Лекции

Это эпюра избыточного давления. Тогда для всей стенки сила давления вычисляется по формуле

Тут следует отметить, что точка приложения этой силы (центр давления) соответствует центру тяжести треугольной эпюры, т.е. находится на расстоянии от верха стенки, где – ее длина.

Что касается криволинейных поверхностей, то их можно разбить на ряд плоских участков (см. рисунок).

Пусть теперь в жидкость погружено некоторое тело

Давление на него можно вычислить по формуле

где – объем тела. Это так называемый закон Архимеда. Сила называется поддерживающей или архимедовой силой; она стремится вытолкнуть тело из жидкости и направлена снизу вверх.

На законе Архимеда основан принцип плавания тел как в погруженном состоянии (подводные лодки), так и в полупогруженном (плавающие суда).

Объем жидкости, вытесненный плавающим телом, называется объемным водоизмещением. Линия действия поддерживающей силы проходит через центр тяжести вытесненного объема жидкости, который называется центром водоизмещения или центром давления Т. В общем случае Т не совпадает с центром тяжести С. Оба центра расположены на вертикальной оси – оси плавания. Если mg>R, то тело тонет, если mg<R, то оно всплывает, и, наконец, если mg=R, то это безразличное состояние, находясь в котором тело плавает на любой глубине. Плоскость свободной поверхности жидкости, пересекающая плавающее тело – плоскость плавания. Периметр сечения тела по плоскости плавания называется ватерлинией.

Под плавучестью тела понимают его способность плавать при заданном весе; мерой плавучести является водоизмещение. Плавающее тело должно обладать запасом плавучести; этот запас – допустимая перегрузка тела, при котором оно еще не идет ко дну. Запас плавучести зависит от высоты надводного борта.

Для равновесия плавающего тела необходимо, чтобы не только силы, но и моменты сил, действующих на него, находились в равновесии. Поэтому вводится понятие остойчивости плавающего тела. Это означает, что в случае крена тело вновь принимает нормальное положение, как только силы, вызвавшие крен, прекращают свое действие.

При крене центр водоизмещения смещается, т.к. меняется объем воды, вытесненной телом. Создается пара сил. Тело обладает остойчивостью, если эта пара сил стремится вернуть тело в первоначальное положение. Это происходит всегда, если центр водоизмещения находится выше центра тяжести.

Если же центр водоизмещения находится ниже центра тяжести, возможны следующие варианты.

1. Устойчивое равновесие. Линия действия силы пересекает ось плавания в точке, расположенной выше центра тяжести. Точка при этом правее точки С.

2. Неустойчивое равновесие. Линия действия выталкивающей силы пересекает ось плавания ниже центра тяжести, точка левее точки С. Тогда возникшая пара сил стремится опрокинуть тело.

Рассмотрим приложение гидростатического уравнения при равновесии жидкостей в сообщающихся сосудах.

Пусть два сообщающихся сосуда наполнены двумя несмешивающимися жидкостями с объемными весами , . Давление на свободную поверхность одно и то же ( ), линия раздела жидкостей – горизонтальная линия АВ. Можно вычислить давление в точке М. Т.к. оно с обеих сторон одинаково, то

Т.е. высоты жидкостей над плоскостью раздела в сообщающихся сосудах обратно пропорциональны их объемным весам или плотностям. Если в сообщающихся сосудах одна жидкость, то

Идеи Архимеда были развиты Паскалем. На законе Паскаля основано устройство гидравлического пресса. Пусть два сообщающихся сосуда имеют разные диаметры поршней (см. рисунок).

Площади поршней , . Если на малый поршень будет действовать сила ,

то она передастся каждой точке нижней поверхности большего поршня. А т.к. его площадь больше, то и сила будет больше.

Этот принцип позволяет получать большие силы.

Следствием гидростатического уравнения является также гидростатический парадокс: давление одной и той же жидкости на равновеликие днища сосудов одинаково и не зависит от формы сосудов, а только от высоты столба жидкости.

жидкость нетеплопроводна и течение установившееся. При установившемся движении элементарные струйки жидкости обладают следующими свойствами:

1). каждая из линий тока и вся струйка имеют не изменяющуюся во времени

форму;

2). поверхность струйки, образованная из линий тока, заключена как бы в весьма тонкие жесткие стенки (и не проникает в окружающую ее жидкость);

3). скорости во всех точках данного поперечного сечения струйки одинаковы. При этих условиях, как было выведено ранее, мы имеем следующую систему уравнений, описывающих движение жидкости: уравнение неразрывности, уравнение движения идеальной жидкости и закон сохранения энергии идеальной нетеплопроводной жидкости.

Разделим уравнение движения на плотность и умножим полученное выражение скалярно на элементарное перемещение . Получим

Рассмотрим по очереди каждое из скалярных произведений.

Попытаемся использовать другие уравнения системы. Как известно из свойств дифференциалов

Это так называемая первая форма интеграла Бернулли. Частным случаем этой

Таким образом,

Это так называемая вторая форма интеграла Бернулли. Частным случаем этой формулы является случай идеального газа, для которого верна адиабата Пуассона и, следовательно

Тогда

Если же движение жидкости неустановившееся, то можно провести частичное интегрирование системы уравнений другим путем. Сделаем ряд предположений. Пусть поле скоростей жидкости потенциально, т.е. . Пусть также

Кроме того, воспользуемся формулой из векторного анализа. Можно доказать, что

Предположим, что течение жидкости безвихревое, тогда последнее слагаемое приведенной выше формулы обратится в ноль. Как известно, уравнение движения идеальной жидкости можно записать в виде

или в проекции на оси координат

Следовательно,

произвольная функция от времени, имеющая в каждый момент времени определенное значение для всех точек жидкой среды и с течением времени изменяющаяся для всех

точек системы. Из-за сложности определения применение интеграла Лагранжа – Коши затруднено и исследование неустановившегося движения тоже.

Примеры решения задач.

Задача 1. Задача об истечении жидкости из сосуда через малое отверстие. Найти скорость истечения жидкости из сосуда через малое отверстие площадью s, если площадь поверхности жидкости S, начальная высота столба жидкости H.

Решение. Считаем жидкость несжимаемой. Если , то течение жидкости можно считать установившимся. Следовательно, для точек А и В можем применить интеграл Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости и приравнять в этих точках следующие значения

Поскольку точка А находится на высоте H, а точка В на нулевой высоте, то

Осталось решить вопрос со скоростями , . Запишем условие постоянства расхода жидкости, т.е. условие того, что сколько жидкости вытекло снизу, на столько уменьшилось ее количество сверху.

Подставив все приведенные формулы в интеграл Бернулли, получим

Таким образом

и называют формулой Торричелли.

Задача 2. Из резервуара с постоянным напором H=4 м через трубопровод вытекает вода. Определить расход Q, если d=5 см.

Решение. По формуле Торричелли можем вычислить скорость истечения воды:

Легко также вычислить площадь отверстия, из которого вода вытекает

Следовательно, расход воды

Задача 3. Определить, как изменяется давление в зависимости от скорости течения жидкости в сужающейся трубе.

Решение. Условие постоянства расхода жидкости, очевидно, дает нам следующее равенство

Если , то

Запишем теперь интеграл Бернулли для несжимаемой жидкости, приравняв значения для двух частиц, находящихся на одной высоте.

Значит, в узком сечении трубы давление будет меньше, чем в широком.

14. Вихревые движения идеальной жидкости.

Ранее мы ввели понятие вихря, вихревой линии и вихревой трубки. Рассмотрим теперь вихревые движения более подробно. Как известно, циркуляция скорости по замкнутому контуру L определяется следующим образом

Можно доказать, что

Рассмотрим теперь уравнение движения жидкости

Следовательно,

Теорема Томсона. Если объемные силы допускают потенциал, а идеальная жидкость баротропна, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру во все время движения жидкости остается неизменной.

Следствием этой теоремы является теорема Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Пусть жидкость идеальна, баротропна и объемные силы имеют потенциал. Тогда если в начальный момент времени в некоторой части жидкости не имелось вихрей, то их не было раньше и не будет позже в этой части жидкости.

Образование вихрей. Пусть теперь жидкость не является баротропной. Тогда

т.к. первое слагаемое в формуле, очевидно, равно нулю. Это уравнение, определяющее изменение циркуляции, было установлено В. Бьеркнесом. При рассмотрении этого

объемом. Также в этом случае удобно рассматривать поверхности

которые называются соответственно изобарическими и изостерическими поверхностями.

Если жидкость баротропна, то эти поверхности совпадают, если же нет, то они должны пересекаться. Проведем изобарические поверхности для значений , отличающихся друг от друга на единицу и точно так же построим изостерические поверхности. Тогда все пространство разобьется на ряд трубок, называющихся изобаро-изостерическими единичными трубками. Вычислим изменение циркуляции по контуру, охватывающему одну трубку.

Очевидно, что

Второй и четвертый интегралы в правой части формулы равны нулю, т.к. на этих поверхностях dp=0. Первый и третий интегралы легко вычислить, т.к. на поверхностях AB

Таким образом,

Если бы мы ориентировали контур L в противоположную сторону, то получили

бы

Из рисунка видно, что знак «плюс» будет в том случае, когда направление поворота от вектора gradp к вектору совпадает с направлением обхода контура, и «минус» в противоположном случае.

Теперь, если у нас несколько трубок, то часть из них ( ) будет с положительным направлением обхода, а часть ( ) – с отрицательным. В этом случае для контура L, охватывающего эти трубки

Теорема Бьеркнеса. Производная по времени от циркуляции скорости по какому-либо жидкому контуру L равна разности числа положительных и отрицательных единичных изобаро-изостерических трубок, пересекающих контур L. При этом предполагается, что жидкость идеальна и объемные силы имеют потенциал.

Итак, пересечение изобаро-изостерических поверхностей является причиной образования вихрей. Если в начальный момент вихрей не было, но поверхности пересекались, то образуются вихри, которые сначала будут образовывать трубки, совпадающие с изобаро-изостерическими трубками. Сохраняться эти вихревые трубки, конечно, не будут.

Примеры образования вихрей.

1. Будем считать массу воздушной атмосферы без водяных паров, окружающей Землю, идеальным газом. Тогда, очевидно, для нее выполняется уравнение состояния идеального газа

При одинаковом давлении удельный объем прямо пропорционален температуре. В тропиках температура в нижних слоях атмосферы больше, чем у полюса. Кроме того, воздух с увеличением высоты становится более разреженным, а значит, удельный объем возрастает с высотой. Давление же при переходе от экватора к полюсу практически не меняется.

Вектор gradp направлен вертикально вниз, вектор направлен вверх, но не вертикально, а немного отклоняясь к югу. Образуются вихри: воздух течет по низу от северных широт к южным, поднимается на экваторе и по верху течет к северным широтам, где и опускается. Эта циркуляция представляет собой пассаты тропических стран.