Практика 4 / Практика4(kad)
.pdfНеобходимо построитьспектрыамплитуди фазодиночного видеоимпульсаP(t) при следующихисходныхданных:
Амплитуда Um:= 0.8 volt |
Длительность τ := 0.1 sec |
|
|
|||
Начальный моментвремени |
t0 := 0 sec |
|
|
T |
|
|
Возможная периодичностьповторения |
T := 2 τ |
t := -1.5 T,-1.5 T + |
..2 T |
|||
500 |
||||||
|
|
|
|
Математическая модельсигнала
volt |
P(t) |
|
|
|
|
- 0.4 - 0.2
P(t) := Um if 0 t τ 0 otherwise
1
0.5
0 0.2 0.4 0.6 t
sec
Таккаксигналпредставляетсобойнепериодическуюфункциювременинеобходимо найти спектральнуюфункциюимпульсанаосновании интегральногопреобразования Фурье
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
- j ω t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Интегральное преобразование Фурье |
|
|
|
|
|
Fp(ω) := |
|
Um e |
dt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение интеграла |
|
Fp(ω) := j Um exp(-j ω τ) - Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение интеграла вкомплексной |
|
Fp(ω) := Um sin(ω τ) |
|
+ j (Umcos(ω τ) - Um) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Действительная часть |
|
Dp(ω) := Um |
sin(ω τ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Мнимая часть |
Mp(ω) := |
(Umcos(ω τ) - Um) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Раскрытие неопределенности 0/0 по правилуЛопиталя при ω=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
Um |
sin(ω τ) |
|
+ |
j |
(Umcos(ω τ) - Um) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ω |
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ω 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Значениеспектральной функции при ω=0 |
|
|
|
F0p := |
Um τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Амплитудныйспектрсигнала |
Ap(ω) := |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Fp(ω) |
|
или Ap(ω) := |
|
Um |
|
cos(ω τ) - 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Ap(ω) := |
|
(Um τ) if |
|
|
|
ω |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Сучетомточкиω=0 |
|
|
ω = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Um |
|
|
cos(ω τ) - 1 |
|
|
|
otherwise |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фазовыйспектр |
|
|
|
|
Mp(ω) |
|
ϕp(ω) := arg(Fp(ω)) |
или |
ϕp(ω) := atan Dp(ω) |
||||
|
||||||
Подстановки действительнойи мнимойчастей спектральной функции |
||||||
|
ϕp(ω) := atan |
(cos(ω τ) - 1) |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
sin(ω τ) |
|
|||
|
|
Условия для графиковамплитудного ифазовогоспектров
ω1 :=
вольт * секунда
2 π |
R := 5 |
|
ω:= -R ω1,-R ω1 + |
ω1 |
..R ω1 |
|
T |
|
|
|
|
250 |
|
|
- |
2 π 0.1 |
2 π |
|
|
|
|
τ |
0.08 |
τ |
|
|
|
|
|
|
|
0.06
Ap(ω)
0.04
0.02
- 200 |
- 100 |
0 |
100 |
200 |
ω
радиан/секунда
радиан
|
|
2 |
2 π |
π |
|
|
|
||
|
|
1 |
τ |
2 |
|
|
|
|
|
ϕp(ω) - 200 |
- 100 |
0 |
100 |
200 |
|
|
- 1 |
|
π |
|
|
|
- |
|
|
|
- 2 |
|
2 |
|
|
|
|
ω
радиан/секунда
Условия для графиковаплитудного ифазового спектровфизическиреализуемыхчастот
Амплитудныйспектр |
ASp(f) := |
Ap(2π f) |
Фазовыйспектр |
ΦSp(f) := ϕp(2 π f) |
|||
f1 := |
1 |
R := 10 |
f := 0.01,0.01 + |
f1 |
..R f1 |
||
T |
100 |
||||||
|
|
|
|
|
volt * sec
rad
0.08 |
1 |
|
τ |
||
|
||
0.06 |
|
|
ASp(f)0.04 |
|
|
0.02 |
|
010
21
1 τ
ΦSp(f) 0
- 1
- 2
2 |
Um τ |
|
|
||
τ |
||
|
20 |
30 |
40 |
50 |
|
f |
|
|
2 |
|
|
π |
τ |
|
|
2 |
20 40
- π
2
f
Hz
_______________________________________________________________________________
Необходимо решитьзадачуизраннего примера наоснове теоремыо временномсдвиге P.s.сдвигсигналаравен умножениюв частотной области его спектральной функциина комплекснуюэкспонентуe^(-j*w*tc)
|
τ |
|
|
|
|
|
|
Величина сдвига |
tc:= 2 |
P1(t) := |
|
Um if - |
τ |
t |
τ |
|
|||||||
|
|
||||||
Четная функция сдвинутого сигнала |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
volt
|
|
0.8 |
|
|
|
P1(t) |
|
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
- 0.4 |
- 0.2 |
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
|
|
|
t |
|
|
sec
Спектральная функция будетвещественнойтаккакчетная функция (для нечетной - мнимая)
Спектральная функкция симметричногоотностительноначалакоординат
прямоугольного видеоимпульса |
Sa(z) := |
sin(z) |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
Спектральная функция сдвинутогосигнала |
Fp1(ω) := |
Um τ Sa |
ω τ |
||
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
Получаемнаоснове теоремыспетральнуюфункциюисходного импульса
Fp(ω) := Fp1(ω) e- j ω t
Fp(ω) := Fp1(ω) cos(ω tc) - j Fp1(ω) sin(ω tc)
Амплитудныйспектр |
Ap(ω) := |
Fp1(ω) |
или |
кореньотмодуля квадрата Fp(ω) |
||||||
|
|
|
|
|
|
где косинусы |
|
|||
Фазовыйспектр |
|
|
Mp(ω) |
|
после подстановки |
|
||||
ϕp(ω) := atan |
или |
ϕp(ω) := atan |
-sin(ω tc) |
|||||||
|
Dp(ω) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
cos(ω tc) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Условия для графиков
ω1 := 2Tπ
секунда |
Ap(ω) |
||
вольт * |
|||
|
|
||
|
|
- 200
R := 5 |
|
|
ω:= -R ω1,-Rω1 + |
ω1 |
..R ω1 |
|
|
|
|
250 |
|
- |
2 π |
0.1 |
2 π |
|
|
τ |
0.08 |
τ |
|
|
|
|
|
|
0.06
0.04
0.02
- |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
0 |
100 |
200 |
ω
радиан/секунда
радиан
|
|
2 |
2 π |
π |
|
|
|
||
|
|
1 |
τ |
2 |
|
|
|
|
|
ϕp(ω) - 200 |
- 100 |
0 |
100 |
200 |
|
|
- 1 |
|
π |
|
|
|
- |
|
|
|
- 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
радиан/секунда
Фазовыеспектрыполучилисьодинаковымино всеравно сделаемпроверку
Выражение фазоового спектра |
ϕp(ω) |
:= atan |
|
-1 |
sin(ω tc) |
|
|
||||
|
|
cos(ω tc) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Используя тригометрическое равенство |
α |
|
1 - cos(α) |
|
|
|
|||||
tan 2 |
= sin(α) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
при α=ωτ сводим квидураннейфазовойхарактеристики аименно |
|
||||||||||
|
|
ϕp(ω) := atan |
(cos(ω τ) - 1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sin(ω τ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
что эквивалетнтно |
ϕp(ω) := atan(-atan(ω tc)) |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
Линейная формапредставления фазовогоспетра |
|
ϕp(ω) := -ω tc |
|
радиан
ϕp(ω) - 200
10
5
- 100 |
0 |
100 |
200 |
- 5
- 10
ω
радиан/секунда
______________________________________________________________________________
Необходимо найтивидсиглана U(t)который вчастнотной областиимеет Равномерный спектр приследующихпараметрах
Плотностьамплитуд H:= 0.5 volt sec |
Частота срезаспектра |
ωc := 5 sec |
||||||||||
Его математическое представление |
|
Au(ω) := |
|
H |
if |
-ωc ω ωc |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
otherwise |
|
|
Еще сигналимеетлинейный спектр фаз |
при параметре |
t0 := 2 sec |
||||||||||
Иегоматпредставление |
ϕu(ω) := |
|
(-ω t0) |
if -ωc ω ωc |
|
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 otherwise |
|
|
|
||
Условия для графиковчастоныххарактеристик |
|
|
|
|
|
|||||||
W := 10 |
ω:= -W,-W + |
|
W |
|
..W |
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
volt * sec
|
|
- ωc |
0.8 |
|
|
|
ωc |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0.6 |
|
|
|
|||
Au(ω) |
|
|
|
|
H |
|||
|
|
|
|
|||||
0.4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 10 |
0 |
10 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ω |
rad / sec
rad
ϕu(ω) -10
20
10
- 10 |
0 |
10 |
- 20 |
|
|
ω
rad / sec
Спектральная функия сигналаU(t)вэкспоненциальной форме |
|
|||||||||||
НаходимвидсигналаобратнымпреобразованиемФурье его |
Fu(ω) := Au(ω) ej ϕu(ω) |
|||||||||||
|
1 |
|
ωc |
|
- j ω t0 |
j ω t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(t) := 2 π |
|
H e |
|
e |
|
dω |
|
||||
|
- ωc |
|
|
|
||||||||
После регения |
U(t) := H |
sin[ωc (-t + t0)] |
|
|
|
|||||||
|
[π (-t + t0)] |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Записьрешения вкомпактной форме послеумножения числителя и знаменателя на |
||||||||||||
ωсиопределения функции отчетов |
|
Sa(z) := |
sin(z) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
Конечный результат |
|
U(t) := |
H ωc Sa[ωc (t - t0)] |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия для графика |
|
|
|
T |
||
T := 5 |
t := -0.4 T,-0.4 T + |
400 ..1.1 T |
||||
|
|
|||||
|
|
0.8 |
|
|
H ωc |
|
|
|
t0 |
|
π |
||
|
|
|
|
|||
|
|
0.6 |
|
|
|
|
volt |
U(t) |
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0.2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
- 2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
|
|
- 0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
sec |
|