Учебные пособия / Шестакова учебное пособие УМФ

Выражения (2.21) и (2.22) представляют собой разложения функций φ( ) и ψ( ) в ряды Фурье по синусам на отрезке [0, ]. Отсюда коэффициенты и

будут

= 1,2, …

Таким образом, решение (2.20) при найденных

и , является искомым решением волнового уравнения при заданных граничных (2.11) и начальных

(2.12) условиях.

Методика решения:

1)Из краевых условий определить параметр a,

функции φ( ), ψ( )

2)Вычислить коэффициенты Фурье: ,

3)Записать решение в форме (2.20).

Пример 2.10. Найти решение волнового уравнения на отрезке

− 4 = 0, (0,1), (0, ∞),

40

( , 0) = 0, ( , 0) = (1 − )

(0, ) = (1, ) = 0

Решение:

1)= 2, = 1, ( ) = 0, ( ) = (1 − )

2)= 0

3) ( , ) =

∞

4

∑ (2 − 1)4 4 sin 2(2 − 1) ∙ sin(2 − 1)

=1

Задачи для самостоятельного решения

Найти решение волнового уравнения на отрезке:

1.− = 0, (0,2), (0, ∞),( , 0) = 0, ( , 0) = (2 − )

(0, ) = (2, ) = 0

2.− 2 = 0, (0,1), (0, ∞)( , 0) = 0, ( , 0) = (1 − )

42

(0, ) = (1, ) = 0

3.− 3 = 0, (0,3), (0, ∞),( , 0) = 0, ( , 0) = (3 − )

(0, ) = (3, ) = 0

4.− 4 = 0, (0,2), (0, ∞),( , 0) = 0, ( , 0) = (2 − )

(0, ) = (2, ) = 0

5.− = 0, (0,1), (0, ∞),( , 0) = 0, ( , 0) = (1 − )

(0, ) = (1, ) = 0

6.− 14 = 0, (0,4), (0, ∞),( , 0) = 0, ( , 0) = (4 − )

(0, ) = (4, ) = 0

7.− 19 = 0, (0,3), (0, ∞),( , 0) = 0, ( , 0) = (3 − )

(0, ) = (3, ) = 0

8.− 9 = 0, (0,2), (0, ∞),( , 0) = 0, ( , 0) = (2 − )

(0, ) = (2, ) = 0

9.− 16 = 0, (0,2), (0, ∞),( , 0) = 0, ( , 0) = (2 − )

43

(0, ) = (2, ) = 0

10.− = 0, (0,3), (0, ∞),( , 0) = 0, ( , 0) = (3 − )

(0, ) = (3, ) = 0

2.5Решение уравнения теплопроводности

Процесс распространения тепла в однородном теплоизолированном с боков стержне, направленном по оси ОХ описывается уравнением теплопроводности,

которое является уравнением параболического типа

Математической моделью стержня является прямая. Стержень может быть неограниченным

(уравнение теплопроводности на прямой),

ограниченным с одной стороны (уравнение теплопроводности на луче), ограниченным с обоих сторон (уравнение теплопроводности на отрезке). При этом задаются краевые условия, то есть формулируется задача Коши. Задача решается методом Фурье

(подробно рассмотрен в пункте 2.3).

44

Рассмотрим задачу Коши для следующих трех случаев.

1) Случай неограниченного стержня: найти решение уравнения теплопроводности на прямой

= 2

| =0 = φ( )

Применив метод Фурье, получим решение в виде

Пуассона.

2)Случай стержня, ограниченного с одной стороны.

= 2

| =0 = φ( )| =0 = ψ( )

Применив метод Фурье, получим решение в виде

∞

концов: найти решение уравнения теплопроводности

на отрезке

45

Применив метод Фурье, получим решение в виде

где = 2 ∫0 φ( ) sin

Методика решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:

Пример 2.11. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:

1= 4 , 0 < < 2, > 0, |=0 = 2 ,

|=0 = |=2 = 0

Решение:

46

1)2 = 4, = 2, ( ) = 12

2)= 2 ∫0 ( ) sin = 22 ∫02 12 sin 2 =

12

−cos 2 |0 =

=1

Задачи для самостоятельного решения

Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:

1)= , 0 < < 1, > 0, | =0 = 1 − ,| =0 = | =1 = 0

47

2)= 4 , 0 < < 2, > 0, | =0 = 2 − ,| =0 = | =2 = 0

3)= 16 , 0 < < 4, > 0, | =0 = 4 − ,| =0 = | =4 = 0

4)= 25 , 0 < < 5, > 0, | =0 = 5 − ,| =0 = | =5 = 0

5)= 36 , 0 < < 6, > 0, | =0 = 6 − ,| =0 = | =6 = 0

6)= 49 , 0 < < 7, > 0, | =0 = 7 − ,| =0 = | =7 = 0

7)= 14 , 0 < < 12 , > 0, | =0 = 12 − ,| =0 = | =12 = 0

8)= 19 , 0 < < 13 , > 0, | =0 = 13 − ,| =0 = | =13 = 0

9)= 161 , 0 < < 14 , > 0, | =0 = 14 − ,| =0 = | =14 = 0

10)= 251 , 0 < < 15 , > 0, | =0 = 15 − ,| =0 = | =15 = 0

48

2.6. Решение задачи Дирихле для уравнения

Лапласа в круге

При исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебания,

теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является

уравнение Лапласа

∆ = 0.

Функция и называется гармонической в заданной области, если она непрерывна в этой области вместе со своими производными до второго порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа.

При изучении свойств гармонических функций были разработаны различные математические методы,

оказавшиеся плодотворными и в применении к уравнениям гиперболического и параболического типов.

Задача отыскания функции, гармонической в заданной области D, непрерывной в ней, включая и

49