9480
.pdf109
Спроектируем силу на плоскость перпендикулярную указанной оси. Умножив модуль полученной проекции на плечо, получим модуль момента. Знак момента укажем, руководствуясь правилом правого винта.
M Z Fa sin .
Ответ: Верным является четвертый ответ.
ЗАДАЧА 5
Решение
Система, изображенная на рисунке, представляет собой геометрически неизменяемую ферму (диск), которая закреплена на опорах неподвижно. Любые формы движения для нее невозможны.
Ответ: Верным является третий ответ.
ЗАДАЧА 6
Решение
Координату xС центра тяжести ломаного стержня определим по формуле:
|
n |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
xi Li |
|
|
|
|
0 L |
L |
|
|
|||
|
|
x1L1 |
x2 L2 |
|
2 |
|
L |
|
||||
x |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
. |
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
C |
|
L1 |
L2 |
L L |
|
|
4 |
|
||||
|
Li |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1
Ответ: Верным является второй ответ.
110
ЗАДАЧА 7
Решение
Проекция главного момента системы сил на ось Z равна сумме моментов сил системы относительно этой оси. Моменты первой и второй сил равны нулю, поскольку их линии действия пересекают ось (равны нулю плечи). Для вычисления момента третьей силы можно использовать теорему Вариньона о моменте равнодействующей, разбив силу F3 на составляющие по осям x и y. Модули полученных составляющих умножим на соответствующие плечи, выбрав знаки произведений в соответствии с правилом правого винта:
Mz n M z Fi M z F1 M z F2 M z F3 0 0 cF3 sin bF3 cos .
i 1
Ответ: Верным является третий ответ.
ЗАДАЧА 8
Решение
111
Вектора моментов пар М1 и М2 направлены перпендикулярно плоскостям, в которых расположены пары, а направление моментов
определяется правилом правого винта. Таким образом,
M результирующий вектор-момент геометрически совпадает с
1
диагональю прямоугольника, стороны которого равны 3 Нм и 4 Нм. Модуль этого момента равен
|
|
|
|
|
|
M M 2 |
M 2 |
32 42 5 Í ì |
|||
1 |
2 |
|
|
|
M |
Ответ: Верным является четвертый ответ. |
M1 |
ЗАДАЧА 9
Решение
Вектор-момент перпендикулярен плоскости, в которой лежат точка О и вектора F4 и F6 . Однако, в соответствии с правилом правого
винта, направление вектор момента силы F6 не будет совпадать с направлением показанного на рисунке вектора m0 . Следовательно вектор-момент m0 является моментом силы F4 .
Ответ: Верным является второй ответ.
112
ЗАДАЧА 10
Решение
Проекции главного момента MO относительно центра О на
координатные оси, как известно, можно получить просуммировав моменты всех сил системы относительно этих координатных осей:
|
X |
|
X i |
Y |
|
Y i |
Z |
|
Z i |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
M |
|
M F . |
M |
M F . |
M |
M F . |
|||
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
Чтобы вычислить момент силы относительно оси z, надо:
1.Спроектировать силу F на плоскость, перпендикулярную оси.
2.Найти модуль момента, для чего следует перемножить модуль проекции силы Fxy на ее плечо hxy относительно точки пересечения оси с плоскостью.
3.Выбрать знак в соответствии с правилом правого винта.
Вычислим три проекции главного момента:
MX n M X Fi F1 cos a F2 cos c.
i 1
MY n MY Fi F1 cos b F2 sin c.
i 1
MZ n MZ Fi F1 sin a F2 sin a.
i 1
Ответ: Значение проекции главного момента на ось x приведено во второй строке ответа, на ось y – в третьей строке ответа, на ось z – в первой строке ответа.
113
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ
ЗАДАЧА 11
Решение
Найдем проекции на координатные оси главного вектора:
n |
n |
n |
Rx Xi P P 2P 0, |
Ry Yi P P 0, |
Rz Zi P P 2P 0. |
i 1 |
i 1 |
i 1 |
Модуль главного вектора также равен нулю (3-й, 4-й и 5-й ответы неверны).
Найдем проекции на координатные оси главного момента:
n |
|
MX M X Fi Pa Pa 2Pa 0, |
|
i 1 |
|
n |
|
MY MY Fi |
Pa Pa Pa 2Pa 3Pa, |
i 1 |
|
n |
|
MZ MZ Fi |
Pa Pa Pa Pa. |
i 1 |
|
Модуль главного момента не равен нулю (6-й ответ неверен). При этом результирующая пара не дает момента относительно оси х (1-й ответ неверен).
Ответ: Верным является второй ответ.
ЗАДАЧА 12
Решение
114
Как известно, система из двух сил, приложенных в одной точке, имеет равнодействующую, равную их векторной сумме, и приложенную в той же точке.
Модуль этой равнодействующей можно определить с помощью теоремы косинусов по формуле
R F12 F22 2 F1 F2 cos .
где φ – угол меду исходными векторами.
Пусть, некая сила, модуль которой равен R, является равнодействующей двух приложенных в одной точке сил, модули которых равны Р.
Тогда
R |
P2 P2 2 P P cos |
èëè 12 1002 1002 2 1002 cos . |
Отсюда следует, что
cos |
19999 |
0.99995, и следо ват ельн о |
179 26 ' |
|
20000 |
||||
|
|
|
Ответ: Верным является четвертый ответ.
ЗАДАЧА 13
Решение |
|
|
|
|
|
|
Рассечем три стержня фермы так, как |
y |
|
N1 ? |
показано на рисунке. Отбросим правую часть |
|
|
N2 ? |
фермы, заменив ее действие неизвестными |
|
|
|
силами, возникающими в стержнях. Будем |
|
A |
60 |
x считать, что все три стержня растянуты. |
F |
|
||
|
|
Оставшаяся в рассмотрении часть |
|
|
|
N3 ? |
конструкции (так же как и вся конструкция в |
P |
|
|
целом) должна находиться в равновесии. |
Как известно, условие равновесия произвольной плоской системы сил включает в себя три уравнения:
n |
n |
n |
Fix 0, |
Fiy 0, |
M A Fi 0. |
i 1 |
i 1 |
i 1 |
Искомую силу N2 легко найти из второго уравнения этой системы:
115
|
|
|
|
|
|
|
N2 sin 60 P 0, î ò êóäà |
N2 |
P |
|
2P 3 |
. |
|
sin 60 |
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
Ответ: Верным является второй ответ.
ЗАДАЧА 14
Решение
y |
x |
|
|
|
|
|
Для определения веса груза Р составим |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
уравнение равновесия в виде ∑MА(F)=0: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∙ sin ∙ 3 − |
|
∙ |
3 − ∙ |
4 =0, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПР |
|
2 |
ТР |
3 |
||
|
q1 |
|
QÏ Ð |
|
где ПР |
и ТР – равнодействующие |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 P |
E |
|
|
|
|
|
прямоугольной и треугольной |
|||||||||||
|
|
|
|
|
составляющих распределенной |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
QTÐ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
нагрузки: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ПР |
= 1 ∙ 1м = 10 Н, |
|
|
||||||||
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
90 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
1 2 |
C |
|
|
|
ТР |
= |
∙ ( 2 − 1) ∙ 1м = 5 Н. |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
Учитывая, что α = 600, получим |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
следующее уравнение: |
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
√3 |
∙ 3 − 10 ∙ 3 |
− 5 ∙ 4 |
= 0, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
решая которое, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
30 |
|
20 |
2 |
|
130 |
130 |
|
|
|
|
|
||
|
= |
3√3 |
∙ |
( |
2 |
+ |
3 ) = |
3√3 |
∙ |
6 |
|
= 9√3 |
≈ 8.34 Н. |
|
Ответ: Верным является четвертый ответ.
ЗАДАЧА 15
116
Решение
Равнодействующая и уравновешивающая силы образуют уравновешенную систему сил, поэтому по аксиоме о равновесии двух сил они равны по модулю, действуют вдоль одной линии действия и направлены в противоположные стороны.
Ответ: Верными являются четвертое, пятое и шестое суждения.
ЗАДАЧА 16
Решение
Разобьем механизм на три диска: 1, 2 и 3, между которыми возникают силы взаимодействия в шарнирах А и В. Эти силы
взаимодействия 1−2, 2−1, 2−3, 3−2 направлены вдоль диска АВ, поскольку он представляет собой стержень с шарнирами по концам
(здесь − , означает силу, с которой диск с номером i действует на диск с номером j).
117
y
|
N2 1 |
N1 2 |
2 |
|
|
|
N3 2 |
N2 3 |
F |
||
1 |
A |
A |
B |
|
B |
|
30 |
90 |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
90 |
3 |
|
|
|
|
C |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линия действия реакции Rc пройдет по линии соединяющей шарниры С и В, так как тело ВС представляет собой стержень с шарнирами по концам. В этом случае, из уравнения ∑ = 0 , составленного для 3-го диска следует, что 2−3 = .
Из аксиомы о равновесии двух сил и аксиомы о взаимодействии двух тел следует, что силы взаимодействия в шарнирах А и В равны по
модулю, то есть 1−2 = 2−1 = 2−3 = 3−2. Отсюда следует, что сила2−1 по модулю тоже будет равна F.
Так как механизм находится в равновесии, для определения соотношения между моментом и силой составим для первого диска уравнение равновесия вида ∑Mо(F)=0:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
∙ cos 30° ∙ = 0 или |
− |
√3 |
= 0. |
||||
|
||||||||
2−1 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Из этого уравнения видно, что для равновесия необходимо |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
следующее соотношение между моментом и силой: |
М = F r |
√3 |
. |
|||||
2 |
||||||||
Ответ: Верным является первый ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 17
Решение
Координату xС центра тяжести ломаного стержня определим по формуле:
118
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi Li |
|
x1L1 x2 L2 x3 L3 |
|
1 2 2 2 0 4 |
|
6 |
|
x |
|
i 1 |
|
|
|
0, 75. |
|||
n |
|
|
|
||||||
C |
|
|
L1 L2 L3 |
|
2 2 4 |
8 |
|
||
|
|
xi Li |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1
Ответ: Верным является пятый ответ.
ЗАДАЧА 18
Решение
Рассмотрим цилиндры 1 и 2 по отдельности.
|
y |
P |
|
y |
1 |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
N’ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
N |
|
N |
G 2
G
Силы взаимодействия между цилиндрами, обозначенные на рисунках 1 и 2 как N и N’, наклонены к вертикали под неизвестным углом γ.
Каждый из цилиндров, как это видно из рисунков, загружен плоской сходящейся системой сил.