10330
.pdf[Введите текст]
1y y v ln u v u1 u
и отсюда
y uv (v ln u v u1 u ) uv ln u v vuv 1u .
Этот прием, называемый логарифмическим дифференцированием,
применим также для упрощения нахождения производных. Например,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
y |
|
|
x 1 2 |
x 1 |
, |
|
ln y 2ln x 1 |
|
ln x 1 3ln x 4 x, |
|||||||||||||||||||
|
|
x 4 3 ex |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
1, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
x 1 |
|
2 |
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
x |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||
|
|
x 4 |
3 |
|
|
|
x 1 |
|
2 x 1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
19.5. Сводка формул производных и правил дифференцирования.
Сведём в одном месте формулы производных элементарных функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(x |
|
) x |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
cos x, |
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
sin x |
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
tgx |
|
|
|
|
, |
|
ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
cos2 x |
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
arctgx |
|
|
|
|
, |
|
|
arcctgx |
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
loga |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
ln x |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
140 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Введите текст]
ax ax ln a, |
ex ex , |
а также формулы, выражающие правила дифференцирования:
|
|
|
u v , |
|
u v v u , |
|
|
, |
c const, |
||||||
u v |
|
u v |
|
c f cf |
|||||||||||
|
|
|
|
|
u v v u |
|
|
|
|
x x(t) |
|
|
y |
||
u |
|
|
|
' |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
, f (u(x)) x |
fu ux |
, |
|
|
yx |
t |
. |
||
|
v |
2 |
|
|
|||||||||||
v |
|
|
|
|
|
|
|
y y(t) |
|
|
xt |
19.6. Производные высших порядков. Выше речь шла о понятии про-
изводной или первой производной функции. Производные высших порядков определяются по индукции.
Производной n -го порядка называется производная от |
(n 1) -ой |
||
производной. Так, вторая производная функции y f (x) равна |
|
||
|
|
|
|
f (x) ( f (x)) . |
|
||
Отметим физический смысл второй производной в случае, когда задан |
|||
|
|
|
|
закон изменения пути как функция времени, т.е. s s(t) . Тогда s (t) есть |
|||
|
|
|
|
скорость, а s (t) – ускорение в момент времени t . |
|
||
Если функция задана явно, то вычисление ее высших производных |
|||
сводится к повторному дифференцированию. Если функция y |
задана не- |
явно F x, y 0 , то для отыскания её n -ой производной нужно соответству-
ющее число раз продифференцировать определяющее ее уравнение, помня, что y и все её производные есть функции независимой переменной x .
Например,
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x y 1 2x 2 yy |
0 |
y |
y . |
|
||||||
|
|
|
||||||||
Дифференцируя второй раз, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 y y 2 y y 0 y |
|
1 y 2 |
|
x2 |
y2 |
. |
||||
|
y |
|
|
y3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вслучае параметрического задания функции
x x(t) , t
y y(t)
141
[Введите текст]
первая производная равна |
y |
|
y (t) |
. Для нахождения второй производной |
|
||||
|
x |
|
x (t) |
|
|
|
|
продифференцируем это равенство по x , имея в виду, что t есть функция
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
' |
' |
|
|
|
y t ' |
|
|
|
|
1 |
|
|
yx xy |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
yxx yx |
|
tx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
x t t |
|
|
x (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где точка сверху обозначает производную по |
t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a cost |
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
b cost |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg t , |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y bsin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a sin t |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
'' |
|
|
b |
|
|
' |
|
1 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
. |
|
yxx |
|
|
|
ctg t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
|
x |
a sin |
2 |
t |
|
a sin t |
a |
2 |
sin |
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
Аналогично можно найти производные более высоких порядков.
Лекция 20. Вектор-функция
142
[Введите текст]
20.1. Вектор-функция и её задание. К понятию вектор-функции или векторной функции скалярного аргумента мы приходим, изучая переменный вектор. С переменным вектором мы уже имели дело, когда записывали уравнение прямой в пространстве в векторной форме (см. рис. 20.1)
Рис. 20.1 |
|
r (t) r0 t s (x0 t m)i ( y0 t n) j (z0 t p)k , |
t . |
Суть в том, что координаты радиус-вектора r (t) есть некоторые функции
переменного t . Поэтому естественно следующее определение вектор-функ-
ции: если каждому значению вещественного переменного t из некото-
рого промежутка по определённому закону поставлен в соответствие вектор
r (t) x(t)i y(t) j z(t)k ,
то будем говорить, что в промежутке t задана вектор-функция r (t) .
Вектор r (t) будем считать выходящим из начала координат, т.е. это радиус-вектор. При этом конец вектора M (x(t), y(t), z(t)) будет описывать
некоторую линию L(годограф), параметрические уравнения которой даются формулами
x x(t),
y y(t), t
z z(t),
Таким образом, задание вектор-функции эквивалентно заданию трёх скалярных функций, являющихся координатами её радиус-вектора. Название –
143
[Введите текст]
годограф происходит от греческих слов hodos – путь и grapho – пишу. Началом всех векторов для построения годографа может служить любая фиксированная точка плоскости.
20.2. Предел, непрерывность и производная вектор-функции. По-
нятия предела, непрерывности и производной вектор-функции введём «покоординатно», а именно: вектор-функция
r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
в некоторой точке t0 имеет предел, непрерывна, дифференцируема, если
соответственно имеют предел, непрерывны и дифференцируемы в этой точке функции x(t), y(t), z(t) . При этом полагают
lim r (t) lim x(t) i lim y(t) j |
lim x(t) k |
|||||||||||
t t0 |
|
|
t t0 |
|
|
t t0 |
|
|
|
t t0 |
||
|
|
|
d r |
|
d x |
i |
d y |
j |
d z |
k . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dt |
|
dt |
|
dt |
|
dt |
|
|
|
Производной вектор-функции |
r (t) в точке |
|
t0 называется предел от- |
|||||||||
ношения приращения |
r |
к приращению t , когда последнее стремится к |
нулю. В математической символике это определение записывается известным образом:
r (t0 ) lim |
r |
lim |
r (t0 |
t) r (t0 ) |
|
dr |
. |
t |
|
t |
|
||||
t 0 |
t 0 |
|
dt |
Геометрический смысл производной векторной функции скалярного аргумента близок к геометрическому смыслу производной числовой функции. Будем предполагать, что годограф вектор-функции в точке
M 0 (x0 , y0 , z0 ) M 0 (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ))
имеет касательную, определяемую как предельное положение секущей M 0 M . Направление движения точки соответствующее возрастанию пара-
метра t обозначим на рисунке стрелкой (см. рис. 20.2). Рассмотрим два случая, когда значение аргумента t0 получает как положительное, так и отри-
цательное приращение t . Вектор r r (t0 t) r (t0 ) – это хорда (греч.– струна). В случае положительного приращения t 0 он направлен по секущей в сторону, соответствующую возрастанию аргумента t0 , а
в случае t 0 в противоположном направлении. Вектор же |
r |
будучи |
|
t |
|
144 |
|
|
[Введите текст]
коллинеарным вектору r в любом случае будет направлен вдоль секущей в сторону, соответствующую возрастанию параметра t . Поскольку секущая при t 0 примет положение касательной к годографу, то вектор
dr |
lim |
r |
|
dt |
t |
||
t 0 |
будет касательным вектором к годографу в данной точке. Итак, производная вектор-функции в данной точке – это вектор касательный к её годографу и направленный в сторону возрастания параметра.
|
|
|
|
|
∆ |
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∆ |
|
|
||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
(t0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
0 + ∆ |
(t0 + ∆t) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ > 0 |
|
∆ < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 20.2
Пример. Годограф вектор-функции
r (t) (t sin t) i (1 cost) j
это циклоида, т.е. траектория фиксированной точки окружности единичного радиуса, катящейся по оси Ox без скольжения. Пусть t – время и окружность делает полный оборот за 2 секунд. Тогда вектор-функция
r (t) (t sin t) i (1 cost) j
задаёт не только траекторию движения точки, но и закон движения.
На рис. 20.3 в точках траектории через каждые 2 /10 сек. построены векторы скорости точки
r (t) (1 cost) i sin t j .
145
[Введите текст] |
|
|
|
|
|
|
Самая большая скорость точки будет в момент времени |
|
t . Построен |
||||
также годограф скорости точки. В одной из точек построен вектор ускоре- |
||||||
ния. Это вектор касательный к годографу скорости в соответствующей |
||||||
точке. |
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
-1.5 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Рис. 20.3
20.3. Уравнения касательной и нормальной плоскости к простран-
ственной кривой. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями
xy
z
x(t),
y(t), t z(t),
и имеет в рассматриваемой точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) M 0 (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) касательную. Это значит, что у вектор-функции
r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
существует производная в этой точке
dr |
x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ) . |
||
r (t0 ) |
|
|
|
|
|||
|
dt 0 |
|
146
[Введите текст] |
|
|
Нормальной плоскостью к данной кривой L в точке |
M 0 называют |
|
плоскость, проходящую через точку M 0 перпендикулярно |
касательной к |
|
кривой в этой точке (см. рис. 20.4). |
|
|
Пусть |
K ( X ,Y , Z ) – произвольная точка касательной к кривой L в |
|
точке M 0 , |
а N (u,v, w) – точка нормальной плоскости к кривой в этой же |
|
точке. |
|
|
Рис. 20.4
У нас есть все данные, чтобы написать уравнения касательной, например в канонической форме
X x0 Y x0 Z x0 . x (t0 ) y (t0 ) z (t0 )
Соответственно, уравнение нормальной плоскости будет иметь вид
x (t0 )(u x0 ) y (t0 )(v x0 ) z (t0 )(w x0 ) 0
Пример. Написать уравнения касательной к кривой
x cost, |
|
|
|
|
|
|
|
в точке |
M0 ( 0, 1, |
|
|
y sin t, |
0 t |
4 |
) |
||
z t / 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точке M 0 соответствует значение параметра t0 / 2. Для вектор-функ- ции
r (t) cost i sin t j 2t k
вычисляем касательный вектор |
r (t) sin t i cost j |
1 |
k , |
|
2 |
||||
|
|
|
||
|
147 |
|
|
[Введите текст]
r (t0 ) r ( / 2) 1, 0, 0.5
Записываем уравнения касательной в канонической форме
|
x 0 |
|
y 1 |
|
z / 4 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
0.5 |
|
|
|
или в виде пересечения двух плоскостей |
|
y 1, |
. |
|||||
|
|
2x z 0
Уравнение нормальной плоскости
1(x 0) 0( y 1) 0.5(z / 4) 0
или 8x 4z 0 (см. рис. 20.5)
Рис. 20.5
148
[Введите текст]
Лекция 21. Дифференциал
21.1. Дифференциал. Прежде, чем ввести понятие дифференциала, рассмотрим следующую задачу: пусть скорость велосипедиста в данный момент
v0 12 км час 103 м сек .
Какое расстояние он проедет за следующие 30 секунд? Ответ, очевидно, не однозначный:
1)если он продолжает двигаться с той же скоростью, то пройденный путь
S v0 t 100 м;
2)если он «ускорился» (или движется под гору), то расстояние
S 100 м;
3)если устал (или движется в гору), то пройденное им расстояние
S 100 м.
Самый реальный прогноз (лучше иметь какую-то информацию, чем неопределённость)
S v0 t S (t0 ) t ,
причём этот прогноз тем точнее, чем меньше промежуток времени t . Например, за время t 3cek. велосипедист проедет расстояниеS 10м, и эта величина «почти» точная, даже если велосипедист созна-
тельно начнёт менять скорость своего движения.
Теперь рассмотрим математическую задачу. Пусть задана некоторая функция y f (x) , и мы умеем вычислять её значение в точке x0 , т.е. f (x0 )
известно, а требуется найти её значение в точке x0 x при заданном |
x |
. Допустим, что процедура «прямого» вычисления значения функции |
f ( |
x0 x ) нам недоступна. Например, нужно найти arctg1.02 , зная значение
arctg1 |
4 |
0.7854 . Возникает естественное желание: в равенстве |
|
|
|
|
|
f ( x0 x ) = f (x0 ) + y |
найти, хотя бы приближённо, приращение функции y . Оказывается, это
149