10294
.pdfРис. 26.3
Из формул (26.4) ясно, что точка Oўв исходной системе имеет координаты (- 1;2). На рисунке 26.3 отражено построение, соответствующее такому преобразованию.
26.5. Преобразование поворота системы координат. Повернём исходную систему координат xO y вокруг начала координат на угол j
(положительным считается поворот против часовой стрелки) в положение
Oxўyў (рис. 26.4).
Рис. 26.4
Пусть точка M имеет в исходной системе координаты (x; y) и координаты (xў; yў) в «новой» системе координат O xўyў. Чтобы установить
связь между исходными и новыми координатами точки M , выполним дополнительные построения. Через A и B обозначим проекции точки M на координатные оси O x и O y , а через D и C — проекции её на оси O xў и
O yў (рис. |
26.4). Из точки D опустим перпендикуляры на отрезок AM |
(основание |
перпендикуляра — точка F ) и ось O x (основание |
|
190 |
перпендикуляра – точка Dў). Тогда из геометрических соображений получаем, что
x = |
|
OA |
|
= |
ODў- |
|
ADў= |
ODў- |
|
FD |
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin j = xўcos j |
|
|
- yўsin j , |
||||||||||||
= |
OD |
cos j - |
MD |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DDў+ |
|
|
|||||||||||||
y = |
AM |
= |
|
AF |
|
+ |
FM |
= |
MF |
= |
||||||||||||||
|
|
|
cos j = xўsin j |
|
+ yўcos j . |
|||||||||||||||||||
= |
OD |
sin j |
+ |
MD |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, формулы, выражающие исходные координаты (x; y)
произвольной точки M через её новые координаты при повороте осей на угол j , имеют вид
м |
ў |
- |
ў |
|
пx = |
x cos j |
y sin j |
|
|
п |
|
|
|
(26.5) |
н |
ў |
|
ў |
|
п |
+ |
|
||
опy = x sin j |
y cos j |
|
Исходная система xO y получается поворотом новой системы O xўyў
на угол |
- j |
. Поэтому, |
если в |
|
равенствах (26.5) поменять |
местами |
|||||||||||||||||
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исходные и новые координаты, заменяя |
|
|
одновременно |
j |
|
на |
- j |
, то |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
можно |
выразить новые |
координаты |
точки |
M |
|
через |
|
её |
исходные |
||||||||||||||
координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м ў |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
y sin j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п x = x cos j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
п ў |
|
x sin j |
+ |
y cos j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
опy = - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
||
Рассмотрим, например, уравнение |
|
эллипса |
|
|
+ |
|
|
|
= 1. |
Оно не |
|||||||||||||
|
2 |
|
4 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
является каноническим, поскольку в |
нём a b . |
Чтобы |
поменять |
оси |
|||||||||||||||||||
местами, выполним поворот на угол |
|
j = 900 |
и |
|
перейдём к системе |
||||||||||||||||||
|
|
ў ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подставим |
|
cos 0 и |
|||||||
координат Оx y (рис. 26.5). В формулы (26.5) |
|
||||||||||||||||||||||
sin 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
y |
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
пx = - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
y = xў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь, действительно, получилось каноническое уравнение |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
xў |
+ |
|
yў |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
191 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 26.5 |
|
|
|
|
|
|
Аналогично рассмотренному примеру для приведения |
уравнения |
|||||
|
y2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 к каноническому виду тоже выполним поворот на угол j = 900 |
||||
|
b2 |
a2 |
||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
y 2 |
||
В новой системе координат уравнение приобретёт вид |
|
|
|
1. Оно |
||||
b2 |
a2 |
определяет гиперболу, вершины и фокусы которой лежат на оси Oy . Эта
гипербола называется сопряжённой по отношению к гиперболе (25.3). Они имеют одинаковые асимптоты (рис. 26.6).
Рис. 26.6
192
Для знакомого по школьной программе уравнения параболы y = x2 выполним тот же поворот на угол j = 900 (рис. 26.7) и получим в новых координатах каноническое уравнение xў= yў2 .
Рис. 26.7
Для приведения уравнения xy 3 к каноническому виду рассмотрим поворот на угол j = 450 . Подставив в формулы (26.5) cos 450 sin 450 22
и |
проделав соответствующие преобразования, получим в новой системе |
|||||
координат каноническое уравнение |
равносторонней гиперболы |
|||||
2 |
|
2 |
|
|
||
|
xў |
- |
yў |
= 1. Её асимптотами являются исходные оси координат O x и Oy |
||
6 |
6 |
|||||
|
|
|
(рис. 26.8).
Итак, преобразования поворота и (или) параллельного переноса осей координат используются для того, чтобы уравнение (26.2) в новой системе координат приобрело канонический вид. Проанализируем возникающие ситуации. Для этого рассмотрим коэффициенты A и C при квадратах переменных в канонических уравнениях основных линий и найдём их
произведение. |
Для канонического уравнения эллипса |
A |
1 |
, |
C |
1 |
, т.е. |
||||||
a2 |
b2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
произведение |
AC 0 ; для гиперболы |
A |
1 |
, |
C |
1 |
, т.е. |
|
AC 0; для |
||||
a2 |
b2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параболы A 0 , C 1, т.е. AC 0 . Остальные виды канонических уравнений можно распределить по типам таким образом, чтобы для каждого из уравнений первого типа число AC было положительно, отрицательно для второго и равно нулю для уравнений третьего типа.
193
Рис. 26.8
Тогда получаем классификацию:
I. Эллиптический тип |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 (эллипс), |
|||
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= 0 (точка), |
||||||
|
|
a2 |
|
b2 |
||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|||||||||
3) |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= - 1 (пустое множество). |
||||||
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
||||||||||||||
II. Гиперболический тип |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
||||||||||||
4) |
|
|
- |
|
|
|
|
= 1 |
(гипербола), |
|||||||||||
a2 |
|
b2 |
||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|||||||||||
5) |
|
- |
|
|
|
= 0 |
(пара пересекающихся прямых). |
|||||||||||||
a2 |
|
b2 |
III. Параболический тип
6)y2 = 2 px (парабола),
7)y2 = a2 (пара параллельных прямых),
8)y2 = 0 (прямая),
9)y2 = - a2 (пустое множество).
194
Полученную классификацию можно использовать в любой задаче, связанной с уравнением второго порядка – даже если, например, в нём B 0
. Оказывается, по исходным коэффициентам уравнения (26.2), которые присутствуют в конкретной задаче, можно сразу определить, к какому типу
относится линия, задаваемая этим уравнением: |
|
|
|
|||
I. |
Если AC B2 |
0 , то уравнение задаёт линию, |
относящуюся к |
|||
эллиптическому типу. |
|
|
|
|
|
|
II. |
Если AC B2 |
0 , то уравнение задаёт линию, |
относящуюся к |
|||
гиперболическому типу. |
|
|
|
|
|
|
III. |
Если AC B2 |
0 , то уравнение задаёт линию, |
относящуюся к |
|||
параболическому типу. |
|
|
|
|
|
|
Например, уравнение xy 3 , в котором |
A C 0, |
2B 1, задаёт линию |
||||
гиперболического типа, так как в этом случае |
AC B2 |
1 |
|
0 . |
||
|
|
|
|
4 |
|
Итак, мы проделали необходимую работу, чтобы полностью разобраться с построением линий во всех ситуациях, к которым приводит уравнение второго порядка (26.2). Сначала определяем тип линии, задаваемой уравнением. Далее приводим его к каноническому виду, выполняя рассмотренные преобразования координат.
195
Лекция 27. Поверхности второго порядка
Переходим к изучению поверхностей в трехмерном пространстве. Будем рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями, включающими вторые степени текущих координат x , y и z или их взаимное
произведение. Уравнение вида
Ax2 By2 Cz2 2Dxy 2Exz 2Fyz 2Gx 2Hy 2Kz L 0 , (27.1)
где коэффициенты A, B,C, D, E ,F ,G , H , K иL — любые действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел A, B или C отлично от нуля (т.е.
A2 B2 C2 0 ), называется общим уравнением поверхности второго
порядка.
Также как и для кривых второго порядка, для поверхностей второго порядка существует полная классификация. С помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат (теперь уже выполняемых в пространстве) любое уравнение второго порядка может быть приведено к одному из семнадцати видов. Этим уравнениям в пространстве отвечают классические поверхности: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, конус, эллиптический и гиперболический параболоиды, а также целая группа поверхностей, называемых цилиндрическими.
27.1. Цилиндрические поверхности. Поверхность, состоящая из параллельных прямых (так называемых образующих), проходящих через каждую точку заданной линии L (направляющей), называется
цилиндрической поверхностью. Образно можно представить, что цилиндрические поверхности образуются движением прямой, которая
перемещается в пространстве вдоль |
кривой L , сохраняя |
постоянное |
||
направление (рис. 27.1). |
|
|
||
В |
качестве |
направляющей |
цилиндрической |
поверхности |
рассмотримрасположенную в плоскости xOy линию L , которая задаётся
уравнением F(x, y) 0 . Пусть M0 (x0 , y0 ,0) – |
произвольная точка |
направляющей (рис. 27.1). Тогда F (x0 , y0 ) 0 . |
Если рассматривать |
цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны координатной оси Oz , то уравнение образующей, проходящей через точку M0 (x0 , y0 ,0) ,примет вид
x x |
|
|
|
0 |
. |
y y0
196
Рассмотрим произвольную точку M (x0 , y0 , z0 ) этой образующей. Её координаты удовлетворяют уравнению F (x, y) 0 при любом значении переменной z . Точка M0 (x0 , y0 ,0) выбиралась произвольно, поэтому можно
утверждать, что координаты всех точек цилиндрической поверхностиудовлетворяют уравнению F (x, y) 0 .
|
|
Рис. 27.1 |
|
Ясно, |
что |
уравнение вида F (x, z) 0 задаёт |
цилиндрическую |
поверхность с |
образующими, параллельными оси Oy , а уравнение вида |
||
F ( y, z) 0 |
задаёт цилиндрическую поверхность с |
образующими, |
|
параллельными оси O x . |
|
Рис. 27.2
Если направляющей цилиндрической поверхности является кривая второго порядка, то поверхность называется цилиндрической поверхностью
197
второго порядка (или цилиндром второго порядка). В зависимости от конкретного вида уравнения получаются различные типы цилиндров второго порядка. Их названия соответствуют названиям направляющих линий L .
Например, уравнение |
x2 |
|
y2 |
1 задаёт в пространстве |
a2 |
b2 |
цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz .Его направляющей является эллипс, а поверхность, задаваемая этим уравнением, называется эллиптическим цилиндром (рис. 27.2). Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр. Его
уравнение в каноническом виде имеет вид x2 + y2 = R2 .
Уравнение |
вида |
|
|
x2 2 py определяет |
в |
пространстве |
|
параболический цилиндр (рис. 27.2). |
|
|
|||||
Уравнение вида |
y2 |
|
x2 |
1определяет в пространстве |
|
||
b2 |
a2 |
|
гиперболический цилиндр (рис. 27.3).
Рис. 27.3
27.2. Поверхности вращения образуются вращением какой-либо плоской линии L (образующей) вокруг прямой (оси поверхности вращения), расположенной в плоскости этой линии. Примером служит сфера: её можно рассмотреть как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг её диаметра. Покажем, как можно получить уравнение поверхности вращения, исходя из уравнения образующей (лежащей в одной из координатных плоскостей) и уравнения оси вращения (совпадающей с одной из координатных осей, расположенных в той же плоскости).
198
Будем вращать расположенный в плоскости yOz эллипс с уравнением
|
y2 |
|
z2 |
1 вокруг |
координатной оси Oz . Полученную поверхность |
|
b2 |
c2 |
|||
рассечём плоскостью, |
параллельной координатной плоскости xOy и |
проходящей через фиксированную точку O (0, 0, z) (рис. 27.4).
|
|
|
Рис. 27.4 |
|
|
Пусть |
M (x, y, z) |
– произвольная точка поверхности вращения, |
|||
лежащая |
в |
плоскости |
сечения. Рассмотрим в плоскости |
yOz |
точку |
поверхности |
M (0, y , z) . Еёордината по абсолютной величине |
равна |
|||
радиусу окружности, на |
которой лежит точка M (x, y, z) , т.е. |
O M O M , |
|||
поэтому |
x2 y2 y 2 . |
Находящаяся в плоскости yOz точка M (0, y , z) |
принадлежит и плоскости сечения, и исходному эллипсу. Это означает, что
её координаты удовлетворяют уравнению |
y 2 |
|
|
z2 |
1.Подставляя в это |
||||
b2 |
|
c2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
уравнение выражение y через x и y , получим |
|
x2 |
|
|
y2 |
|
z2 |
1. Это и есть |
|
b2 |
b2 |
c2 |
искомое уравнение поверхности вращения, называемой эллипсоидом вращения.
Если вращать эллипс |
y2 |
|
z2 |
1 |
вокруг оси Oy , получится другой |
|||||||
b2 |
c2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
эллипсоид вращения (рис. 27.5) с уравнением |
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1. |
||||||
с2 |
b2 |
c2 |
199