Учебные пособия / Эдельштейн лекции по ТММ учебник
.pdf
здесь Is — центральный момент инерции звена; ε —угловое ускорение его.
Этот момент приложен в плоскости движения звена и направлен против углового ускорения его.
Пример. Дан кривошипно-ползуниый (шатунный) механизм (рис. 101, а). Ведущее звено—АВ, положение его определяется углом φ1. Известны угловая скорость ω1 и угловое ускорение ε1 этого звена. Размеры звеньев и положения центров тяжести S их также известны. Определены массы т звеньев и их центральные моменты инерции Is. Требуется найти инерционную нагрузку для каждого звена механизма.
Решение. 1) Строим схему механизма (рис. 101, a).
2) Строим план скоростей механизма (рис. 101,6) по уравнению
3)Строим план ускорений механизма (рис. 101, в) по уравнению
4) |
Находим по плану ускорений ускорения центров тяжести всех звеньев |
|
механизма, а также их угловые ускорения: |
||
|
для кривошипа: аS 1 = 0, так как центр тяжести совпадает с центром шарнира А, |
|
ε1 |
задано; |
|
для шатуна: |
(µа – масштаб плана ускорений); |
|
для ползуна: |
аS 3 = (πC)µa (все точки ползуна имеют одинаковые ускорения), ε 3 = |
|
0, так как ползун движется поступательно.
5)Вычисляем модули инерционных нагрузок:
для кривошипа: | PH 1 | = 0, |MH1 | = IS l ε1 ; |
|
|
||
для шатуна: | РH2| = m2aS2 , |
| MH2 | = IS 2 ε2 ; |
|
|
|
для ползуна: | РH 3 | == т3аC. |
|
|
||
6) |
Прикладываем |
вычисленную |
нагрузку |
к соответствующим звеньям |
механизма (рис. 101, г). |
|
|
|
|
|
2°. Уравновешивание |
инерционной |
нагрузки |
сводится к подбору таких масс |
звеньев механизма и к такому их расположению, чтобы равнодействующая всех инерционных усилий равнялась бы нулю. В этом случае, если дело касается одного звена, в его кинематических парах реакций от этой нагрузки не возникает, и если это касается всего механизма в целом, то не возникнут реакции в кине - матических парах, элементы которых связаны со стойкой.
Задачей об уравновешивании инерционной нагрузки приходится заниматься потому, что в современных машинах угловые скорости их ведущих звеньев достигают больших величин (до 100000 об/мин и более). Известно, что ускорения отдельных точек звеньев механизма пропорциональны квадрату угловой скорости ведущего звена и, следовательно, силы и инерционные моменты оказываются очень большими и часто превышают ту нагрузку, на преодоление которой использован механизм.
Практически задача об уравновешивании распадается на две: 1) уравновешивание инерционных усилий отдельных звеньев и, в частности, уравновешивание вращающихся звеньев (балансировка роторов) и 2) уравновешивание механизма па фундаменте (раме).
3°. Вращающееся звено (ротор) всегда можно уравновесить двумя противовесами, расположенными в двух произвольно выбранных плоскостях, и перпендикулярных оси вращения звена.
Пусть надо уравновесить силы инерции ротора (рис. 102), вращающегося с угловой скоростью ω, Возьмем на роторе произвольную точку j весом Qj и массой
тj на расстоянии рj ; от оси вращения ротора (рис. 102). Сила инерции Рj -. массы
тj точки j
Статический момент Qj ζj называется неуравновешенностью или дисбалансом, его размерность — гсм.
Все массы ротора будут развивать силы инерции, пропорциональные их
ω2
неуравновешенностям (дробь g для любой массы ротора будет иметь одно и то же
значение). Поэтому в дальнейшем вместо сил инерции можно говорить о соответствующих неуравновешенностях.
Проведем в роторе две плоскости исправления I — I и II — II, перпендикулярные
оси ротора (рис. 102); их точки две ей параллельные силы Pj I удовлетворяют условиям
пересечения с осью — О1 и О2. Разложим силу Рj на и Pj I I и приложенные в точках О1 и О2. Эти силы
Таких сил (Pj I и Pj I I ) будет множество, но они составят две системы сходящихся сил, приложенных соответственно в точках О1 и О2. Их равнодействующие будут приложены в тех же точках
(96)
(96 а)
QIρI и QIIρII — неуравновешенности в плоскостях I—I и II—II. Для уравновешивания ротора теперь достаточно в точках О1 и О2 (рис. 103) приложить по одной силе РnI и Рп I I (на рисунке не показанных), каждая из которых равна и противоположно направлена силам РnI и Рп I I . Для этого надо на продолжении линий действия сил РnI и Рп I I установить противовесы весом Qп I и Qп I I на расстояниях ρп I и ρп I I от оси вала. Эти противовесы разовьют силы инерции, которые уравновесят силы РпI и РпII, если будут соблюдены равенства:
(97)
(97 а)
4°. Уравновешивание инерционных усилий механизма в целом сводится к задаче, требующей того, чтобы все инерционные силы и инерционные моменты подвижных звеньев механизма не передавались на элементы кинематических нар его, связанных со стойкой.
Ограничим задачу уравновешиванием только сил инерции (при практических расчетах об инерционных моментах забывать нельзя). На основании законов механики, равнодействующая всех сил инерции подвижных звеньев механизма
(98) где mS = ∑mj — масса всех подвижных звеньев;
aS — ускорение общего центра тяжести масс подвижных звеньев.
Эта сила приложена в общем центре тяжести подвижных звеньев и направлена противоположно ускорению этого центра тяжести.
Для уравновешивания силы инерции Рн надо так подобрать массы звеньев механизма и их распределение, чтобы ускорение общего центра тяжести было равно нулю. В равной мере для оценки воздействия инерционных сил на стойку механизма надо знать эту же силу Рн В обоих случаях необходимо знать ускорение общего центра тяжести подвижных звеньев механизма.
Для механизмов с парами пятого класса (низшими) положение общего центра тяжести легко находится методом главных векторов (методом Фишера). Этот вопрос рассмотрим на примере кривошипно-ползунного (шатунного) механизма (рис. 104). В этом механизме три подвижных звена: кривошип АВ (1), шатун ВС
(2) и шток (ползун) (3). Центры тяжести звеньев: S1 S2, S3, массы их: т1 т2, т3, длины: lA B = l , 1вс = l2 , координаты центров тяжести: lS1, lS2, lS3, радиусы-векторы, определяющие положения центров тяжести, относительно неподвижного центра шарнира
Радиус-вектор, определяющий положение общего центра тяжести S, найдем из равенства
откуда
Из рисунка видно, что
подставляя эти значения радиусов-векторов в написанное выше равенство, после группировки параллельных векторов определяем
(99)
Введем обозначения:
(100)
(100 а)
(100 б)
окончательно получим
(101)
Векторы h1 , h2 , h3 , называются главными и они параллельны соответствующим звеньям (их межшарнирным линиям): h1 || AB, h2|| BC, h3 || CS3
На (рис. 105) построена векторная сумма, удовлетворяющая равенству (101). Точка Кз конца вектора h3 указывает положение общего центра тяжести S. Если нас интересует характер движения общего центра тяжести, то для рассматриваемого механизма можно
следить за движением копирующей точки K2, так как вектор h3 всегда перемещается
параллельно самому себе.
Одним из способов уравновешивания силы инерции Pн (98) будет такой. Подбирают массы кривошипа и шатуна и их распределение таким образом, что модули векторов h1 и h2 оказываются равными нулю. В этом случае общий центр тяжести S совпадает с центром шарнира A и его ускорение будет равно нулю, так как этот центр неподвижен.
Для нахождения ускорения общего центра тяжести И. И. Артоболевским предложен метод построения такого механизма, у которого одна из точек движется подобно движению общего центра тяжести. Для нашего примера достаточно найти механизм, у
которого одна из его точек двигалась бы как точка К2 конца вектора h2.
Построение копирующего механизма проводится так. Присоединяют к основному механизму группу Ассура второго класса
первого вида К1 , K2, КS2 (рис. 106). Центр шарнира К1 располагают на расстоянии BK1 = l1 — h1и от центра шарнира В, а центр шарниpa K2S—на расстоянии ВК2 ' = h2 от центра шарнира В. Длины звеньев делают равными: K1 K2 = h2, K2K2S= l1 — h1.
Фигура К1 ВК2 'К2 всегда параллелограмм и центр шарнира K2 копирует движение конца вектора K2 и, следовательно, общего центра тяжести S.
Когда копирующий механизм построен, то нахождение скорости и ускорения общего центра тяжести не представляет труда. Это можно сделать методами кинематического анализа механизма, например, методом планов. Если ускорение общего центра тяжести подвижных звеньев механизма найдено, то по формуле (98) можно определить значение суммарного воздействия инерционных сил звеньев механизму на его стойку.
ЛЕКЦИЯ ТРИНАДЦАТАЯ § 15. Определение реакций в
кинематических парах механизма
1°. Постановка задачи. Звенья механизма загружены заданной системой внешних сил, законы движения звеньев известны (извеcтен закон движения ведущего звена).
Применяем принцип Д’Аламбера, для этого к заданной нагрузке прибавляем инерционную, которая определится известными законами движения звеньев механизма. Теперь механизм будет находиться в равновесии и, следовательно, будет находиться в равновесии и каждая отдельная его часть. Рассматривая равновесие выделенной из механизма кинематической цепи, или отдельного звена, можно всегда определить реакции в кинематических парах.
Различают два случая расчета:
1.Предполагают, что закон движения ведущего звена задан. Инерционная нагрузка подсчитывается в соответствии с этим законом движения. В этом случае надо считать, что к ведущему звену приложено неизвестное вначале, но подлежащее в дальнейшем определению уравновешивающее усилие. Это усилие предопределяет заданный заранее закон движения ведущего звена.
2.Закон движения ведущего звена определяется теми усилиями, которые приложены к звеньям механизма. Этот закон находится средствами, указанными в
динамическом анализе механизмов. Инерционная нагрузка находится в соответствии с истинным законом движения ведущего звена. В этом случае «уравновешивающее» усилие известно заранее и его определять не надо.
Первый случай является либо предварительным расчетом, либо окончательным для режима установившегося движения с малой степенью неравномерности хода.
Второй случай является окончательным.
2°. Для приведения задачи об определении реакций в кинематических парах к статически определимой следует рассматривать равновесие групп Ассура, которые образовали механизм.
Докажем, что группа Ассура является статически определимой фермой. Реакция в кинематической паре пятого класса содержит две неизвестных. Во вращательной паре неизвестны: величина (модуль) и направление, а в поступательной — величина (модуль) и точка приложения (при отсутствии трения; во вращательной паре точка приложения реакции находится в центре вращения, в поступательной — направление ее перпендикулярно направляющим).
Для п звеньев группы Ассура можно написать 3n уравнений статики, а в р5, парах пятого класса будет содержаться 2р5 неизвестных, подлежащих определению. Для статической определимости поставленной задачи надо удовлетворить условию: 3n. = 2р5, но оно заложено в самом определении группы Ассура, для которой
Если звено входит в одну кинематическую пару пятого класса и одну четвертого, то возможно позвенное решение, так как в этом случае задача тоже будет статически определимой. Реакция к кинематической паре четвертого класса содержит только одно
неизвестное— величину (модуль, а направление и точка приложения известны). Таким образом, общее число неизвестных, подлежащих определению, будет равно трем, т. е. будет равно числу уравнений статики.
3°. Порядок решения задачи об определении реакций в кинематических парах механизма:
1)определяют внешнюю нагрузку (включая и инерционную), приложенную к звеньям механизма;
2)механизм разделяют на группы Ассура;
3)рассматривают равновесие каждой группы Ассура, образовавшей механизм, начиная с той, которая была присоединена к механизму в последнюю очередь;
4)из условия равновесия ведущего звена находят реакцию в кинематической паре, в которую это звено входит со стойкой. Для первого случая расчета предварительно определяют уравновешивающее усилие (силу или момент); для второго случая этого делать не приходится, так как оно является известным.
Если в механизме есть звенья, входящие в одну кинематическую пару пятого класса и одну четвертого, то может быть рекомендован позвенный расчет. Его следует начинать со звена, присоединенного к механизму последним. Это замечание в основном относится к расчету кулачковых и зубчатых механизмов.
Правильность расчета для механизмов с кинематическими парами пятого класса всегда можно проверить рычагом Жуковского. Сумма моментов всех сил, приложенных к звеньям механизма и
перенесенных на повернутый план скоростей относительно его начала, должна быть равна нулю.
Для определения реакций в кинематических парах группы Ассура или в кинематических парах одного звена (при позвенном решении) молено воспользоваться любым методом, известным из курса теоретической механики.
Для механизмов нашел себе преимущественное применение метод планов сил, который основан на построении векторной суммы сил, приложенных к звеньям рассматриваемой группы Ассура. Эта векторная сумма должна равняться нулю.
Решение задачи об определении реакций в кинематических парах проследим на примерах расчета конкретных механизмов. Трением в кинематических парах в этих расчетах будем пренебрегать. Как это трение следует учитывать, будет сказано в конце раздела. Реакцию в кинематической паре будем обозначать Рjk, где индекс jk указывает, с какого звена (j) на какое звено (k) рассматривается действие.
4°. Примеры на определение реакций в кинематических парах.
Пример 1. Дан кривошипно-ползунный (шатунный) механизм (рис. 107, а). Известны размеры его звеньев, а положение ведущего звена АВ определяется углом φ1. Звено 2 (шатун) загружено силой Р2, приложенной в точке k2, и моментом М2; звено 3 (ползун) загружено силой Р3, приложенной в точке k3 и направленной параллельно линии х'х' (направлению движения ползуна). К ведущему звену 1 (кривошипу) приложен неизвестный уравновешивающий момент Му, который обеспечивает равновесие всего механизма.
Решение. 1) Разделяем механизм на группы Ассура. Из этих групп берем одну, она образована звеньями 2 и 3. Выделяем эту группу (рис. 107, б) и заменяем связи силами. Шарнирную связь В заменяем реакцией Р12 и действие направляющих в поступательной паре D — силой Р43. Из условия равновесия группы имеем
(102)
Формула (102) справедлива для любой группы Ассура второго класса. В эту формулу всегда входит внешняя нагрузка, приложенная к звеньям группы, и две реакции во внешних кинематических парах группы.
Равенство (102) построено быть не может, так как оно содержит три неизвестных: модуль силы Р43 (ее направление перпендикулярно линии х'—х'), модуль и направление силы Р12. Силу Р12 заменяем двумя ее составляющими: Рt12 перпендикулярной линии ВС и Рn12, параллельной линии ВС. Равенство (102) теперь запишем так:
(103)
его можно будет построить, если предварительно найдем модуль силы Рt12 для этого рассмотрим равновесие звена 2 и приравняем
нулю сумму моментов сил, к нему приложенных, относительно центра шарнира С:
откуда
(в числителе представлена алгебраическая сумма). Теперь векторный многоугольник по равенству (103) может быть построен. Примем такой порядок его построения: назначим порядок обхода контура группы (слева направо или наоборот) и будем откладывать силы в той же последовательности, в которой мы их встретим при принятом направлении обхода.
От точки а (рис. 107, в) отложим силу Рt12 (отрезок ab), от точки b — силу Р2 (отрезок bс), от точки с — силу Р3 (отрезок cdφ). Через точки а и dφ проведем соответственно направления сил Рn12 (параллельно ВС) и Р43 (перпендикулярно х'— х'), точка их пересечения е даст искомое решение (рис. 107, в).
Соединим точки b и е и получим силу Р12 — реакцию в шарнире В. Сила P43 –искомая реакция в поступательной паре D.
Для определения реакции во вращательной паре С (внутренней паре группы) надо рассмотреть равновесие либо звена 2, либо 3.
Для звена 3
из рис. 107, в видно, что искомая сила Р23 изображается отрезком ес. Точку приложения силы Р43 находят тоже из рассмотрения равновесия звена 3 (ползуна), только для этого надо написать равенство нулю суммы моментов сил, к нему приложенных, относительно центра шарнира С:
откуда
2) Рассматриваем равновесие ведущего звена АВ. Это звено загружено:
силой Р21= — Р12, моментом Му и реакцией во вращательной паре А — силой Р41 (рис. 107,г).
Из условия равновесия рычага имеем
а из условия равновесия звена А В, написанного в векторной форме,
откуда
Пример 2. Дан механизм двухлепесткового аэрофотозатвора (рис. 108, а). Известны размеры звеньев механизма, а положение ведущего звена АВ определяется углом φ1 Звено 2 (шатун) загружено силой Р2, приложенной в точке k2 и моментом М2; звено 3 (коромысло)— моментом М3; звенья 5 и 5' (лепестки) равными мо-
ментами М5 и М5' звенья 4 и 4' (камни) не загружены. К ведущему звену 1 (кривошипу) приложен неизвестный уравновешивающий момент Му, который обеспечивает равновесие всего механизма. Лепестки 5 и 5' расположены зеркально симметрично относительно направляющей уу и центра шарнира D
Решение. 1) Разделяем механизм на группы Ассура. Этих групп — три: одна второго класса, первого вида (звенья 2 и 3) и две второго класса, третьего вида (звенья 4 и 5, звенья 4' и 5'), обе эти группы присоединены в последнюю очередь.
2) Расчет группы 4—5 (группу 4'—5' рассчитывать не надо, гак как ее расчет идентичен расчету группы 4—5) (рис. 108,6).
Для этой группы реакциями будут: сила Р65, приложенная в центре шарнира F и сила Р34, направленная перпендикулярно направляющим уу, в нашем случае она пройдет через центр шарнира Е, так как звено 4 не загружено (звено 4 находится под воздействием сил Р34 и Р54 и так как оно уравновешено, то эти силы равны, противоположно направлены и лежат на одной линии, а точка приложения силы Р54 находится в центре шарнира Е). Звено 5 нагружено моментом М5. поэтому силы P65, и Р34 образуют пару сил
P65 = - P34.
Модуль одной из сил, образовавших пару,
откуда
3) Расчет группы 2—3 (рис. 108, в). К заданной для группы нагрузке надо присоединить воздействие отсоединенных групп 4—5 и 4'—5'. Это воздействие определится силами Р43 и Р43̍равными по модулю силе P34. Эти силы образуют пару сил с