10669

81

контроля сделанные выводы о пространственном положении башни могут совершенно не соответствовать действительности. Покажем это на примерах, приведенных в работе [132].

При идеальном положении верхнего треугольника авс относительно нижнего АВС (рис. 58) ортоцентры треугольников находятся на одной вертикали, а вершины а и А, в и В, с и С попарно располагаются в вертикальных плоскостях, проходящих через оси башни ОА, ОВ и ОС.

Предположим, что контроль за пространственным положением башни осуществляется с двух направлений СО и ВО. Пусть положение верхнего треугольника а1в1с1 (или а2в2с2) таково, что точки в1 (в2) и с1 (с2) находятся на соответствующих осях башни, что выявлено результатами их вертикального проектирования теодолитом. Отсюда может последовать ошибочный вывод об отсутствии крена башни и скручивания её верха относительно основания.

Как видно из рис. 58, вершина а верхнего треугольника даже при нулевых линейных смещениях вершин в и с может занимать произвольное положение а1 или а2 на некотором линейном смещении qА1 или qА2 от оси ОА. В результате этого будут иметь место крен сооружения ОО1 (ОО2) и угол

скручивания ϕ1 (ϕ2).

Аналогично (рис. 59), при некоторых линейных смещениях qB и qC вершин в и с, вершина а может занимать произвольное положение а1 или а2, соответствующее линейному смещению qА1 или qА2 . В результате, как и в первом случае, будут иметь место крен сооружения ОО1 (ОО2) и угол скручивания ϕ1 (ϕ2).

В

Рис. 58. Случай нулевых qВ = 0 и qС = 0 линейных смещений вершин в и с

82

Угол скручивание башни j1 (j2) может оказывать существенное влияние на величину и направление крена. Для того, чтобы судить о наличии или отсутствии скручивания, следует вертикальное проектирование точек в и с дополнить измерением горизонтальных углов b1, b2, b3 и b4 (рис. 60).

В

плоскостях, проходящих через оси башни ОВ и ОС, то нет ни крена, ни скручивания сооружения.

Если (рис. 60, б) b1 < b2, а b3 = b4, то имеет место крен в направлении СО, а скручивание отсутствует. При b1 > b2, а b3 = b4, скручивание отсутствует, а крен имеет направление от О к С.

В том случае (рис. 60, в), когда b1 = b2, а b3 < b4, то нет скручивания, но есть крен в направлении ОВ. Если при b1 = b2 будет b3 > b4, то при отсутствии скручивания имеем крен в направлении ВО.

Наконец (рис. 60, г), при b1 ¹ b2, b3 ¹ b4 можно утверждать о наличии крена, ориентировочно оценить его направление, но о наличии или отсутствии скручивания башни нельзя сказать ничего определенного.

Таким образом, как при нулевых qВ1(qВ2) = 0, qС1(qС2) = 0, так и при фактических qB и qC линейных смещениях вершин в и с (рис. 58, 59), получить по этим данным какую-либо информацию о величине крена, его направлении и угле скручивания башни не представляется возможным.

На рис. 61 показаны теоретически возможные экстремальные случаи расположения верхнего треугольника авс относительно нижнего АВС. Так

83

(рис. 61, а), если вершина с1 совпадает с ортоцентром О нижнего треугольника, а вершина в1 располагается на оси ОВ или вершина в2 совпадает с О, а

вершина с2 находится на оси ОС, то линейные смещения√3) qA1 и qA2 по модулю равны√3 длине медианы верхнего треугольника (ав /2. Крены ОО1 = ОО2 = ав/ имеют противоположные направления, составляющие 30° в первом случае с осью ОВ, а во втором случае – с осью ОС. И, наконец, углы скручивания ϕ1 и ϕ2 в обоих случаях равны 30° .

(рис. 61, б), если qВ1,С1 = qB или qВ2,С2 = qC, то ϕ1 = ϕ2 = 30°, а величины линейных смещений qA1 (qA2) , крена ОО1(ОО2) и его направления зависят от соотношения qB и qC .

84

Таким образом, рассмотренные выше сокращенные способы контроля путём наблюдениями всего двух произвольно выбранных рёбер не позволяют с уверенностью судить о пространственном положении сооружений башенного типа треугольной формы.

Для получения полной и достоверной информации о величине крена, его направлении и угле скручивания башни треугольной формы необходимо в способе малых углов, помимо наблюдений только двух точек (в и с, или а и в, или а и с), выполнить наблюдения третьего пояса башни.

Следует отметить, что на точность способа малых углов может оказывать существенное влияние смещение точек стояния теодолита 1, 2, 3 (рис. 55) с осей башни [130]. Действительно, (рис. 62) если точка стояния теодолита смещена с оси башни на некоторую величину ТТ' (нестворность теодолита), то вместо правильного малого угла β будет измерен некоторый угол β' . В результате этого, вместо правильного линейное отклонение ар будет получено неправильное линейное отклонение аp'.

С целью определения степени влияния нестворности теодолита на величину линейного отклонения q, было проведено статистическое моделирование. В табл. 30 приведены подсчитанные по формуле:

изменения значения ар для башни высотой Н = 70 м в зависимости от разности (β’– β) при различных расстояниях S от точки стояния теодолита до верхних точек и построен график (рис. 63).

86

димости, положение теодолита корректировать, добиваясь равенства этих углов, а точку стояния теодолита стараться максимально приближать к наблюдаемому сооружению.

Рассмотрим другой путь, который предусматривает введение в результаты измерений поправок, соответствующих неравенству этих углов. Пусть теодолит расположен в точке Т'. Измерены горизонтальные углы b'B, b', b'C и измерены горизонтальные проложения Т'В, Т'а, Т'А, Т'С.

ТВ = ТС =

sinβ€ = d/2S, где d – сторона равностороннего треугольника АВС.

Зная в треугольнике ТАС угол bC и угол ÐТАС = 150°, находим угол ÐАСТ = 180° – 150° – bC = 30° – bC. По теореме косинусов определяем длину АТ:

(АТ)2 = d2 + S2 − 2dScos(300 −βC ) .

Аналогичным образом находим из треугольников ТʹaА и ТʹaВ отрезки aА и aВ:

(аА)2 = (Т′а)2 + (Т′А)2 − 2(Т′а)(Т′А)cosβ′ ,

(aB)2 =(T′B)2 +(T′a)2 −2(T′B)(T′A)cosβ′B .

87

Зная в треугольнике ВаА все три стороны, вычисляем угол ÐаАВ:

= (aA)2 + d 2 − (aB)2 cos(aAB) .

2(aA)d

Теперь в треугольнике ТаА угол ÐаАТ = 150° + ÐаАВ , что дает возможность, во-первых, вычислить длину аТ:

(аТ)2 = (аА)2 + (АТ)2 − 2(аА)(АТ)cos(аАТ) ,

и затем вычислить правильное угловое отклонение b:

Справедливость полученной формулы (63) можно подтвердить, если подставить в неё вместо (аТ)2 предыдущее выражение и, произведя соответствующие сокращения и преобразования, получить видоизмененную формулу:

Числитель формулы (64) представляет собой катет рТ, а знаменатель – гипотенузу аТ прямоугольного треугольника Тар, соотношение которых является косинусом угла b.

Другой путь исключения влияния нестворности теодолита предусматривает непосредственное определение правильного линейного отклонения ар. Для этого можно использовать следующие способы.

Линейное отклонение ар (см. треугольник Аар на рис. 62) можно вычислить по формуле:

где угол ÐаАр = 180° – ÐаАТ (порядок определения угла ÐаАТ приведен выше).

Определение правильного линейного отклонения ар может быть выполнено графическим способом. Для этого достаточно в треугольниках ТʹBa, ТʹaA, ТʹaC вычислить по теореме косинусов отрезки аВ, аА, аС и на чертеже крупного масштаба определить тройной линейной засечкой положение точки а, от которой измерить в масштабе чертежа ар.

Аналитическое решение такой тройной линейной засечки может быть выполнено следующим образом (рис. 64). Опустим из точки а на стороны треугольника АВС перпендикуляры h1, h2, h3, которые отсекут на этих сто-

88

ронах отрезки l1, l2, l3. Выберем условную систему координат хАу, в которой:

В этой системе координаты точки а могут быть вычислены трижды:

xa = x1,2,3 + x1,2,3 , ya = y1,2,3 + y1,2,3 ,

где индексы 1,2,3 соответствуют номеру треугольника АаВ, СаВ, СаА.

Приращения координат вычисляют по формулам:

где хк, ук и хн, ун – координаты конечной и начальной точек соответственного треугольника.

Так в треугольнике АаВ точка А начальная, точка В конечная, в треугольнике СаВ точка С начальная, В – конечная и в треугольнике СаА точка С начальная, А – конечная.

Входящие в формулы (66) величины li и hi в каждом треугольнике находят следующим образом:

89

причем, знак «+» или «–» перед радикалом выбирается в зависимости от направления следования вершин отдельного треугольника по ходу или против хода часовой стрелки.

В треугольнике АаВ вершины следуют против хода часовой стрелки, значит будет знак «–», в треугольнике СаВ – по ходу (знак «+»), в треугольнике СаА – против хода (знак «–»).

Обратим внимание на то, что вычисляемые из трех треугольников значения ya соответствуют правильному линейному отклонению ар. Аналогичным образом, произведя наблюдения со стороны точек В и С и вводя каждый раз соответствующую систему координат хВу и хСу, можно найти правильные линейные отклонения точек в и с с осей башни. А затем по отклонениям точек а,в,с вычисляют крен сооружения, его направление и угол скручивания вершины относительно основания.

Эту же задачу можно решить иначе, если вычислить координаты точек а,в,с в одной системе координат хАу по приведенной выше методике. Затем определить координаты ортоцентра верхнего треугольника авс:

можно сразу получить величину и направление крена башни путём решения обратной геодезической задачи между ортоцентрами верхнего и нижнего треугольников. Определив по координатам вершин треугольников АВС и авс дирекционные углы сторон этих треугольников αi , находят угол скручивания ϕ сооружения как разность дирекционных углов соответствующих сторон:

Таким образом, по приведенной выше методике можно определить наличие нестворности теодолита и исключить её влияние на точность получае-