10315
.pdf[Введите текст]
Лекция 4. Системы m уравнений с n неизвестными
4.1. Ранг матрицы. Мы рассматривали систему n уравнений с n неизвестными, у которой матрица невырожденная. А как быть, если матрица вырожденная ( ( A) 0) или m n , то есть число неизвестных не совпадает
с числом уравнений?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам понадобится понятие ранга матрицы. Это некоторая числовая характеристика матрицы. Вводится она следующим образом. Выберем некоторые k строк и k столбцов и образуем матрицу порядка k , которая состоит из элементов, стоящих на их пересечении. Определитель этой матрицы будем называть минором k -го порядка.
Рангом матрицы A называется число r( A) , равное наибольшему из
порядков её миноров, отличных от нуля. Если все миноры равны нулю, что возможно только для нулевой матрицы, то r 0 .
Очевидно, что ранг — это число, удовлетворяющее неравенству
0 r min m,n ,
где m и n – размеры матрицы. Например,
|
1 |
2 |
|
, |
r A 2 ; |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
r B 1, |
A |
3 |
4 |
|
B |
2 |
2 |
2 |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
так как все миноры второго порядка равны нулю.
Если матрица квадратная и невырожденная, то её ранг равен порядку матрицы.
Один из способов вычисления ранга – это «идти снизу», последовательно находя неравные нулю миноры первого, второго и следующих порядков.
4.2. Теорема Кронекера-Капелли. Выше при рассмотрении системы линейных уравнений мы ограничивались случаем, когда число уравнений совпадало с числом неизвестных и когда матрица системы была невырожденной. В этом случае система имеет единственное решение. Сейчас мы рассмотрим общий случай системы m уравнений с n неизвестными
30
[Введите текст]
a11x1 a12 x2 |
a1n xn b1 |
||
|
a22 x2 |
a2n xn b2 |
|
a21x1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
a |
x |
a x b |
m1 1 |
m2 |
2 |
mn n m |
или в матричной форме |
|
|
|
|
A X B . |
(4.1) |
Образуем так называемую «расширенную» матрицу B , полученную присоединением к матрице A столбца из свободных членов уравнений системы
a11 |
a12 |
a1n |
b1 |
|
a |
a |
a |
b |
|
B 21 |
22 |
2 n |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
am2 |
amn |
bm |
Очевидно, что rang A rang B .
Вопрос о совместности системы решает теорема Кронекера-Капелли (Леопольд Крóнекер (1823-1891г.г.) – немецкий математик и Альфредо Капелли (1855-1910 г.г.) – итальянский математик).
Теорема Кронекера-Кaпелли. Система линейных уравнений (4.1) совместна тогда и только тогда, когда
rang A rang B
(принимаем без доказательства).
Проиллюстрируем эту теорему в случае системы трех уравнений с тремя неизвестными
a1 x b1 y c1z d1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 x b2 y c2 z d2 . |
|
|
|
|
|
|
|||
a x b y c z d |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
b1 |
c1 |
d1 |
|
||
Рассмотрим расширенную матрицу |
|
B a |
|
b |
c |
d |
|
. |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
a |
b |
c |
d |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
Если det A 0 , то rang B rang A 3 и, следовательно, система совместна. Если det A 0 и существует отличный от нуля определитель третьего по-
рядка, составленный из столбцов матрицы B , то rang B 3, |
rang A 3, и, |
31 |
|
[Введите текст]
значит, система несовместна. И, наконец, если x y z 0 , то
rang B 3, rang A 3 и, следовательно, в соответствии с теоремой Кро-
некера-Капелли система будет совместна тогда и только тогда, когда выполняется условие
rang A rang B .
|
x y z 6 |
|
Пример 1. |
|
A 5 0 |
2x y z 3 |
||
|
x y 2z 5 |
|
|
|
|
|
rang A 3, |
rang B 3 , |
так как ранг не может быть больше числа строк. Система совместна. Найдите её единственное решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
5x y 2z 7 |
|
5 |
1 |
2 |
|
Пример 2. |
|
A |
2 |
1 |
4 |
0 , |
2x y 4z 1 |
||||||
|
x 3y 6z 0 |
|
1 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(проверьте!), но есть минор второго порядка, отличный от нуля. Из расширенной матрицы образуем минор
5 |
1 |
7 |
|
|
|||
2 |
1 |
1 |
35 |
1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
(проверьте!). Значит, rang B 3 и, следовательно, эта система несовместна.
Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что система n уравнений с n неизвестными с отличным от нуля определителем всегда совместна. Её единственное решение можно получить по правилу Крамера. В частности, однородная система уравнений, у которой все правые части равны нулю, а определитель не равен нулю, имеет единственное так называемое тривиальное решение.
Совместная система m уравнений с n неизвестными обладает единственным решением тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен числу неизвестных. Поясним это на следующем примере.
x y z 0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
Пример 3. 2x y z 3 |
|
|
|||||
Минор |
2 |
1 |
1 |
3 0 , |
|||
x 3y 2z 1 |
|
1 |
3 |
2 |
|
||
|
2x 5y 4z |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
[Введите текст]
поэтому rang A 3. Вычислим минор четвёртого порядка расширенной матрицы B
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
||||
2 |
1 |
1 |
3 |
|
1 |
3 |
2 |
1 |
|
2 |
5 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
(сложим третий столбец последовательно с первым, вторым столбцами)
|
|
0 |
1 |
0 |
|
3 |
0 |
3 |
|
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
3 |
0 |
1 |
3 |
|
|
|||
|
= |
3 1 |
1 |
= |
|||||
|
3 |
1 |
2 |
1 |
|
6 |
1 |
4 |
|
|
6 |
1 |
4 |
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(вычитая из первого столбца третий, получим)
|
0 |
0 |
3 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|||||
= |
2 |
1 |
1 |
= 3 |
0 , |
||
|
2 |
1 |
4 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
значит, rang B 3. Система совместна и число неизвестных совпадает с ран-
гом. Как найти ее решения? Нужно выписать те уравнения системы, которые дают отличный от нуля минор третьего порядка (так называемый базисный минор). В данном случае это три первых уравнения. Проверьте, что единственным решением системы этих уравнений будет (1, 2, 3) и оно удовлетворяет и оставшемуся уравнению. Это следует из того, что определитель расширенной матрицы равен нулю и, следовательно, элементы ее четвертой строки являются линейными комбинациями соответствующих элементов первых трех строк (см. свойство 9 определителей).
x 2 y z 3 |
|
|
Пример 4. x 3y z 1 , |
A 0 , |
rang A 2 . |
3x 4 y z 5 |
|
|
|
|
|
Из расширенной матрицы можно составить три минора третьего порядка (столбец свободных членов последовательно подставляется вместо коэффициентов при неизвестных). Убедитесь, что все они равны нулю. Значит,
rang B 2 . Система совместна, но ранг матрицы A меньше числа неизвест-
ных, поэтому система имеет бесчисленное множество решений. Как их найти? Выписываем уравнения, «дающие» базисный минор, оставляя в левой
33
[Введите текст]
части число неизвестных, равное рангу матрицы (причём оставляем те неизвестные, которые «входят» в базисный минор)
x 2 y z 3x 3y 1 z
Решаем эту систему, считая z произвольным параметром
x |
1 |
|
|
z 3 |
2 |
|
|
11 z |
|||
|
|
||||||||||
|
|
1 |
z |
3 |
|
|
|
||||
5 |
|
5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
1 |
|
|
3 z |
|
|
|
2(z 1) |
|||
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
1 |
1 z |
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
|
|
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сформулируем теперь общее правило, по которому решается совместная система линейных уравнений. Пусть rang A= r .
Отыскиваем базисный минор порядка r (он получается при нахождении ранга матрицы).
Выбираем r уравнений, «породивших» базисный минор (остальные отбрасываем).
Неизвестные, «входящие» в базисный минор, оставляем слева, а остальные n r называем свободными и переносим в правые части уравнений.
Решаем полученную систему r уравнений r с неизвестными. Из этого правила следует, что в случае, когда ранг совместной системы
меньше, чем число неизвестных, то эта система имеет бесконечно много решений. В частности, однородная система n уравнений с n неизвестными и равным нулю определителем, т.е. когда
rang A rang B n ,
кроме тривиального имеет ненулевые решения.
34
[Введите текст]
Раздел 2. Векторная алгебра
Лекция 5. Векторы и линейные операции над ними
5.1. Основные понятия и определения. Понятие вектора сформиро-
валось в физике, точнее в механике. Скорость, ускорение, сила определяются величиной и направлением и называются векторными величинами. Масса, объем, температура и т.п. определяются численным значением и называются скалярами или скалярными величинами. Вектор – это направ-
ленный отрезок. Обозначается вектор символом a или AB , где точка A
– начало, а B – конец.
Рис 5.1.
Длиной или модулем вектора называется расстояние между его нача-
лом и концом и обозначается | AB | или | a |.
Если начало и конец вектора совпадают, то он называется нулевым вектором 0 .
Векторы называются коллинеарными a || b , если они параллельны одной прямой.
Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости (очевидно, что любые два вектора компланарны).
Два вектора a и b равны, если они коллинеарны , одинаково направ-
лены a b |
и их длины равны | a | | b |. Отсюда следует, что при переме- |
щении вектора параллельно самому себе получим равный ему вектор. Единичным вектором или ортом называется вектор, модуль кото-
рого равен единице | a | 1 .
5.2. Линейные операции над векторами. Произведением вектора a на число k называется вектор b k a , который:
имеет длину | b | | k | |a |
35
[Введите текст] |
|
|
|
||
|
коллинеарен вектору a ( b |
|
|||
|
a ); |
||||
|
если |
k 0 , то |
b a ; |
||
|
если |
k 0 , то |
b a ; |
||
|
если |
k 0 , то |
b 0 . |
|
|
|
|
Рис 5.2 |
|
Свойства этой операции: |
1) |
k a a k ; |
2) k(la) (kl)a ; |
||
3) (k l)a ka la ; 4) |
k (a b) ka kb . Последнее свойство иллю- |
||||
стрирует следующий рисунок, где |
k 2 . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.3
Вектор b ( 1) a a называется противоположным вектору a . По определению операции умножения вектора на число вектор b k a коллинеарен вектору a . Покажем, что имеет место обратное утверждение: если два вектора коллинеарны ( a || b ), то существует такое число k 0 , что b k a , и это число с точностью до знака равно отношению длин этих векторов. Действительно, в случае, если a b , возьмем k | b | / | a | . Тогда векторы b и k a направлены в одну сторону и их длины равны, т.е. b k a
. В случае a b выберем k | b | / | a |.
36
[Введите текст]
Суммой двух векторов a и b называется вектор c a b , получаемый по одному из следующих правил.
Правило треугольника: начало вектора b совмещается с концом вектора a , тогда начало вектора c совпадает с началом вектора a , а конец
– с концом вектора b (рис 5.4).
Рис. 5.4
Из рисунка ясно, что порядок слагаемых может быть любой, т.е.
a b b a .
Отсюда следует правило параллелограмма: на векторах a и b , имеющих общее начало, строится параллелограмм, тогда начало вектора c сов-
падает с общим началом векторов a и b , а конец – с противоположной вершиной параллелограмма (рис. 5.5).
Рис. 5.5
Для суммы справедлив сочетательный закон (a b) c a (b c ) .
Заметим, что векторы не обязаны быть расположенными в одной плоскости (см. рис. 5.6).
37
[Введите текст]
Рис. 5.6
Отметим также операцию сложения с нуль-вектором
a 0 0 a a
Разность векторов a и b определяется через введенные выше операции следующим образом
a b a ( b)
Рис. 5.7
5.3. Проекция вектора на ось. Напомним, что проекцией точки M
на ось L в пространстве называется точка M1 пересечения оси L и плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно этой оси (рис. 5.8).
38
[Введите текст]
Рис. 5.8
Проекцией вектора AB на ось L называется число ПрL AB , равное по модулю расстоянию между проекциями начала и конца вектора AB на
ось L , и взятого со знаком плюс, если направление вектора A B совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если они направлены в противоположные стороны.
|
Рис. 5.9 |
Из рисунка ясно, что ось |
L и вектор AB можно считать расположен- |
ными в одной плоскости П. |
Далее будем считать её совпадающей с плос- |
костью чертежа. Под углом |
между осью L и вектором AB будем |
понимать меньший из углов, который отсчитывается от направления оси до направления вектора. При этом луч, совмещающий направление оси с
направлением вектора поворачивается на угол 0 1800 .
Теорема. Пусть вектор AB составляет с направлением оси L угол
. Тогда верна формула
ПрL AB AB cos .
39