Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 3. Основы динамики и устойчивости сооружений, Новополоцк ПГУ 2010
.pdfделителя системы путем замены его i-того столбца столбцом свободных членов таких уравнений. При нахождении значений ai , в соответствии с
видом правой части (16.40), возможны три случая.
В первом случае величины, стоящие в правой части (16.40), удовлетворяют соотношениям
i 0, |
0 , |
и, следовательно, все амплитуды принимают конечные значения ai 0 i 1,...,n .
Такое решение амплитудных уравнений соответствует обычному режиму установившихся вынужденных колебаний системы с конечным числом степеней свободы.
Во втором случае величины, стоящие в правой части (16.40), удовлетворяют соотношениям
i 0, 0,
и, следовательно, все амплитуды принимают бесконечные значения ai i 1,...,n .
Такое решение амплитудных уравнений соответствует наступлению резонанса при вынужденных колебаниях системы с конечным числом степеней свободы.
Если сравнить определители систем амплитудных уравнений (16.35), (16.39) задачи о вынужденных колебаниях с соответствующими им определителями систем амплитудных уравнений (16.10), (16.13) задачи о свободных колебаниях, то можно заметить, что они в точности совпадают при. И поскольку собственные частоты системы с конечным числом степеней свободы были найдены из условия 0 , то можно сказать, что резонанс при вынужденных колебаниях наступает при совпадении частоты возмущающей силы с любой из собственных частот, и, следовательно, число возможных резонансов равно числу степеней свободы системы.
Третий случай является противоположностью второму. Он возможен, когда при определенных значениях некоторые определители i обращаются в нуль
i 0 |
i 1,...,m; |
m n , |
но при этом 0. Тогда часть амплитуд оказывается равными нулю, что свидетельствует об отсутствии колебаний у части масс системы. Такое решение амплитудных уравнений соответствует явлению антирезонанса при вынужденных колебаниях системы с конечным числом степеней свободы.
61
16.3.4. Определение амплитудных значений динамических внутренних усилий
Рассмотрим определение амплитуд динамических внутренних усилий, которые соответствуют обычному режиму установившихся вынужденных колебаний системы с конечным числом степеней свободы. В результате решения амплитудных уравнений как в прямой, так и в обратной форме, может быть получен набор амплитуд a1,...,an , который определяет
форму вынужденных колебаний.
В случае нахождения амплитуд с использованием прямой формы амплитудных уравнений (16.35) их решению должно предшествовать определение коэффициентов rjk j,k 1,...,n и свободных членов
RjHi j 1,...,n .
Определение коэффициентов rjk основывается на рассмотрении еди-
ничных состояний в основной системе метода перемещений (рис. 16.3). Для образования этих состояний по направлению движения масс при колебаниях системы последовательно прикладываются соответствующие перемещения, равные единице. В результате рассмотрения таких состояний находятся единичные изгибающие моменты mk и поперечные силы qk и строятся их эпюры.
Определение свободных членов RjHi основывается на рассмотрении
грузового состояния в основной системе метода перемещений. Для образования этого состояния к основной системе прикладывается амплитуда возмущающей силы Hi. В результате рассмотрения такого состояния находятся грузовые изгибающие моменты M Hi и поперечные силы QHi и стоятся
их эпюры.
Тогда для определения амплитуд динамических изгибающих моментов и поперечных сил в соответствии с принципом суперпозиции можно
записать следующие формулы: |
|
|
M m1a1 |
... mnan MHi |
(16.41) |
и |
|
|
Q q1a1 |
... qnan QHi . |
(16.42) |
Определение продольных сил, как и при статическом расчете, осуществляется из условий равновесия узлов системы.
В случае нахождения амплитуд с использованием обратной формы амплитудных уравнений (16.39) их решению должно предшествовать оп-
62
ределение коэффициентов jk |
j,k 1,...,n и свободных членов |
|
jHi |
j 1,...,n . |
|
Определение коэффициентов jk основывается на рассмотрении
единичных состояний в безынерционной системе (рис. 16.4). Для образования этих состояний по направлению сил инерции последовательно прикладываются силы, равные единице. В результате рассмотрения таких состояний находятся единичные изгибающие моменты mk, поперечные силы qk, продольные силы nk и строятся их эпюры.
Определение свободных членов jHi основывается на рассмотрении
грузового состояния в безынерционной системе. Для образования этого состояния к системе прикладывается амплитуда возмущающей силы Hi. В результате рассмотрения такого состояния находятся грузовые изгибающие моменты M Hi , поперечные силы QHi , продольные силы NHi и стоят-
ся их эпюры.
Тогда для определения амплитуд динамических изгибающих моментов, поперечных сил и продольных сил в соответствии с принципом суперпозиции можно записать следующие формулы:
M m1I1 |
... mnIn MHi , |
(16.43) |
Q q1I1 |
... qnIn QHi , |
(16.44) |
N n1I1 ... nnIn NHi . |
(16.45) |
Для определения входящих в (16.43) – (16.45) амплитуд сил инерции можно использовать соотношения (16.4). В случае установившегося процесса вынужденных колебаний перемещения масс, стоящие в левой части (16.4), связаны с соответствующими им силами инерции выражениями
y j |
1 |
I j t , |
(16.46) |
|
mj 2 |
|
|
и, следовательно, для самих сил инерции справедлив гармонический закон изменения
I j I j sin t (16.47)j 1,...,n .
Тогда с учетом (16.37), (16.46), (16.47) соотношения (16.4) превра-
щаются в систему линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно амплитуд сил инерции
63
|
11 |
|
1 |
|
|
1nIn 1H |
; |
|
|
m 2 |
I1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
.................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
(16.48) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n 1 I 1 |
... |
nn m 2 |
In nHi . |
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
16.4. Резюме
С целью упрощения в приближенных динамических расчетах реальные конструкции часто заменяются системами с конечным числом степеней свободы. Строительные конструкции как системы с конечным числом степеней свободы состоят из упругого безмассового скелета конструкции и присоединенных к нему дискретных масс.
Для получения дифференциальных уравнений колебаний систем с конечным числом степеней свободы используются три способа – основной, прямой и обратный. При динамических расчетах строительных конструкций, как правило, используются прямой и обратный способы.
Свободные колебания систем с конечным числом степеней свободы характеризуются спектром собственных частот и спектром собственных форм. Спектр собственных частот и спектр собственных форм являются важными характеристиками строительных конструкций. Каждой конструкции присущи свои спектры собственных частот и собственных форм. Поэтому эти два вида спектров характеризуют индивидуальный динамический портрет строительной конструкции.
Установившийся процесс вынужденных колебаний систем с конечным числом степеней свободы, в зависимости от значений частоты изменения динамической нагрузки, характеризуется тремя случаями: обычный, резонансный и антирезонансный режимы колебаний.
16.5. Материалы для самоконтроля
Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:
–реальные конструкции как системы с конечным числом степеней свободы;
–прямой способ становления уравнений колебаний;
64
–основная система прямого способа;
–прямая форма дифференциальных уравнений колебаний;
–обратный способ составления уравнений колебаний;
–основная система обратного способа;
–обратная форма дифференциальных уравнений колебаний;
–принцип Даламбера;
–метод кинетостатики;
–система уравнений свободных колебаний в прямой форме;
–матричная запись уравнений в прямой форме;
–система уравнений свободных колебаний в обратной форме;
–матричная запись уравнений в обратной форме;
–система однородных дифференциальных уравнений;
–частные решения однородных дифференциальных уравнений;
–амплитудные уравнения свободных колебаний в прямой форме;
–матричная запись амплитудных уравнений в прямой форме;
–амплитудные уравнения свободных колебаний в обратной форме;
–матричная запись амплитудных уравнений в обратной форме;
–частотное уравнение;
–собственные частоты свободных колебаний;
–спектр собственных частот;
–собственные формы свободных колебаний;
–свойства собственных форм;
–закон сохранения механической энергии;
–система уравнений вынужденных колебаний в прямой форме;
–матричная запись уравнений в прямой форме;
–система уравнений вынужденных колебаний в обратной форме;
–матричная запись уравнений в обратной форме;
–система неоднородных дифференциальных уравнений;
–частные решения неоднородных дифференциальных уравнений;
–амплитудные уравнениявынужденных колебаний впрямой форме;
–матричная запись амплитудных уравнений в прямой форме;
–амплитудные уравнения вынужденных колебаний в обратной
форме;
–матричная запись амплитудных уравнений в обратной форме;
–резонанс систем с конечным числом степеней свободы;
–антирезонанс систем с конечным числом степеней свободы;
65
–формулы для определения динамических внутренних усилий прямым способом;
–формулы для определения динамических внутренних усилий обратным способом.
Проверьте, как Вы умеете:
–определять полное и неполное число степеней свободы;
–образовывать основную систему прямого и обратного способа;
–составлять уравнения колебаний в прямой и обратной форме;
–получать амплитудные уравнения в прямой и обратной форме;
–определять коэффициенты и свободные члены амплитудных урав-
нений.
Проверьте, сможете ли Вы вывести и решить:
–уравнения свободных колебаний в прямой форме;
–уравнения свободных колебаний в обратной форме;
–уравнения вынужденных колебаний в прямой форме;
–уравнения вынужденных колебаний в обратной форме.
Проверьте, сможете ли Вы вывести:
–формулу для вычисления k-той собственной частоты энергетическим методом;
–формулы для определения динамических внутренних усилий прямым и обратным способом.
Проверьте, сможете ли Вы доказать:
–свойства собственных форм свободных колебаний.
66
М-17. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
17.0. Введение в модуль
Основными целями модуля являются:
получение дифференциальных уравнений свободных колебаний балок как систем с бесконечным числом степеней свободы;
определение числовых характеристик свободных колебаний балок;
получение уравнений свободных и вынужденных колебаний плоских рамных систем как систем с бесконечным числом степеней свободы;
определение числовых характеристик свободных колебаний плоских рамных систем;
определение числовых характеристик установившегося процесса вынужденных колебаний плоских рамных систем.
Структураизучаемогомодуля включаетследующие учебныеэлементы: 1. Свободные колебания балок.
2. Колебания плоских рамных систем.
3. Приближенные методы определения собственных частот.
При изучении учебных элементов рекомендуется использование сле-
дующей литературы: [1, c. 189 – 196, 200 – 206]; [3, c. 507 – 508]; [4, c. 486 – 490]; [5, c. 101 – 104, 127 – 130, 204 – 221].
17.1. Свободные колебания балок
Для точного решения задачи о колебаниях реальных балок необходимо их рассматривать как упругие системы с непрерывно распределенными по длине массами. В соответствии с этим любая реальная балка всегда является системой с бесконечным числом степеней свободы.
67
17.1.1. Дифференциальное уравнение свободных колебаний
Рассматриваются свободные поперечные колебания упругой балки постоянного симметричного поперечного сечения с равномерно распределенной массой
(17.1)
Здесь m – масса на единицу длины балки; E – модуль упругости материала балки; Iz – момент инерции поперечного сечения балки относительно оси, проходящей через центр тяжести поперечного сечения перпендикулярно плоскости колебаний. Закрепления концов балки считаются произвольны-
ми (рис. 17.1).
Колебания рассматриваются без учета сил сопротивления. Поперечное смещение центра тяжести произвольного сечения балки от положения его статического равновесия описывается функцией двух переменных y x,t , где x – расстояние вдоль оси балки от начала координат; t – время. Возникающие при колебаниях балки изгибающие моменты и поперечные силы также описываются функциями двух переменных M x,t и Q x,t .
Для получения дифференциального уравнения свободных колебаний балки рассмотрим участок балки длиной dx, обладающий массой mdx. Внутренние усилия, действующие на такой элемент в некоторый момент времени, показаны на рис. 17.2.
Рис. 17.1 |
Рис. 17.2 |
Пренебрегая инерцией вращения поперечных сечений, рассмотрим элементарный участок балки как материальную точку и запишем для нее дифференциальное уравнение движения
mdx 2 y Q dx .
t2 x
Для получения выражения производной поперечной силы
пользуем дифференциальное уравнение оси изогнутой балки
(17.2)
Qx ис-
68
EIz 2 y M .
x2
Продифференцировав (17.3) дважды по x, найдем
EIz 4 y Q .
x4 x
(17.3)
(17.4)
Тогда, подставляя (17.4) в (17.2), после сокращения на dx получим уравнение
EI |
4 y |
m |
2 y |
0 |
, |
(17.5) |
||
z x4 |
t |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
которое описывает свободные колебания балки. Уравнение (17.5) является линейным однородным дифференциальным уравнением четвертого порядка в частных производных с постоянными коэффициентами гиперболического типа.
17.1.2. Начальные и граничные условия
Свободные колебания балки вызываются некоторым возмущением ее исходного состояния равновесия в начальный момент времени t = 0. Такое возмущение характеризуется функциями
y x,0 y0 x
и
y x,0 v0 x . t
Данные функции, определяющие начальное распределение по оси балки прогибов и скоростей отдельных ее элементов, описывают начальные условия задачи о свободных колебаниях балки, которым должно удовлетворять решение уравнения (17.5).
При выводе уравнения (17.5) закрепления концов балки были приняты произвольными. Однако его решение y x,t , описывающее очертание изогнутой оси колеблющейся балки, зависит от способа закрепления ее концов. Ограничения, накладываемые на искомое решение условиями закрепления балки, и называются граничными условиями задачи о свободных колебаниях балки. На каждом конце балки имеются два граничных условия.
Рассмотрим варианты граничных условий, встречающиеся при стандартных закреплениях концов балки – свободный конец, заделка, шарнирная опора.
69
В сечении на свободном конце отсутствуют изгибающий момент и поперечная сила. Поэтому соответствующие этому закреплению граничные условия имеют вид
2 y |
0; |
3 y |
0. |
(17.6) |
|
x2 |
x3 |
||||
|
|
|
Условия (17.6), налагающие ограничения на изгибающий момент и поперечную силу, называются силовыми или динамическими граничными условиями.
В сечении, примыкающем к заделке, не могут возникать прогиб и угол поворота. Поэтому соответствующие этому закреплению граничные условия имеют вид
y 0; |
y |
0 . |
(17.7) |
|
x |
|
|
Условия (17.7), ограничивающие свободу перемещений концов балки, называются геометрическими граничными условиями.
В сечении на шарнирной опоре не может возникать прогиб и отсутствует изгибающий момент. Поэтому соответствующие этому закреплению граничные условия имеют вид
y 0; |
2 y |
0. |
(17.8) |
|
x2 |
|
|
Условия (17.8), ограничивающие одновременно как часть перемещений, так и часть внутренних усилий, называются смешанными граничными условиями.
17.1.3. Решение дифференциального уравнения
Для решения уравнения (17.5) применяется один из наиболее распространенных методов решения дифференциальных уравнений с частными производными – метод разделения переменных или метод Фурье. В соответствии с эти методом искомое решение y x,t представляется в виде
произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной
y x,t X x T t . |
(17.9) |
Входящая в (17.9) функция X x описывает закон распределения амплитудных отклонений точек оси балки от равновесного состояния, т.е. форму изгибных колебаний балки. Будем называть ее для краткости амплитудной функцией. Вторая функция T t характеризует закон изменений формы колебаний во времени.
70