10797
.pdfбыть меньше расстояния между точками F1 и F2 : MF1 + MF2 ³ F1F2 . Будем предполагать, что это неравенство строгое, то есть 2a > 2c , или a > c .
Для получения уравнения необходима система координат. В качестве оси абсцисс мы возьмём прямую, проходящую через точки F1 и F2 , считая её
направленной от F1 к F2 ; начало координат поместим в середине отрезка F1F2 (рис. 2.4).
20
В этой прямоугольной декартовой системе
координат |
для произвольной |
точки |
M |
эллипса |
||
координаты |
обозначим |
через |
x и |
y . |
Фокусы, |
|
оказавшись теперь на оси Ox |
симметрично |
|||||
относительно |
начала, |
будут |
иметь |
координаты |
||
F1 (−c;0) , |
F2 (c;0) . Чтобы получить теперь уравнение |
эллипса, нужно в записи его определения заменить расстояния MF1 и MF2 между точками их выражениями через координаты:
( x + c)2 + y2 + ( x − c)2 + y2 = 2a .
По существу, это соотношение представляет собой уравнение эллипса. Ему удовлетворяют координаты точек в том и только том случае, когда точки лежат на эллипсе. Но для практического использования в таком виде уравнение неудобно. Попробуем преобразовать его. Для этого сначала уединим в уравнении первый радикал
( x + c)2 + y2 = 2a − ( x − c)2 + y2 .
Возведём в квадрат обе части полученного равенства
( x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a( x − c)2 + y2 + ( x − c)2 + y2 ,
раскроем скобки и после сокращения получим
a( x − c)2 + y2 = a2 − cx .
21
Возведя в квадрат обе части последнего равенства, найдём
a2 x2 − 2a2cx + a2c2 + a2 y2 = a4 − 2a2cx + c2 x2 ,
откуда (a2 − c2 ) x2 + a2 y2 = a2 (a2 − c2 ) .
Мы отмечали, что a > c , значит a2 − c2 > 0 , и можно ввести в рассмотрение новую величину
b = a2 − c2 , чтобы придать уравнению другой вид:
b2 x2 + a2 y2 = a2b2 .
При этом получается |
b < a . Разделив |
обе части на |
||||
a2b2 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ |
y2 |
= 1. |
|
(2.1) |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение называется каноническим уравнением
эллипса.
Особенностью уравнения является то, что оно содержит x и y только в чётных степенях, поэтому
если точка ( x, y ) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки ( x; − y ) , (−x; y ) , (−x, − y ) .
Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ox и O y , также относительно начала координат.
Оси симметрии эллипса называются его осями, а точка пересечения осей – центром эллипса.
22
Точки, в которых эллипс пересекает свои оси,
называются |
его |
вершинами. |
Положив |
y = 0 |
в |
|||
уравнении |
(2.1), найдём |
две |
вершины A1 (−a;0) |
и |
||||
A2 (a;0) на оси Ox . Положив x = 0 , |
найдём две точки |
|||||||
пересечения эллипса с осью |
O y : B1 (0; −b) и B2 (0;b) |
|||||||
(рис. 2.5). |
Итак, |
эллипс |
имеет |
четыре |
вершины |
|||
A1 , A2 , B1 , B2 , которые ограничивают на осях отрезки |
||||||||
A1 A2 = 2a |
и B1B2 |
= 2b |
(эти |
отрезки тоже |
принято |
называть осями эллипса). Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
Исследовав форму эллипса путём анализа его канонического уравнения, можно теперь непосредственно построить в первой четверти график
функции y = |
b |
|
|
и, отразив его симметрично |
|
|
a2 − x2 |
||||
|
a
относительно осей координат, получить овальную замкнутую кривую, изображённую на рисунках 2.3, 2.4 и 2.5. Отметим, что при этом все точки эллипса лежат
23
внутри прямоугольника, образованного прямыми x = a , x = −a , y = b , y = −b .
Введём ещё одну величину, характеризующую форму эллипса. Отношение ε расстояния между фокусами эллипса к длине его большой оси называется
эксцентриситетом |
|
|
эллипса: |
|
|
|
ε = |
c |
. |
|
Величина |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 < ε < 1, |
|
|
|
|
|
a |
|
a > c > 0 . |
|||||||||
эксцентриситета |
|
|
так |
как |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
c2 |
|
|
a2 − b2 |
|
b 2 |
|
|||||||||
Поскольку |
|
|
ε |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
1 − |
|
, |
то |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
||||
|
b 2 |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= |
1 − ε |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ε = |
1 − |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
|
Видим, |
что |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
эксцентриситет определяется |
|
|
соотношением |
осей |
||||||||||||||||||||
эллипса. |
В |
случае |
|
|
ε = 0 |
(если |
|
a = b ) |
эллипс |
превращается в окружность с уравнением x2 + y2 = a2 . Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше
отношение b и тем больше эллипс вытянут. a
Уравнение эллипса (2.1), как и уравнение окружности, является уравнением второго порядка. Предполагая в дальнейшем использование других видов кривых второго порядка, перейдём к их рассмотрению.
2.3. Логика рассуждений для изучения новой линии будет прежней. Начинаем с определения, не зависящего от системы координат.
Пусть даны точки F1 и F2 на плоскости. Множество всех точек M , разность расстояний от которых до F1 и F2 есть величина постоянная, называется гиперболой.
24
Указанная разность берётся по абсолютному значению и обозначается 2a . Точки F1 и F2
называются |
фокусами |
гиперболы. Как и |
ранее, |
|
2c = F1F2 |
– расстояние между |
фокусами. |
Таким |
|
образом, если точка M гиперболы находится ближе к |
||||
фокусу F2 , |
выполняется равенство |
F1M − F2 M = 2a , а |
||
если M |
находится |
ближе к |
фокусу |
F1 , то |
F2 M − F1M = 2a (рис. 2.6).
Рис. 2.6
Из рассмотрения суммы сторон треугольника
MF1F2 видим, |
что |
|
MF1 < MF2 + F1F2 |
и |
|||
MF2 < MF1 + F1F2 . |
Поэтому, |
в |
зависимости |
от |
|||
расположения M |
по |
отношению |
к |
фокусам, |
|||
MF1 − MF2 < F1F2 |
или |
MF2 − MF1 < F1F2 . |
В наших |
||||
обозначениях получаем 2a < 2c , или a < c . |
|
|
|||||
Для получения уравнения вводим систему |
|||||||
координат так, чтобы фокусы |
F1 и |
F2 |
лежали на оси |
Ox , а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2 (рис.2.7). В этой системе координаты произвольной точки M обозначим x и y , а координаты фокусов будут соответственно: F1 (−c;0) , F2 (c;0) .
25
Рис. 2.7
Заменив расстояние F1M и F2 M между точками их выражениями через координаты, получим
( x + c)2 + y2 − ( x − c)2 + y2 = ±2a .
Это уравнение, как и для эллипса, приводится для удобства к другому виду. Перенесём второй радикал в правую часть и возведём в квадрат обе части уравнения
( x + c)2 + y2 = 4a2 ± 4a( x − c)2 + y2 + ( x − c)2 + y2 ,
раскроем скобки и после сокращения получим
xc − a2 = ±a( x − c)2 + y2 .
Снова возводим в квадрат и сокращаем подобные слагаемые:
(c2 − a2 ) x2 − a2 y2 = a2 (c2 − a2 ) .
26
Учитывая, что, в отличие от эллипса, для гиперболы
a < c , можно ввести |
b2 |
= c2 − a2 . Тогда |
уравнение |
|||||
примет вид b2 x2 − a2 y2 |
= a2b2 |
или |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2 |
|
− |
y2 |
= 1. |
|
(2.2) |
|
|
a2 |
b2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.
Так как уравнение (2.2) содержит x и y только в чётных степенях, то гипербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно
начала координат. Оси симметрии гиперболы называются её осями, а точка пересечения осей – центром гиперболы.
Положив y = 0 в уравнении (2.2), найдём две точки пересечения гиперболы с осью Ox : A1 (−a;0) , A2 (a;0) , которые называются вершинами гиперболы.
Если взять x = 0 |
в уравнении |
(2.2), |
то |
получим |
|||
y2 = −b2 . Следовательно, с |
осью |
Oy |
гипербола |
не |
|||
пересекается. |
A1 A2 = 2a |
|
|
|
|
|
|
Отрезок |
принято |
называть |
|||||
действительной осью гиперболы (а |
число |
a |
– |
||||
действительной |
полуосью); |
отрезок |
B1B2 |
= 2b , |
соединяющий точки B1 (0; −b) и B2 (0;b) , называется
мнимой осью (число b – мнимой полуосью). Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы (рис. 2.8).
27
Рис. 2.8
Из уравнения (2.2) следует, что если x < a , то y не имеет действительных значений, то есть, у гиперболы нет точек с абсциссами −a < x < a . Должно
выполняться условие |
x2 |
³ 1 или |
|
x |
|
³ a . Это означает, |
|
|
|
||||||
a2 |
|||||||
|
из двух частей: её точки |
||||||
что гипербола состоит |
расположены справа от прямой x = a , образуя правую ветвь, и слева от прямой x = −a , образуя левую ветвь.
|
|
|
Наконец, из уравнения (2.2) видно, что с |
|||||||||||
возрастанием |
|
x |
|
|
возрастает и |
|
y |
|
, так как разность |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 |
- |
y2 |
|
сохраняет постоянное значение. |
|||||||||
|
a2 |
b2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Тем самым приходим к заключению: если y > 0 , |
|||||||||||
то точка M ( x; y ) |
при возрастании x , начиная от x = a , |
|||||||||||||
движется |
всё время «вправо» и «вверх»; если y < 0 , то |
|||||||||||||
|
M ( x; y ) |
движется «вправо» и «вниз». Так образуется |
неограниченная правая ветвь. При x → −∞ от значения x = −a получается левая неограниченная ветвь гиперболы (рис.2.9).
28
Рис. 2.9
Присмотримся внимательнее к тому, как точка M «уходит в бесконечность». В математическом анализе используется понятие асимптотического приближения какой-либо кривой Г к прямой l , называемой асимптотой этой кривой. Это понятие вводится, если возможно неограниченное удаление точки M по бесконечной ветви линии Г , при котором расстояние от точки данной кривой до этой прямой стремится к нулю (рис. 2.10).
Рис. 2.10
29