возьмём ,. Тогда,,.