9521

закона.

______________

Пример. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X , заданной следующим законом распределения:

Решение. Сначала найдём математическое ожидание случайной величины X :

M(X ) ( 0,1) 0,1 ( 0,01) 0,2 0 0,4 0,01 0,2 0,1 0,1 0 .

Теперь настала очередь дисперсии:

D( X ) ( 0,1 0)2 0,1 ( 0,01 0)2 0,2 (0 0)2 0,4 (0,01 0)2 0,2 (0,1 0)2 0,1

0,00204

исреднего квадратического отклонения:

(X ) D(X ) 0,00204 0,04517.

Пример. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение равномерно распределённой на отрезке [0;10] случайной величины X .

Решение. Поскольку математическое ожидание этой случайной величины X мы нашли ранее (M(X ) 5) , а её плотность распределения вероятностей имеет вид:

то дисперсия её считается следующим образом:

Отсюда среднее квадратическое отклонение для случайной величины X равно:

( X ) D( X ) 8,333 2,89 .

4. Свойства дисперсии

Свойство 1o . Дисперсия постоянной величины равна нулю:

X const C D(X ) D(C) 0.

т. е. при 200 м .

Заметим: если предположить, что дальность распределена по нормальному закону, то:

P( R M (R) ) 1 2Ф( ) 0,01 ,

существенно уточняет круг безопасности!

__________________

На рис. 8.1 показан геометрический смысл основных числовых характеристик случайной величины.

Рис. 8.1. Геометрическая иллюстрация понятий математического ожидания М ( X ) mх

или среднее ожидаемое значение величины и геометрически оно изображается как координата центра тяжести фигуры, образованной осью х и линией функции (х) . Дисперсия D( X ) 2x и среднее квадратическое отклонение ( X ) x характеризуют

средний ожидаемый разброс (широту, изменчивость) значений величины возле математического ожидания. Наиболее вероятное значение случайной величины явля-

ется ее мода mod X , оно соответствует максимуму функции (х) .

5. Моменты распределения случайной величины

Для описания распределения случайной величины иногда недостаточно только знания математического ожидания и дисперсии. Для более полного описания необходимо ввести еще ряд числовых характеристик распределения, и такими характеристиками могут быть моменты высших порядков.

А именно, начальный теоретический момент порядка k

Аk ( X ) xk (x) dx

и центральный теоретический момент порядка k

Вk ( X ) (x M ( X ) )k (x) dx .

В1 ( X ) 0 , В 2 ( X ) D( Х ) .

Втехнических приложениях часто используются моменты 3-го и 4-го порядка, где они (безразмерные) имеют специальные названия:

Асимметрия случайной величины равна нулю у случайной величины симметричной относительно своего математического ожидания, а ее значение характеризует степень асиметрии ее распределения. Эксцесс равен нулю у нормальной случайной величины, а его значение характеризует степень отклонения от нормального закона распределения. Смысловое значение асиметрии («скошенности») и эксцесса («островершинности») иллюстрируется на рис.8.2.

Рис. 8.2. Геометрическая иллюстрация понятий асимметрии Аs и эксцесса Es

Лекция № 9

Закон больших чисел

Закон больших чисел (ЗБЧ) представляет собой ситуацию, когда совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, независящему от случая. Все основные формулы и выводы следующего раздела этих лекций (математической статистики) основаны на результатах ЗБЧ.

Мы рассмотрим здесь только некоторые важные теоремы, являющиеся яркими представителями в соответствующих областях и применяемые ниже, хотя число по-

где a M(X ) , 2 D( X ) параметры распределения.

Рис. 9.1. Плотность распределения нормальной случайной величины

Приведём формулировку одной из таких теорем (приводим без доказательства).

Смысл теоремы состоит в том, что чем сложней случайная величина, чем больше факторов, влияющих на ее значение, тем ближе она к нормально распределенной случайной величине.

Следствие. Если независимые случайные величины X1, X 2 , , X n имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии

Если количество испытаний велико, то частота события в испытании является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием, равным вероятности события.

Действительно, поскольку частота события n ( A) в силу центральной теоремы

при n является величиной нормальной, а в силу основных свойств математического ожидания и дисперсии имеет математическое ожидание М ( n ) p и дис-

персию D( n ) pq / n .

Всоответствии с формулами Муавра – Лапласа, величина отклонения частоты

ивероятности события имеет следующую вероятность:

для любого 0 .

Таким образом, с ростом количества испытаний частота события стремится к его вероятности.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Лекция № 10

Выборочный метод

Для установления закономерностей, которым подчинены случайные события и случайные величины, теория вероятности, как и любая другая наука, обращается к опыту – наблюдениям, измерениям, экспериментам. Результаты наблюдений за случайными величинами объединяются в наборы статистических данных. Задачей математической статистики, раздела современной теории вероятностей, является разработка методов сбора и обработки статистических данных, а также их анализа с целью установления законов распределения наблюдаемых случайных величин [8, 9].

1. Генеральная и выборочная совокупность данных

Генеральной совокупностью является набор всех мыслимых статистических данных, при наблюдениях случайной величины:

хГ {х1 , х2 , х3 ,......, хN } {xi ; i 1, N}.

Наблюдаемая случайная величина Х называется признаком или фактором выборки. Генеральная совокупность есть статистический аналог случайной величины, ее объем N обычно велик, поэтому из нее выбирается часть данных, называемая выборочной совокупностью или просто выборкой

Использование выборки для построения закономерностей, которым подчинена наблюдаемая случайная величина, позволяет избежать ее сплошного (массового) наблюдения, что часто бывает ресурсоемким процессом, а то и просто невозможным. Однако выборка должна удовлетворять следующим основным требованиям:

- выборка должна быть представительной, т.е. сохранять в себе пропорции генеральной совокупности,

- объем выборки должен быть небольшим, но достаточным для того, чтобы полученные результаты ее анализа обладали необходимой степенью надежности. В табл. 1 приводятся примеры генеральных и выборочных совокупностей.

Отметим, что в более строгом смысле выборку можно представить как много-

мерную случайную величину Х B {Х1 , Х 2 , Х 3 ,......, Х n } {Х i ; i 1, n}, у которой все компоненты Х i распределены одинаково и по закону распределения наблюдае-

мой случайной величины. В этом смысле выборочные значения хB есть одна из ре-

ализаций величины Х В .