Ал. занятие3
.docxПространство решений
однородной системы линейных уравнений
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:
Матричный вид однородной системы: Ax=0.
Однородная система в с е г д а с о в м е с т н а, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:
x1=0 , x2=0 , ..., xn=0.
Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:
,
Пусть , - два решения однородной системы. Тогда , также решение этой системы. Таким образом, множество всех решений однородной системы есть линейное пространство, которое является подпространством . Размерность этого пространства равна n-r , где r ранг матрицы системы. Базис образуют любые n-r линейно независимых частных решения системы.
Базис пространство решений однородной системы линейных уравнений называют еще фундаментальной системой решений.
Пример: Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений:
.
Применяя метод Гаусса, решим систему:
, .
Размерность пространства решений системы n-r = 4 – 2 = 2.
Далее положим сначала , а затем .
Получим два частных решения системы , ,
образующих базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
или
Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений:
Дома: №730, 1313