Контрольная работа / Контрольная работа по теоретической механике(Вариант С)
.docxЗадание Статика, вариант С.
Равновесие вала
Горизонтальный вал весом G=20Н может вращаться в цилиндрических шарнирах A и B. К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F=0,3N. На шкив 2 действуют силы натяжения ремней T1=40Н и T2=24Н. Груз Q=10Н висит на нити, навитой на шкив 3. Определить силу давления N и реакции шарниров в условии равновесия вала. Учесть веса шкивов P1=44Н, P2=30Н, P3=38Н. Все нагрузки действуют в вертикальной плоскости (см. рис. 1). Размеры вала а=24см; b=25см; c=28см; d=27см. Размеры шкивов R1=16см, R2=10см, R3=12см. Угол наклона ⍺=600.
Рисунок 1 – Исходная схема нагрузки вала
Решение.
1. Вал в пространстве вращается равномерно. Равновесие системы обеспечивает сила . Нанесем вес шкивов , и , численные значения длин. Вал вращается на двух цилиндрических опорах (подшипниках) в точках А и В. В обеих опорах будет по две составляющие реакции вдоль осей х и z (см. рис. 2). Пусть направление составляющих реакций совпадает с положительным направлением осей. Уточнять направление реакций будем после решения уравнений.
,,
Рисунок 2 – Расчетная схема нагрузки вала к определению неизвестных усилий
Имеем 5 неизвестных: сила и 4 реакции, составим 5 уравнений равновесия:
Решаем относительно искомых неизвестных:
Действительное направление реакций совпадают с предложенным направлением на расчетной схеме, кроме . Изменим ее направление на противоположное (см. рис. 2).
Ответы;
Кинематика. Задача 3, вариант С.
КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Материальная точка движется в плоскости ху. Закон движения точки задан уравнениями: и , где х и у в см. t в секундах.
Найти уравнение траектории точки (изобразить траекторию на чертеже). Для момента времени t1=2 c определить: 1) скорость точки, 2) ускорение точки, 3) касательное ускорение точки, 4) нормальное ускорение точки, 5) радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Решение.
1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, то выделим из обоих уравнений квадраты функций и сложим левые и правые части уравнений:
__________________
Преобразуем уравнение и получим:
Траектория прямая линия. Чтобы построить прямую линию достаточно иметь координаты двух точек. Определим точки пересечения прямой линии с осями координат и построим траекторию движения точки (см. рис. 3):
- пересечение линии с осью х:
- пересечение линии с осью у:
Рисунок 3 – К определению абсолютной скорости и абсолютного ускорения и других кинематических параметров точки в заданный момент времени
2. Определим положение материальной точки на траектории в момент времени t1 = с и построим его (см. рис. 3).
3. Определим абсолютную скорость точку в рассматриваемый момент времени.
3.1. Определим составляющую скорости вдоль оси х, как первую производную координаты х по времени:
В заданный момент времени:
Направление вектора совпадает с положительным направлением оси х.
3.2. Определим составляющую скорости вдоль оси у, как первую производную координаты у по времени:
В заданный момент времени:
Направление вектора совпадает с положительным направлением оси у.
3.3. Абсолютная скорость точки в заданный момент времени определим на основании теоремы Пифагора:
Направление вектора абсолютной скорости определим по правилу параллелограмма (см. рис. 3). Проверка: абсолютная скорость точки при прямолинейном движении должна быть направлена вдоль прямолинейной траектории.
4. Определим абсолютное ускорение точки в рассматриваемый момент времени.
4.1. Определим составляющую ускорения вдоль оси х, как первую производную скорости по времени:
В заданный момент времени:
Направление вектора не совпадает с положительным направлением оси х.
4.2. Определим составляющую скорости вдоль оси у, как первую производную координаты у по времени:
В заданный момент времени:
Направление вектора не совпадает с положительным направлением оси y.
4.3. Модуль абсолютного ускорения точки в заданный момент времени определим на основании теоремы Пифагора:
Направление вектора абсолютного ускорения определим по правилу параллелограмма (см. рис. 3). Проверка: абсолютное ускорение точки при прямолинейном движении должна быть направлена вдоль прямолинейной траектории.
4.4. Определим модуль касательного ускорения по формуле:
Направление вектора касательного ускорения прямолинейного движения совпадает с на линию действия абсолютной скорости (см. рис. 3), но направлению скорости противоположно – движение замедленное.
4.5. Определим модуль нормального ускорения по формуле:
5. Определим радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке траектории:
Действительно – траектория движения прямая линия.
Кинематика. Задача 4, вариант С.
Точка М движется в направляющей трубке АВ по закону . В начальный момент времени положение точки М совпадает с точкой О. Положение точки М на рисунке 4 соответствует положительному значению координаты s. Трубка АВ совершает вращательное движение по закону , положительное направление вращения см. рис. 4.
Рисунок 4 - Исходная схема сложного движения точки М
Для момента времени t=t1=1c определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.
Решение.
1.1. Выделим каждое движение и дадим наименование.
- трубка АВ для движения материальной точки М связана с подвижной системой отсчета. Движение точки М относительно подвижной системы отсчета называется относительным. Все параметры, связанные с этим движением будут отмечаться индексом r;
- ось вращающегося О1О2 круга, с расположенной на нем трубкой АВ, связана с неподвижной системой отсчета. Их движение относительно неподвижной системы отсчета называется переносным. Все параметры, связанные с этим движением будут отмечаться индексом е;
- движение материальной точки М относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным. Все параметры, связанные с этим движением будут отмечаться индексом а.
2. Определим положение точки М в заданный момент времени.
2.1. Выделим относительное и переносное движение.
- будем считать, что в заданный момент времени переносное движение (плоскость круга) совпадает с плоскостью чертежа.
- движение точки М по трубке АВ – относительное движение. Определим длину дуги ОМ, пройденную точкой М за время t1=1c:
2.2. Выполним расчётную схему с уточненным положением точки М в трубке для последующего нанесения скоростей или ускорений (см. рис. 5). Координата ОМ увеличивается, так как получили .
Рисунок 5 – Определение абсолютной скорости точки М
3. Определим абсолютную скорость точки М, как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей.
+
3.1. Определим относительную скорость:
- модуль относительной скорости определим как первую производную перемещения по времени:
-направление в направлении увеличения координаты ОМ
3.2. Определим переносную скорость:
- модуль переносной скорости точки М определим через переносную угловую скорость тела D, которую определим как первую производную угла поворота по времени:
-так как величина , то направление вращения совпадает с направлением увеличения угла поворота .
- модуль переносной скорости точки М определим по формуле:
где – радиус переносного движения (см. рис. 5), измеряется, как расстояние от точки М до оси вращения О1О2 и численно равен:
Вектор направлен в сторону вращения , перпендикулярно плоскости чертежа.
3.3. Определим абсолютную скорость точки М по теореме Пифагора. Угол между скоростями 900, потому что вектор лежит в плоскости чертежа, а вектор перпендикулярен чертежу.
Направление вектора абсолютной скорости по правилу параллелограмма (см. рис. 5).
3. Определим абсолютное ускорение точки М, как геометрическую сумму относительного, переносного ускорения и ускорения Кориолиса (см. рис. 6).
Рисунок 6 – Определение абсолютного ускорения точки М
3.1. Определим относительное ускорение. Так как относительное движение прямолинейное, определим его, как первую производную относительно скорости по времени:
от времени не зависит;
-направление вектора совпадает с направлением скорости так как имеют одинаковые знаки.
3.2. Определим переносное ускорение.
Так как переносное движение вращательное, имеет две составляющие – вращательную и центробежную.
-модуль вращательной составляющей ускорения определим через переносное угловое ускорение, которое определим, как первую производную угловой скорости по времени:
в рассматриваемый момент времени:
-так как величина , то направление вращения совпадает с направлением вращения ;
- модуль переносного вращательного ускорения точки М определим по формуле:
- направление вектора совпадает с направлением , так как имеют одинаковые знаки.
-центробежная составляющая ускорения по величине:
- направление по радиусу Re от точки М к оси вращения.
3.3. Ускорение Кориолиса:
- модуль определим по формуле:
Так как направлена вдоль оси вращения переносного движения по О1О2 вверх, а направлена к точке А, вверх, по прямой АВ, составляющей с осью вращения угол 300. Значит, . Тогда
- направление вектора ускорения Кориолиса по правилу Н. Е. Жуковского (см. рис. 7):
Рисунок 7 – Правило Н. Е. Жуковского для определения направления ускорения Кориолиса
3.4. Определим абсолютное ускорение точки М методом проекций. Для этого построим оси координат xyz и далее по теореме Пифагора.
Задача 6, вариант С.
Шарик массы m=0,6кг движется из положения А внутри изогнутой трубки, расположенной в вертикальной плоскости (см. рис. 8). Шарик, пройдя путь lо=20см, отделяется от пружины. В точке В шарик, не меняя своей скорости, переходит на участок ВС, где на него дополнительно действует сила =0. (направление указано на рис. 8). Пользуясь общими уравнениями динамики, определить скорость точки в положениях B и С.
Рисунок 8 – Заданная схема движения шарика
Исходные данные: начальная скорость шарика VA=0;
длина участка АВ=0,5м;
время движения на участке ВС τ=1,2с;
коэффициент трения скольжения f=0,12;
коэффициент жесткости пружины с=1,9Н/см;
угол наклона трубки ⍺=450.
Решение.
1. Составим расчетную схему.
1.1. Добавим точку D – отделение шарика от пружины.
1.2. Рассмотрим действующие на шарик силы при его движении на участке АD: силы , и тр; упр (см. рис. 9). Известна длина участка АD, равная l0.
Для решения используем теорему об изменении кинетической энергии:
где – сумма работ сил, действующих на рассматриваемом участке.
Рисунок 9 – Расчетная схема к определению искомых величин
– так как эта сила не совершает работу – перпендикулярна к направлению движения шарика.
- работа силы тяжести при изменении высоты на величину h, которая равна:
– работа силы трения.
– работа силы упругости пружины.
Подставим все в теорему об изменении кинетической энергии
или
2. Составим расчетную схему с нанесением всем действующих сил , и тр при движении шарика на участке DB (см. рис. 9). На участке DВ известна длина участка, равная АВ-l0=0,5-0,2=0,3м.
Для решения используем теорему об изменении кинетической энергии:
где – сумма работ сил, действующих на рассматриваемом участке.
– так как эта сила не совершает работу – перпендикулярна к направлению движения шарика.
- работа силы тяжести при изменении высоты на величину h2, которая равна:
– работа силы трения.
Подставим все в теорему об изменении кинетической энергии:
или
3. Составим расчетную схему с нанесением всем действующих сил , и тр при для движении шарика на участке BС (см. рис. 9).
Для решения используем теорему об изменении количества движения:
где – сумма импульсов всех сил, действующих на шарик при движении на участке BС.
Рассмотрим импульсы трех действующих сил в проекции:
Подставим в теорему об изменении количества движения:
или
Подставим значения и определим скорость в точке С: