10298
.pdfПолучим уравнение плоскости, проходящей через три заданные
точки M1 (x1, y1, z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) , M 3 (x3 , y3 , z3 ) . Пусть M (x, y, z) – произ-
вольная точка плоскости П .
M2
M
M3
Рис. 11.7
Тогда три вектора M1M , M1M 2 , M1M 3 будут компланарными и, следовательно, их смешанное произведение равно нулю
x x1 |
y y1 |
z z1 |
|
|
|||
x2 x1 |
y2 y1 |
z2 z1 |
0 . |
x3 x1 |
y3 y1 |
z3 z1 |
|
Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, приведем его к линейному уравнению относительно x, y, z вида (11.2).
11.2. Взаимное расположение двух плоскостей. Пусть заданы две плоскости П1 и П2 уравнениями(см. рис. 11.8).
A1x B1 y C1z D1 0 , A2 x B2 y C2 z D2 0 .
Рис. 11.8
80
Найдем угол между ними в предположении, что они пересекаются. Пересекаясь, плоскости образуют две пары равных двугранных углов. Углом
между плоскостями |
П1 и П2 будем считать меньший из этих двугранных |
углов (см. рис. 11.8).Выразим угол между плоскостями через угол |
|
между нормальными к ним векторами N1 A1, B1,C1 и N2 A2 , B2 ,C2 . |
|
Если угол острый, то |
(как углы с взаимно перпендикулярными сто- |
ронами). Если же угол |
– тупой, то (см. рис. 11.8 b) ), поэтому |
cos cos . В итоге для вычисления угла |
между плоскостями имеем |
||||||||
формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| N1, N 2 | |
|
|
| A1 A2 B1B2 C1C2 | |
|||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
| N1 | | N 2 | |
A12 B12 |
C12 |
A12 B12 C12 |
В частности, условие перпендикулярности и условие параллельностидвух плоскостейимеют вид
П1 П2 A1 A2 B1B2 С1С2 0 ;
П1 П2 A1 B1 С1 . A2 B2 С2
В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство
A1 |
|
B1 |
|
C1 |
|
D1 |
, |
(11.4) |
|
A2 |
B2 |
C2 |
D2 |
||||||
|
|
|
|
|
то эти плоскости совпадают.
Аналогично понятию пучка прямых на плоскости существует понятие
пучка плоскостей, проходящих через линию пересечения двух задан-
ных плоскостей.В частности, им удобно пользоваться, когда нужно найти плоскость, проходящую через линию пересечения данных плоскостей и удовлетворяющую некоторому дополнительному условию. Уравнение пучка плоскостей имеет вид
( A1x B1 y C1z D1 ) ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0 . (11.5)
Действительно, уравнение (11.5) – уравнение плоскости. Так как координаты любой точки, принадлежащей линии пересечения П1 и П2 , об-
ращают в ноль обе скобки в (11.5), то при любом эта плоскость проходит через линию пересечения этих плоскостей.
81
11.3. Расстояние от точки до плоскости. Пусть требуется вычислить расстояние отточки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax By Cz D 0 .
Рис. 11.9
Пусть M1 (x1, y1, z1 ) – проекция точки M 0 наданную плоскость(см. рис. 11.9). Искомое расстояние равно абсолютной величине проекции вектора M1M 0 на направление нормального вектора N A, B,C :
d |
|
ПрN M1M |
0 |
|
|
| N ,M1M 0 | |
|
|
|
A( x0 x1 ) B( y0 |
y1 ) C( z0 |
z1 ) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| N | |
|
|
|
|
|
|
| N | |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax0 By0 Cz0 Ax1 By1 Cz1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| N | |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как точка M1 (x1, y1, z1 ) |
|
|
принадлежит плоскости, то Ax1 By1 Cz1 D |
|||||||||||||||||||||
,поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
Ax0 By0 Cz0 |
D |
|
. |
(11.6) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2 C2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём координаты точки M1 (x1, y1, z1 ) . Для этого выразим вектор
M1M 0 через найденное расстояние d и единичный вектор | N1 | N , нормаль-
ный кплоскости
M1M 0 |
d |
N . |
(11.7) |
|
| N |
82
Из формулы (11.6) видно, что знак проекции вектора M1M 0 |
определяется- |
||||||||||||||||
знаком выражения Ax0 By0 Cz0 D , т.е., если |
|
Ax0 By0 Cz0 D 0 , то |
|||||||||||||||
M1M 0 N , и в формуле (11.7) нужно взять знак «плюс». |
|
||||||||||||||||
Пример.Найти проекцию начала координат на плоскость |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3x 2 y z 7 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть M1 (x1, y1, z1 ) – |
проекция точки (0,0,0) наданную |
плоскость(см. |
|||||||||||||||
рис.11.10). Вычисляем расстояние точки (0,0,0) до плоскости |
|||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
1.9 |
|
|||
|
|
|
3 0 2 0 1 0 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 4 9 |
14 |
|
|
|
|||||||||
Отсюда следует, что |
M1O { x1, y1, z1} N {3, 2, 1} |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11.10
Из равенства (11.7), взятого со знаком плюс, имеем
{ x , y , z } |
|
7 |
|
|
{3, |
2, 1} |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
1 |
1 |
14 |
14 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Отсюда находим M1 ( 1.5,1,0.5) .
83
Лекция 12. Прямая линия в пространстве
12.1. Различные виды уравнений прямой. Пусть в трехмерном про-
странстве с декартовой прямоугольной системой координат имеем прямую L , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой её точки. Пусть M 0 (x0 , y0 , z0 ) – некоторая фиксированная точка этой прямой и
S {m, n, p} – вектор, параллельный прямой L , называемый направляю-
щим вектором этой прямой
Рис. 12.1
Возьмем на прямой L произвольную точку M (x, y, z) . Рассмотрим
следующие |
векторы |
M0M {x x0 , y y0 , z z0}, r {x0 , y0 , z0}и |
r {x, y, z}. |
Очевидно, что векторы M 0M и S коллинеарны, поэтому су- |
|
ществует число t такое, что |
M0M t S , т.е. |
|
|
r r0 t S . |
(12.1) |
Записывая равенство (12.1) в координатах, получим так называемые пара-
метрические уравнения прямой в пространстве
x x0 |
mt |
|
|
|
|
y y0 nt |
(12.2) |
|
|
p t |
|
z z0 |
|
Ясно, что при изменении значения параметра t в пределах от до точка M (x, y, z) «пробегает» всю прямую L . В частности, при t 0 урав-
нения (12.2) дают координаты точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) .
84
Выразим параметр t из каждого уравнения (12.2), приравняем друг другу полученные выражения и придем к так называемым каноническим
уравнениям прямой в пространстве
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
. |
(12.3) |
|
|
|
||||
m |
|
n |
|
p |
|
Заметим, чтона плоскости xOy каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 ) с направляющим вектором S {m, n} , имеет вид
x x0 y y0 .(12.4) m n
Обратим внимание, что уравнения (12.3) представляют собой краткую запись трёх равенств. Рассмотрим, например, одно из них(12.4). Это уравнение плоскости, параллельной оси O z . Так как координаты любой точки пря-
мой (12.3) удовлетворяют уравнению (12.4), то прямая L лежит в этой плоскости
Рис.12.2
Линия пересечения плоскости (12.4) с плоскостью xOy является проекцией
прямой L на эту координатную плоскость.
Рассматривая совместно пару равенств из (12.3) , например,
x x |
|
|
|
y y |
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
m |
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
x x |
|
|
|
z z |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
p |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
получим уравнение прямой L в виде линии пересечения двух плоскостей.
В общем случае уравнения прямой как линии пересечения двух непараллельных плоскостей П1 и П2 имеют вид
85
A1x B1 y C1z D1 |
0 |
(12.5) |
|
|
|
A2 x B2 y C2 z D2 |
0 |
|
Приведём конкретный пример задания прямой в таком виде (см. рис. 2.3).
Рис. 12.3
Выше был показан переход от канонических уравнений прямой к уравнениям вида (12.5). Покажем, как из уравнений (12.5) получить канонические уравнения этой прямой. Для этого надо найти какую-нибудь одну точку прямой L и её направляющий вектор. Для нахождения координат точки решим систему двух уравнений (12.5) относительно двух переменных, коэффициенты перед которыми образуют базисный минор, фиксируя при этом третью переменную. Совместность этой системы уравнений, а значит, и наличие такого минора, гарантируется предположением о том, что плоскости П1 и П2
не параллельны. Пусть, например,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
B1 |
0 , |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
C1z D1 |
B1 |
|
|
|
|
|
A1 |
C1z D1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
C2 z D2 |
B2 |
|
, |
y |
|
|
A2 |
C2 z D2 |
|
|
. |
(12.6) |
||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскрывая определители в этих выражениях, представим решения си- |
|||||||||||||||||
стемы (12.5) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x z , |
y z . |
|
||||||||
Будем рассматривать переменную |
z в качестве параметра, выразим её |
||||||||||||||||
из полученных равенств и запишем их в виде |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
. |
(12.7) |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
Таким образом, координаты точек прямой L , заданной уравнениями (12.5), удовлетворяют уравнениям (12.7), которые можно рассматривать как канонические уравнения этой прямой. В частности, точка ( , ,0) лежит на
этой прямой, а S { , ,1} – её направляющий вектор.
Возможен и другой путь получения канонических уравнений прямой из уравнений прямой как линии пересечения двух плоскостей П1 и П2 , за-
данных уравнениями (12.5)
|
|
Рис. 12.4 |
|
|
|
|
Очевидно, что в качестве направляющего вектора S {m, n, p} прямой |
L |
|||||
можно взять векторное произведение |
векторов |
N1 {A1, B1,C1} |
и |
|||
N2 {A2 , B2 ,C2}, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||
S N1 N2 |
A1 |
B1 |
C1 |
mi n j pk , |
|
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а координаты какой-нибудь точки этой прямой получим, решая систему (12.5) при фиксированном значении переменной z (например, z 0 ).
Получим уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки M1 (x1, y1, z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) . Очевидно, что направляющим
вектором этой прямой может служить вектор |
M1M2 {x2 x1, y2 y1, z2 z1} |
||||||
, и тогда канонические уравнения примут вид |
|
||||||
|
x x1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
. |
(12.8) |
|
|
|
|
||||
|
x2 x1 |
y2 y1 |
z2 z1 |
|
|||
|
|
|
|
|
87 |
|
12.2. Проекция точки на прямую и расстояние от точки до прямой в пространстве. Пусть прямая задана каноническими уравнениями
x x1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
. |
|
|
|
|||
m |
|
n |
|
p |
Обозначим через M 2 (x2 , y2 , z2 ) проекцию точки M 0 на данную пря-
мую (см. рис. 12.5). Напомним, что проекцией точки M на ось L в пространстве называется точка M1 пересечения оси L и плоскости, проходящей
через точку M 0 перпендикулярно этой оси.
Рис.12.5
Требуется найти координаты точки M 2 и расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до этой прямой. Искомая точка будет найдена, если мы найдем вектор M1M 2 , который коллинеарен вектору S {m, n, p} и имеет длину, рав-
ную модулю проекции |
вектора M1M0 {x0 |
x1, y0 y1, z0 z1} на вектор S . |
||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПрS M1M0 |
M1M0 |
, S |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
| S | |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1M2 |
|
M1M0 , S S |
.(12.9) |
|
|
|
|
|||
| S | |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
| S | |
|
|
|
|
Поэтому искомое расстояние вычисляется по формуле
88
d | M1M0 M1M2 | | M1M0 M1M0 , S S | . | S |2
Пример. Вычислить расстояние точки M 0 (2, 1,3) до прямой
x y 7 z 2 3 5 2
и найти её проекциюна эту прямую.
Выберем точку на прямой M1 (0, 7, 2) , тогда M1M 0 {2,6,1}. Вычислим скалярное произведение M1M 0 , S 38 , квадрат модуля | S |2 38
направляющего вектора S {3,5, 2}, |
и |
по формуле |
(12.9)получим |
|||
M1M 2 {3,5, 2}: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d | 2i 6 j k (3i 5 j 2k ) | | i j k | 3 . |
||||||
Координаты проекции |
точки |
M 2 (x2 , y2 , z2 ) находим |
из равенства |
|||
M1M 2 {x2 0, y2 7, z2 |
2} M 2 (3, 2, 4) , |
поэтому окончательно получаем |
||||
M 2 (3, 2, 4) . |
|
|
|
|
|
|
В частности, таким способом можно находить расстояние между параллельными прямыми в пространстве как расстояние от точки, взятой на одной прямой, до другой прямой.
12.3. Пересечение прямых в пространстве. Пусть двепрямые L1 и L2
заданы каноническими уравнениями
L : |
x x1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
, |
L : |
x x2 |
|
y y2 |
|
z z2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
m1 |
|
n1 |
|
p1 |
2 |
m2 |
|
n2 |
|
p2 |
||
|
|
|
|
|
|
Выясним условия пересечения этих прямых. Предполагаем, что направля-
ющие векторы этих прямых S1 {m1, n1, p1} и S2 {m2 , n2 , p2} не коллинеарны, что исключает случаи параллельности или совпадения этих прямых, и, кроме того, точки M1 (x1, y1, z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) различные (см. рис.12.6).
89