11081
.pdf
3) Относительно сечения I – I с обеих сторон возьмем градиенты температуры:
4) Расшифруем в конечных величинах вторую производную от температуры:
5) Производная по времени:
здесь |
температура в сечение I – I в момент времени ( |
). |
210
6) Поставим производные 4) и 5) в уравнение Фурье, т. о. получим уравнение Фурье в конечных разностях :
( )
( )
Это решение уравнения Фурье в конечных разностях.
211
8) Решение ( ) можно упростить. Для этого следует принять:
тогда решение ( ) получит вид:
Это решение уравнения Фурье в конечных разностях при условии:
Последнее выражение является условием устойчивости решения и задает соотношение между шагом по координате и шагом по времени.
9) Температуру ′ по упрощенному решению можно определить графически, пользуясь приемом Э. Шмидта (1924 г.).
ϑ1
ϑ’
ϑ2
x |
x |
212
Нестационарная теплопроводность стенки: графический расчет методом конечных разностей
213
214
Графический расчет температурного режима стенки методом конечных разностей: каждый температурный профиль маркирован моментов времени и числом Фурье
215
Безразмерные переменные
U ϑ, град
X, м
б б
216
Сложение температурных полей (суперпозиция)
Если имеется два температурных поля, причем:
•в обоих случаях геометрическая форма тела одинакова (одно и то же тело);
• материал один и тот же ( |
); |
• система координат общая ( |
); |
•время ( ) общее – отчет ведется от одного момента и в одних единицах,
то эти температурные поля можно складывать. Пример – температурное поле стенки:
|
ϑ |
ϑ |
|
ϑ |
|
|
нестационарное |
стационарное |
|
нестационарное |
|
|
t=0 |
|
|
17°С |
|
12 |
°С |
|
|
t=0 |
|
|
|
+ |
5°С = 12°С |
7°С |
|
|
|
|
|
||
2 |
°С |
0°С |
2°С |
t= |
|
x |
x |
x |
|||
|
t= |
||||
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Используя суперпозицию из решений для простых случаев, можно
получить решения для более сложных случаев.
217
Расчеты оттаивания мерзлых грунтовых оснований при отсутствии фильтрации воды
Мерзлые грунтовые основания в результате отепляющего воздействия зданий и сооружений подвержены оттаиванию.
Динамика чаши протаивания
218
Условие на границе раздела фаз при оттаивании-промерзании грунта
Для оттаивания мерзлого грунта требуется затратить тепло, при промерзании талого грунта – отнять.
Рассмотрим двухфазную среду с границей раздела фаз:
– подвижка границы
+
т.г.
м.г. растаявший объем грунта
(при переходе через границу «λ» и «а» изменяются скачкообразно) 219