9388

уравнения, то в левой части равенства (46.4) будет многочлен степени n −1. В этом случае умножим искомый многочлен на x . Степень многочлена увеличится, а число неизвестных коэффициентов не изменится. Задача свелась к предыдущей.

∙ И, наконец, если характеристика α совпадёт с двукратным корнем характеристического уравнения, то искомый многочлен

умножаем на x2 .

Итак, если правая часть неоднородного уравнения имеет вид (46.2), то его частное решение отыскиваем в виде

y ( x) = xmQn ( x)eαx ,

где m = 0,1,2 число совпадений корней характеристического уравнения с характеристикой правой части α , а Qn (x) – многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами, которые определяются подстановкой

y ( x) = x( A1x + A2 ) .

Найдем

y′ = 2 A1x + A2 , y′′ = 2 A1

и подставив в уравнение, получим тождество

−6 A1x + (2 A1 − 3A2 ) ≡ x .

Приравнивая теперь коэффициенты многочленов справа и слева, получим

степени n , коэффициенты которых подлежат определению. Заметим, что в решение входит «полный» тригонометрический многочлен, содержащий как синус, так и косинус, и что перед каждой тригонометрической функцией в качестве множителя находится «свой» многочлен.

В заключение этого раздела подчеркнем, что если правая часть уравнения (46.1) представляет собой сумму двух функций

y (x) = y1 (x) + y2 (x) .

Это легко проверяется подстановкой y (x) в уравнение

( y1 + y2 )′′ + a1 ( y1 + y2 )′ + a2 ( y1 + y2 ) =

=y1′′ + a1 y1′ + a2 y1 + y2′′ + a1 y2′ + a2 y2 = f1 + f2 .

46.2.Метод вариаций произвольных постоянных – это метод

дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

y′′ + a1 y′ + a2 y = f ( x)

с помощью известного общего решения однородного уравнения

y′′ + a1 y′ + a2 y = 0 .

Если метод неопределённых коэффициентов применим для правых частей, имеющих специальный вид, то рассматриваемый метод является

и запишем частное решение неоднородного уравнения

y(x) = ∫j1(x)dx × y1(x) + ∫j2 (x)dx × y2 (x) .

λ1,2 = ±i . Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

yодн = C1 cos x + C2 sin x .

Применяя метод вариаций, будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

y(x) = u1(x)cos x + u2 (x)sin x .

Для производных искомых функций составляем систему

Умножим первое из уравнений системы на cos x , второе – на ( −sin x ) и сложим. Тогда получим

и после интегрирования

u1 (x) = − x , u2 ( x) = ln sin x .

Итак, общее решение уравнения

y = C1 cos x + C2 sin x - x cos x + sin x × ln sin x .

Лекция 47. Биения и резонанс

45

Рассмотрим теперь случай, когда на колебательную систему воздействует периодическая внешняя сила. Этот случай встречается наиболее часто: давление газа на поршень в двигателе внутреннего сгорания, удары рельса на стыке по колесу железнодорожного вагона, действие струи газа или пара на лопатку турбины, удары волн о корпус судна и т.д. Для простоты анализа будем предполагать, что сопротивление среды отсутствует. В этом случае уравнение линейного осциллятора y′′ + a1 y′ + a2 y = f (t) , примет вид

где ω1 – частота колебаний вынуждающей силы.

Решение однородного уравнения приведено (см.45.4). Это

Сначала пусть частота вынуждающей силы не совпадает с частотой

и общее решение уравнения (47.1) представляет собой сумму двух гармонических колебаний с разными частотами

Посмотрим, что произойдет, когда частота вынуждающей силы и собственная частота близки, т.е. ω ≈ ω1 . Вернемся к записи общего решения уравнения (47.1) в виде

46

В случае близости частот выражение в скобках можно преобразовать к следующему виду:

ωsinω1t − ω1sinω t ≈ ω (sin ω1t − sinω t) =

=w 2cos ω1+ ω t ×sin ω1− ω t » 2w sin ω1− ω t × cos w t .

Первый множитель sin ω1− ω t медленно меняющаяся функция времени, а 2

второй – cos ωt быстро изменяющаяся функция. В приближённом решении уравнения

множитель перед быстро изменяющимся косинусом можно рассматривать как «амплитуду» этого сложного колебания, называемого биением.

Пример «сложения» таких колебаний приведён на рисунке 47.1. Теперь пусть частота внешней вынуждающей силы и собственная

частота совпадают, т.е. ω = ω1 . Найдем решение уравнения

y′′ + ω2 y = Asin ωt .

Характеристика правой части уравнения совпадает с корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

y(t) = t(M cosωt + N sinωt) .

47

Рис. 47.2

Итак, мы выяснили, что при отсутствии сопротивления среды и при совпадении частоты приложенной силы с частотой собственных колебаний возникает колебательное движение той же частоты, но с неограниченно возрастающей амплитудой. В более реалистичном случае

48

y(t) = e−0,1t ( 451sin t + 1000 cost) + 50 sin t − 1000 cost 401 401 401 401

или

y(t) ≈ e−0,1 t (9 /8sin t + 5/ 2cost) +1/8sin t − 5/ 2cost .

49

Как видим, хотя амплитуда внешнего воздействия на колебательную систему всего 0,5, тем не менее эта внешняя сила «раскачала» систему до колебаний с амплитудой примерно 2,5. В дальнейшем система будет колебаться с частотой вынуждающей силы, а амплитуда колебаний расти не будет (см. рис. 47.4).

50

Лекция 48. Системы дифференциальных уравнений

48.1. Нормальные системы. Во многих задачах математики, физики, механики требуется найти несколько функций, связанных между собой дифференциальными уравнениями. Совокупность таких уравнений называется системой дифференциальных уравнений. Например, расчёт траектории полёта ракеты к Луне сводится к решению системы из двенадцати дифференциальных уравнений второго порядка (по «закону всемирного тяготения» рассматривается движение четырёх тел: ракеты, Луны, Земли и Солнца).

Выделяют так называемые нормальные системы дифференциальных уравнений следующего вида

Решение системы – это совокупность функций

y1(x), y2 (x),K, yn (x), a ≤ x ≤ b,

удовлетворяющих каждому из уравнений системы. Ясно, что это не любые функции, а дифференцируемые функции в указанном промежутке.

К нормальной системе дифференциальных уравнений может быть приведено дифференциальное уравнение высокого порядка. В частности, мы уже сталкивались ранее с решением дифференциального уравнения второго порядка вида y′′ = f (x, y′) , т.е. когда уравнение не содержало в

явном виде неизвестную функцию y . В этом случае мы вводили ещё одну неизвестную функцию p(x) = y′ и, тем самым, сводили решение

уравнения второго порядка к решению системы двух уравнений первого порядка

dy =dx p

dp = f (x, p)

dx

51