16.Волновая оптика
.doc§ 16. Волновая оптика
По принципу Доплера, частота – света, воспринимаемая регистрирующим прибором, связана с частотой , посылаемой источником света, соотношением
,
где v – скорость регистрирующего прибора относительно источника, с – скорость распространения света. Положительное значение v соответствует удалению источника света. При v<<с предыдущую формулу приближенно можно представить в виде
.
Расстояние между интерференционными полосами на экране, расположенном параллельно двум когерентным источникам света, равно
,
где – длина волны света, L – расстояние от экрана до источников света, отстоящих друг от друга на расстоянии d; (при этом L>>d).
Результат интерференции света в плоскопараллельных пластинках (в проходящем свете) определяется формулами:
усиление света
,
ослабление света
,
где h – толщина пластинки, n – показатель преломления, r – угол преломления, – длина волны света. В отраженном свете условия усиления и ослабления света обратны условиям в проходящем свете.
Радиусы светлых колец Ньютона (в проходящем свете) определяются формулой
,
радиусы темных колец
где R – радиус кривизны линзы. В отраженном свете расположение светлых и темных колец обратно их расположению в проходящем свете.
Положение минимумов освещенности при дифракции от щели, на которую нормально падает пучок параллельных лучей, определяется условием
,
где – ширина щели, – угол дифракции и – длина волны падающего света.
В дифракционной решетке максимумы света наблюдаются в направлениях, составляющих с нормалью к решетке угол , удовлетворяющий следующему соотношению (при условии, что свет падает на решетку нормально):
,
где d – постоянная решетка, – угол дифракции, – длина волны и k – порядок спектра. Постоянная или период, решетки , где – число щелей решетки, приходящееся на единицу длины решетки.
Разрешающая способность дифракционной решетки определяется формулой
,
где – общее число щелей решетки, k – порядок спектра, и – длины волн двух близких спектральных линий, еще разрешаемых решеткой.
Угловой дисперсией дифракционной решетки называется величина
.
Линейной дисперсией дифракционной решетки называется величина, численно равная
,
где F – фокусное расстояние линзы, проектирующей спектр на экран.
При отражении естественного света от диэлектрического зеркала имеют место формулы Френеля:
, ,
где – интенсивность световых колебаний в отраженном луче, совершающихся в направлении, перпендикулярном к плоскости падения света; – интенсивность световых колебаний в отраженном луче, совершающихся в направлении, параллельном плоскости падения света; – интенсивность падающего естественного света, – угол падения и r – угол преломления.
Если , то =0. В этом случае угол падения и показатель преломления n диэлектрического зеркала связаны соотношением
(закон Брюстера).
Интенсивность света, прошедшего через поляризатор и анализатор
, (закон Малюса)
где – угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора, – интенсивность света, прошедшего через поляризатор.
16.1. При фотографировании спектра Солнца было найдено, что желтая спектральная линия (λ=589 нм) в спектрах, полученных от левого и правого краев Солнца, была смещена на Δλ=0,008 нм. Найти скорость v вращения солнечного диска. []
16.2. Какая разность потенциалов U была приложена между электродами гелиевой разрядной трубки, если при наблюдении вдоль пучка α-частиц максимальное доплеровское смещение линии гелия (λ=492,2 нм) получилось равным Δλ=0,8 нм? []
16.3. При фотографировании спектра звезды ε Андромеды было найдено, что линия титана (λ=495,4 нм) смещена к фиолетовому концу спектра на Δλ=0,17 нм. Как движется звезда относительно Земли? []
16.4.* Найти число полос интерференции, получающихся с помощью бипризмы, если показатель преломления ее п, преломляющий угол α, длина волны источника λ. Расстояние от источника света до бипризмы равно а, а расстояние от бипризмы до экрана b. []
16.5. В опыте Юнга отверстия освещались монохроматическим светом (λ=600 нм). Расстояние между отверстиями d=1 мм, расстояние от отверстий до экрана L=3 м. Найти положение трех первых светлых полос. []
16.6. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между мнимыми изображениями источника света d=0,5 мм, расстояние до экрана L=5 м. В зеленом свете получились интерференционные полосы, расположенные на расстоянии l=5 мм друг от друга. Найти длину волны λ зеленого света. []
16.7. В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей помещалась тонкая стеклянная пластинка, вследствие чего центральная светлая полоса смещалась в положение, первоначально занятое пятой светлой полосой (не считая центральной). Луч падает перпендикулярно к поверхности пластинки. Показатель преломления пластинки п=1,5. Длина волны λ=600 нм. Какова толщина h пластинки? []
16.8. В опыте Юнга стеклянная пластинка толщиной h=12 см помещается на пути одного из интерферирующих лучей перпендикулярно к лучу. На сколько могут отличаться друг от друга показатели преломления в различных местах пластинки, чтобы изменение разности хода от этой неоднородности не превышало Δ=1 мкм? []
16.9. На мыльную пленку падает белый свет под углом i=45° к поверхности пленки. При какой неизменной толщине h пленки отраженные лучи будут окрашены в желтый цвет (λ=600 нм)? Показатель преломления мыльной воды п=1,33. []
16.10. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует клин вследствие стекания жидкости. При наблюдении интерференции полос в отраженном свете ртутной дуги (λ=546,1 нм) оказалось, что расстояние между пятью полосами l=2 см. Найти угол γ клина. Свет падает перпендикулярно к поверхности пленки. Показатель преломления мыльной воды п=1,33. []
16.11. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует клин вследствие стекания жидкости. Интерференция наблюдается в отраженном свете через красное стекло (λ1=631 нм). Расстояние между соседними красными полосами при этом l1=3 мм. Затем эта же пленка наблюдается через синее стекло (λ2=400 нм). Найти расстояние l2 между соседними синими полосами. Считать, что за время измерений форма пленки не изменяется и свет падает перпендикулярно к поверхности пленки. []
16.12. Пучок света (λ=582 нм) падает перпендикулярно к поверхности стеклянного клина. Угол клина γ=20". Какое число k0 темных интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Показатель преломления стекла п=1,5. []
16.13.* Тонкая пленка с показателем преломления 1,5 освещается светом с длиной волны λ=600 нм. При какой минимальной толщине пленки исчезнут интерференционные полосы? []
16.14. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R=8,6 м. Наблюдение ведется в отраженном свете. Измерениями установлено, что радиус четвертого темного кольца (считая центральное темное пятно за нулевое) r4=4,5 мм. Найти длину волны λ падающего света. []
16.15. Установка для получения колец Ньютона освещается белым светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R=5 м. Наблюдение ведется в проходящем свете. Найти радиусы rс и rкр четвертого синего кольца (λс=400 нм) и третьего красного кольца (λкр=630 нм). []
16.16. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R=15 м. Наблюдение ведется в отраженном свете. Расстояние между пятым и двадцать пятым светлыми кольцами Ньютона l=9 мм. Найти длину волны λ монохроматического света. []
16.17. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Наблюдение ведется в отраженном свете. Расстояние между вторым и двадцатым темными кольцами l1=4,8 мм. Найти расстояние l2 между третьим и шестнадцатым темными кольцами Ньютона. []
16.18. Установка для получения колец Ньютона освещается светом от ртутной дуги, падающим по нормали к поверхности пластинки. Наблюдение ведется в проходящем свете. Какое по порядку светлое кольцо, соответствующее линии λ1=579,1 нм, совпадает со следующим светлым кольцом, соответствующим линии λ2=577 нм? []
16.19. Установка для получения колец Ньютона освещается светом с длиной волны λ=589 нм, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R=10 м. Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью. Найти показатель преломления п жидкости, если радиус третьего светлого кольца в проходящем свете r3=3,65 мм. []
16.20. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны λ=600 нм, падающим по нормали к поверхности пластинки. Найти толщину h воздушного слоя между линзой и стеклянной пластинкой в том месте, где наблюдается четвертое темное кольцо в отраженном свете. []
16.21.* Найти радиус r центрального темного пятна колец Ньютона, если между линзой и пластинкой налит бензол (п=1,5). Радиус кривизны линзы R=1 м. Показатели преломления линзы и пластинки одинаковы. Наблюдение ведется в отраженном свете с длиной волны λ=5890 Å. []
16.22. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. После того как пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнили жидкостью, радиусы темных колец в отраженном свете уменьшились в 1,25 раза. Найти показатель преломления п жидкости. []
16.23. В опыте с интерферометром Майкельсона для смещения : интерференционной картины на k=500 полос потребовалось переместить зеркало на расстояние L=0,161 мм. Найти длину волны λ падающего света. []
16.24. Для измерения показателя преломления аммиака в одно из плечей интерферометра Майкельсона поместили откачанную трубку длиной l=14 см. Концы трубки закрыли плоскопараллельными стеклами. При заполнении трубки аммиаком интерференционная картина для длины волны λ=590 нм сместилась на k=180 полос. Найти показатель преломления п аммиака. []
16.25. На пути одного из лучей интерферометра Жамена (рис. 128) поместили трубку длиной l=10 см. При заполнении трубки хлором интерференционная картина для длины волны λ=590 нм сместилась на k=131 полосу. Найти показатель преломления п хлора. []
16.26. Пучок белого света падает по нормали к поверхности стеклянной пластинки толщиной d=0,4 мкм. Показатель преломления стекла п=1,5. Какие длины волн λ, лежащие в пределах видимого спектра (от 400 до 700 нм), усиливаются в отраженном свете? []
16.27. На поверхность стеклянного объектива (n1=1,5) нанесена тонкая пленка, показатель преломления которой n2=1,2 («просветляющая» пленка). При какой наименьшей толщине d этой пленки произойдет максимальное ослабление отраженного света в средней части видимого спектра? []
16.28.* Однослойное оптическое покрытие снижает до нуля отражение света с λ=550 нм. Во сколько раз снижает отражение то же покрытие при λ=450 нм и λ=700 нм по сравнению со случаем, когда покрытие отсутствует? []
16.29. Найти радиусы первых пяти зон Френеля, если расстояние от источника света до волновой поверхности a=1 м, расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения b=1 м. Длина волны света λ=500 нм. []
16.30. Найти радиусы rk первых пяти зон Френеля для плоской волны, если расстояние от волновой поверхности до источника наблюдения b=1 м. Длина волны света λ=500 нм. []
16.31. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии от точечного источника монохроматического света (λ=600 нм). На расстоянии а=0,5 от источника помещена круглая непрозрачная преграда диаметром D=1 см. Найти расстояние l, если преграда закрывает только центральную зону Френеля. []
16.32. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии l=4 м от точечного источника монохроматического света (λ=500 нм). Посередине между экраном и источником света помещена диафрагма с круглым отверстием. При каком радиусе R отверстия центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет наиболее темным? []
16.33. На диафрагму с диаметром отверстия D=1,96 мм падает нормально параллельный пучок монохроматического света (λ=600 нм). При каком наибольшем расстоянии lI между диафрагмой и экраном в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно? []
16.34.* Диск из стекла с показателем преломления п (для длины волны λ) закрывает полторы зоны Френеля для точки наблюдения А. При какой толщине диска b освещенность в А будет наибольшей? []
16.35.* Какова интенсивность I в фокусе зонной пластинки, если закрыты все зоны, кроме первой? Интенсивность света без пластинки I0. []
16.36. На щель шириной а=6λ падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ. Под каким углом φ будет наблюдаться третий дифракционный минимум света? []
16.37.* На узкую щель нормально падает параллельный пучок монохроматического света. Определить относительную интенсивность вторичных максимумов. []
16.38. Какое число N0штрихов на единицу длины имеет дифракционная решетка, если зеленая линия ртути (λ=546,1 нм) в спектре первого порядка наблюдается под углом φ=19°8'? []
16.39. На дифракционную решетку нормально падает пучок света. Натриевая линия (λ1=589 нм) дает в спектре первого порядка угол дифракции φ1=17°8'. Некоторая линия дает в спектре второго порядка угол дифракции φ2=24°12'. Найти длину волны λ2 этой линии и число штрихов N0 на единицу длины решетки. []
16.40. На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки. Какова должна быть постоянная d дифракционной решетки, чтобы в направлении φ=41° совпадали максимумы линий λ1=656,3 нм и λ2=410,2 нм? []
16.41. На дифракционную решетку нормально падает пучок света. При повороте трубы гониометра на угол φ в поле зрения видна линия λ1=440 нм в спектре третьего порядка. Будут ли видны под этим же углом φ другие спектральные линии λ2, соответствующие длинам волн в пределах видимого спектра (от 400 до 700 нм)? []
16.42. На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки, наполненной гелием. На какую линию λ2 в спектре третьего порядка накладывается красная линия гелия (λ1=670 нм) спектра второго порядка? []
16.43. На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки, наполненной гелием. Сначала зрительная труба устанавливается на фиолетовые линии (λф=389 нм) по обе стороны от центральной полосы в спектре первого порядка. Отсчеты по лимбу вправо от нулевого деления дали φф1=27°33' и φф2=36°27'. После этого зрительная труба устанавливается на красные линии по обе стороны от центральной полосы в спектре первого порядка. Отсчеты по лимбу вправо от нулевого деления дали соответственно φкр1=23°54' и φкр2=40°6'. Найти длину волны λкр красной линии спектра гелия. []
16.44. Найти наибольший порядок k спектра для желтой линии натрия (λ=589 нм), если постоянная дифракционной решетки d=2 мкм. []
16.45. На дифракционную решетку нормально падает пучок монохроматического света. Максимум третьего порядка наблюдается под углом φ=36°48' к нормали. Найти постоянную d решетки, выраженную в длинах волн падающего света. []
16.46.* Монохроматический свет падает на прозрачную дифракционную решетку под углом θ к нормали. Постоянная решетки d. Определить соотношение для дифракционных максимумов. []
16.47.* Дифракционная решетка с 5500 штрих/см имеет ширину 3,6 см. На решетку падает свет с длиной волны 624 нм. На сколько могут различаться две длины волны, если их надо разрешить в любом порядке? В каком порядке достигается наилучшее разрешение? []
16.48. Какова должна быть постоянная d дифракционной решетки, чтобы в первом порядке были разрешены линии спектра калия λ1=404,4 нм и λ2=404,7 нм? Ширина решетки а=3 см. []
16.49. Какова должна быть постоянная d дифракционной решетки, чтобы в первом порядке был разрешен дублет натрия λ1=589 нм и λ2=589,6 нм? Ширина решетки а=2,5 см. []
16.50. Постоянная дифракционной решетки 2 мкм. Какую разность длин волн Δλ может разрешить эта решетка в области желтых лучей (λ=600 нм) в спектре второго порядка? Ширина решетки а=2,5 см. []
16.51. Постоянная дифракционной решетки d=2,5 мкм. Найти угловую дисперсию dφ/dλ решетки для λ=589 нм в спектре первого порядка. []
16.52. Угловая дисперсия дифракционной решетки для λ=668 нм в спектре первого порядка dφ/dλ=2,02.105 рад/м. Найти период d дифракционной решетки. []
16.53. Найти линейную дисперсию D дифракционной решетки в условиях предыдущей задачи, если фокусное расстояние линзы, проектирующей спектр на экран, равно F=40 см. []
16.54. На каком расстоянии l друг от друга будут находиться на экране две линии ртутной дуги (λ1=577 нм и λ2=579,1 нм) в спектре первого порядка, полученном при помощи дифракционной решетки? Фокусное расстояние линзы, проектирующей спектр на экран, F=0,6m. Постоянная решетки d=2 мкм. []
16.55. На дифракционную решетку нормально падает пучок света. Красная линия (λ1=630 нм) видна в спектре третьего порядка под углом φ=60°. Какая спектральная линия λ2 видна под этим же углом в спектре четвертого порядка? Какое число штрихов N0 на единицу длины имеет дифракционная решетка? Найти угловую дисперсию dφ/dλ этой решетки для длины волны λ1=630 нм в спектре третьего порядка. []
16.56.* Найти условие равенства нулю интенсивности т-го максимума для дифракционной решетки с периодом d и шириной щели b. []
16.57. Какое фокусное расстояние F должна иметь линза, проектирующая на экран спектр, полученный при помощи дифракционной решетки, чтобы расстояние между двумя линиями калия λ1=404,4 нм и λ2=404,7 нм в спектре первого порядка было равно l=0,1 мм? Постоянная решетки d=2 мкм. []
16.58. Найти угол iБ полной поляризации при отражении света от стекла, показатель преломления которого п=1,57. []
16.59. Предельный угол полного внутреннего отражения для некоторого вещества i=45°. Найти для этого вещества угол iБ полной поляризации. []
16.60. Под каким углом iБ к горизонту должно находиться Солнце, чтобы его лучи, отраженные от поверхности озера, были наиболее полно поляризованы? []
16.61. Найти показатель преломления п стекла, если при отражении от него света отраженный луч будет полностью поляризован при угле преломления β=30°. []
16.62. Луч света проходит через жидкость, налитую в стеклянный (п=1,5) сосуд, и отражается от дна. Отраженный луч полностью поляризован при падении его на дно сосуда под углом iБ=42°37'. Найти показатель преломления п жидкости. Под каким углом i должен падать на дно сосуда луч света, идущий в этой жидкости, чтобы наступило полное внутреннее отражение? []
16.63. Пучок плоскополяризованного света (λ=589 нм) падает на пластинку исландского шпата перпендикулярно к его оптической оси. Найти длины волн λo и λе обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле, если показатели преломления исландского шпата для обыкновенного и для необыкновенного лучей равны пo=1,66 и пе=1,49. []
16.64. Найти угол φ между главными плоскостями поляризатора и анализатора, если интенсивность естественного света, проходящего через поляризатор и анализатор, уменьшается в 4 раза. []
16.65. Естественный свет проходит через поляризатор и анализатор, поставленные так, что угол между их главными плоскостями равен φ. Как поляризатор, так и анализатор поглощают и отражают 8 % падающего на них света. Оказалось, что интенсивность луча, вышедшего из анализатора, равна 9 % интенсивности естественного света, падающего на поляризатор. Найти угол φ. []
16.66. Найти коэффициент отражения р естественного света, падающего на стекло (п=1,54) под углом iБ полной поляризациям Найти степень поляризации Р лучей, прошедших в стекло. []
16.67.* Стопа Столетова состоит из десяти тонких плоскопараллельных стеклянных пластинок, на которые луч падает под углом полной поляризации. Вычислить степень поляризации преломленного луча в зависимости от числа N пройденных им пластинок (п=1,5). Падающий свет естественный. []
16.68. Найти коэффициент отражения р и степень поляризации P1 отраженных лучей при падении естественного света на стекло (п=1,5) под углом i=45°. Какова степень поляризации P2 преломленных лучей? []