11072

что составляет примерно треть диаметра

цилиндрической оболочки.

Расчетный случай 3. Оболочка нагружена радиальной нагрузкой, распределенной на части длины цилиндра. Для этого случая может быть использовано решение предыдущего

расчетного случая, если считать, что нагрузка , действующая на длине , (рис. 55) представляет собой погонную радиальную нагрузку Р.

Рис. 55

Перемещения и усилия в какой-либо точке А от нагрузки вычисляются по формулам (2.60) − (2.63) и полученное выражение интегрируется по длине загруженного участка. Например, радиальное перемещение в точке А от элементарной нагрузки dP', расположенной справа от точки А,

,

а от нагрузки, приложенной на полосе шириной b справа от точки А,

.

Аналогичное выражение можно составить для перемещения от нагрузки, расположенной слева от точки А на полосе шириной с. Для перемещения от всей нагрузки, расположенной на полосе шириной l = с + b, получится выражение

. (2.64)

60

Интегрируя таким же образом выражения для , Мх и Qx, возникающие от погонных

радиальных сил , можно получить соответствующие выражения для этих величин от радиальной нагрузки, расположенной на полосе шириной l.

2.6 Длинная цилиндрическая оболочка, подкрепленная кольцами

Цилиндрическая оболочка, подкрепленная равноотстоящими кольцами, площадь сечения которых F, подвергается внешнему равномерно распределенному радиальному давлению интенсивностью q (рис. 56).

Рис. 56

Для нахождения усилий и перемещений в любом сечении следует наложить решение по схеме а (рис. 56), на решение по схеме б (расчетный случай 1).

Задача определения радиальных перемещений w для такой оболочки статически неопределима и для ее решения необходимо составить уравнение совместности деформаций.

1.Кольца абсолютно жесткие. Силу взаимодействия, возникающую между кольцом

иоболочкой, обозначим X: погонная поперечная сила по схеме б

Оно представляет собой условие того, что радиальное перемещение оболочки в се-

Рис. 57

61

Перемещение оболочки от нагрузки q, которое было бы при отсутствии кольца,

уничтожается перемещением оболочки , вызванным погонными усилиями Q0 и M0, возникающими в сечении х = 0 вследствие наличия в последнем подкрепляющего кольца. Верхние индексы “ о” в формуле (2.56) показывают, что перемещения относятся к оболочке. Перемещение оболочки от нагрузки q по безмоментной теории:

.

По формуле (5.57) радиальное перемещение оболочки от действия погонной поперечной силы Q0 и погонного изгибающего момента Мо

. (2.67)

Подставив указанные выражения (2.10) и (2.67) в уравнение (2.66), связывающее абсолютные значения перемещений, получим

.

Заменим Q0 и M0 в этом уравнении на неизвестные силы взаимодействия X. Поперечная сила Q0 связана с Х зависимостью (2.65). Уравнение для замены М0 на Х найдем из условия, что в силу симметрии изгиба оболочки касательная к изогнутой срединной поверхности оболочки в сечении х = 0 должна быть горизонтальна (см. рис. 56):

,

или на основании формулы (2.58)

.

C учетом формулы (2.65)

Подставим в уравнение (5.66) выражения Q0 и М0 (2.65) и (2.68) и получим

,

откуда

.

Так как при помощи выражения для коэффициента затухания перемещений можно

то окончательное выражение для погонной силы взаимодействия:

Тогда погонная поперечная сила Q0 и изгибающий момент М0 в сечении х = 0 по оси подкрепляющего кольца по формулам (2.65) и (2.68)

62

;

.

Такие же выражения Q0 и М0 получатся для цилиндрической оболочки, нагруженной радиальной сжимающей равномерно распределенной нагрузкой у защемленной кромки. Условия деформации у такой кромки те же, что и в случае абсолютно жесткого подкрепляющего кольца.

2. Кольца могут деформироваться. В этом случае уравнение совместности деформаций следует записать так:

Оно отличается от уравнения (2.66), так как радиальное перемещение оболочки, представленное левой частью уравнения, уже неравно нулю. Разность абсолютных величин перемещений оболочки, вызванных нагрузкой q и погонными усилиями Q0 и М0,

должна быть равна обжатию кольца , вызванному погонной силой взаимодействия Х

(рис. 58).

Радиальное перемещение точек кольца от погонной нагрузки Х

.

Рис. 58

Сжимающее напряжение в кольце (рис. 59)

,

поэтому

,

63

где F − площадь поперечного сечения кольца.

Выражения для Q0 и М0 через силу взаимодействия Х остаются такими же [см. формулы (2.65) и (2.68)], так как условия симметрии сохраняются.

Рис. 59

Если учесть значения всех величин, входящих в уравнение (2.71) совместности деформаций, получится выражение

. (2.72)

Заменив его выражением (2.69), произведя сокращение на и решив уравнение (5.70) относительно X, получим

Представим решение (2.73) в виде произведения решения (5.70) для абсолютно жесткого кольца на коэффициент , учитывающий податливость кольца:

.

Коэффициент

учитывает уменьшение погонной силы X, получающееся при деформации подкрепляющего кольца. Оно тем ближе к единице, чем меньше толщина оболочки h и чем больше площадь сечения кольца F.

Зная X, по формулам (2.65) и (2.68) находим поперечную силу и изгибающий момент Q0 и M0 в сечении, в котором расположено кольцо. Имея величины Q0 и М0, можно найти возникающие от них радиальные перемещения и усилия Qx и Мx на любом расстоянии х от кольца, пользуясь формулами (2.53), (2.55) и (2.56).

2.7 Местные напряжения в сопряжении оболочек

Уравнение совместности деформации. При действии на оболочку равномерно распределенного давления в местах нарушения непрерывности меридионального сечения

64

возникают местные усилия − изгибающие моменты и поперечные силы. Например, оболочка, показанная на рис. 60, состоящая из

q

Рис. 60

цилиндрической части Ц и торцевой части Т в виде шарового сегмента, не имеет общей касательной в месте сопряжения этих частей. Поэтому по окружности СС их соприкосновения возникнут погонные усилия Q0 и М0 . Объясняется это тем, что линейные перемещения w и углы поворота касательных к изогнутой срединной поверхности, возникающие под действием равномерно распределенной нагрузки q, в общем случае различны для цилиндрической и торцевой частей оболочки. Для цилиндрической радиальные перемещения обычно больше, чем для торцевой, а угловые равны нулю. У торцевой части могут возникнуть угловые перемещения по окружности СС. Поэтому, если мысленно отделить торцевую часть от цилиндрической по сечению С − С (рис. 61), в сечении возникнут линейный разрыв .

Рис. 61

(2.74)

65

где и − радиальные перемещения цилиндрической и торцовой частей от нагрузки q;

− угловое перемещение торцевой части от нагрузки q.

Для уничтожения этих разрывов по сечению С − С необходимо приложить погонные поперечные силы Q0 и изгибающие моменты М0 . Эти усилия вызовут в сечении

следующие смещения: погонная поперечная сила Q0 − линейные смещения и

и угловые смещения и погонный изгибающий момент M0 −

линейные смещения и и угловые смещения и . В общем случае эти смещения различны для торцевой и цилиндрической частей. Алгебраическая

Рис. 62

Эти уравнения показывают, что возникающие в сечении С − С в непрерывной оболочке погонные усилия Q0 и М0 уничтожают линейный и угловой разрывы и и заставляют торцы цилиндрической и торцевой оболочек совпадать в переломе.

Приведенные рассуждения и уравнения (2.76) и (2.77) справедливы для сопряжения двух оболочек любого очертания и, в частности, для сопряжения цилиндрической оболочки с торцевой частью любого осесимметричного очертания − шарового, конического или плоского.

Сопряжение цилиндрической оболочки с полусферическим днищем. Определим усилия Q0 и М0 для наиболее простого сопряжения − цилиндрической оболочки с торцом в виде полусферы. В случае одинаковой толщины h цилиндрической и сферической частей можно считать, что по сечению С − С общая касательная для этих частей поворачивается в их сопряжении под действием усилий Q0 на одинаковый угол и

66

взаимный угол поворота отсутствует. Значит, в сечении С − С не возникает погонного изгибающего момента, т. е. М0 = 0.

Остается только погонная поперечная сила Q0, которую можно найти из решения геометрического уравнения (2.74), положив в нем члены, зависящие от М0, равными нулю.

Подставив в уравнение (2.74) абсолютные значения по формуле (2.10) и , найдем

. (2.78)

Приняв во внимание, что изгиб около сечения С − С местный и достигает значительной величины как в цилиндрической, так и в сферической оболочке лишь вблизи от места сопряжения, условно заменим сферическую оболочку цилиндрической. В таком случае,

подставив в уравнение (2.76) абсолютные значения по формуле (2.57) (расчетный случай 1) при M0 = 0 и по формуле (2.78), найдем

,

Таким образом, в случае сопряжения цилиндрической и полусферической оболочек одинаковой толщины, нагруженных радиальной сжимающей нагрузкой интенсивностью q, можно принять

Сопряжение цилиндрической оболочки с плоским днищем. Оболочка нагружена внутренним радиальным давлением q. Плоское днище рассматривается как круглая пластина с радиусом R, нагруженная равномерным поперечным давлением q и погонным моментом М0 по кромке. Ось х направлена по радиусу пластины.

Уравнение (2.60) углов поворота пластины

где D1 − цилиндрическая жесткость пластины.

В центре пластины при х = 0, угол наклона касательной плоскости равен нулю, поэтому первое граничное условие = 0 при х = 0, откуда С2 = 0.

Выражение для радиального погонного изгибающего момента

.

На контуре пластины

67

.

Этот погонный момент должен равняться и быть противоположным по знаку погонному моменту M0, действующему по кромке оболочки, поэтому второе граничное условие (Mr)x=R = M0, откуда

. (2.81)

Подстановка значения С2 = 0 и C1 по формуле (2.81) в уравнение (2.80) даст следующее значение для угла поворота на контуре пластины:

.

Радиальный изгибающий момент в произвольном сечении пластины на расстоянии х от центра

.

Если считать радиальное перемещение пластины пренебрежимо малым в уравнении совместности (5.76), можно принять . Тогда оно примет вид

.

Учитывая, что

,

полу чим

или, после подстановки радиальных перемещений wЦ ,

Уравнения (2.82) и (2.83) содержат две неизвестные величины: М0 и Q0. Решая систему, находим погонную поперечную силу и изгибающий момент в сопряжении оболочки с

68

оболочек и уравнениями (2.76) и (2.77) совместности деформаций, можно аналогичным путем вывести формулы для погонных поперечных сил Q0 и погонных изгибающих моментов М0 , возникающих в сопряжении цилиндрической оболочки с торцевой, имеющей форму полусферы, шарового сегмента, конуса или плоской пластины, при различных толщинах оболочки в цилиндрической и торцевой частях. Зная Q0 и М0, можно вычислить wx, Qx и Мх в любой точке цилиндрической части, пользуясь формулами (2.33), (2.55), (2.56).

5.8 Определение перемещений и усилий в короткой цилиндрической оболочке

Выше (расчетный случай 2) указывалось, что когда расстояние l между торцами или подкрепляющими кольцами цилиндрической оболочки меньше отношения , усилия и перемещения в оболочке следует определять, учитывая ее ограниченную длину. В этом случае удобнее пользоваться для интеграла дифференциального уравнения равновесия элемента (2.32) формулой (2.34), а не (2.33), а начало координат располагать в середине длины оболочки.

Кроме того, для определения произвольных постоянных интегрирования должны быть составлены другие граничные условия. Например, первое условие для расчетного случая 1, составленное в предположении равенства нулю радиального перемещения w при абсциссе х, стремящейся к бесконечности, не может быть использован для короткой оболочки, но имеется возможность использовать граничные условия на обоих торцах оболочки.

Для примера составим уравнение изогнутой срединной поверхности для нагрузки Q0 и M0 (см. расчетный случай 1), приложенной к короткой оболочке (рис. 63). Так как интенсивность нагрузки q = 0, уравнение изогнутой срединной поверхности в соответствии с формулой (1.34)

Рис. 63

69