9278

60

где Lz1 - момент импульса системы для случая, когда человек держит гири на вытянутых руках, а Lz 2 - момент импульса системы для случая, когда человек прижимает гири к себе.

Поскольку момент импульса может быть записан как Lz =Jzω,

получим равенство:

где J z1 и ω1 - момент инерции системы и угловая скорость для случая, когда человек держит гири на вытянутых руках, а Jz 2 и ω2 - момент инерции системы и угловая скорость для случая, когда человек прижимает гири к себе.

Запишем моменты инерции системы для обоих рассматриваемых случаев. При этом учтем, что полный момент инерции системы «человек + гири» будет складываться из момента инерции самого человека J0 и моментов инерции двух гирь, которые можно считать материальными точками. Таким образом, имеем:

Jz1 = J0 + 2mL12 ,

J z 2 = J0 + 2mL22 .

Из равенства (1) выразим интересующую нас частоту вращения с учетом того, что связь частоты и угловой скорости имеет вид ω = 2πν :

или окончательно

Отсюда получим ν2 =1,16 Гц.

Работа, совершенная человеком, равна изменению кинетической энергии системы:

62

J = m0 R2 . 2

Угловую скорость барабана выразим через скорость поступательного движения груза: ω = υ/ R.

Теперь закон сохранения энергии можно преобразовать к виду

mgh = mu2 + m0 R2u2 , 2 2× 2 R2

откуда получим

Найдем путь, пройденный грузом, из основного уравнения кинематики поступательного движения:

h = at2 / 2

= .

v at

Решая систему, получим, что

h = v2 . 2a

Подставим полученное выражение h в закон сохранения энергии

Упрощая уравнение и выражая из него ускорение a, получим

Ответ: a = 3 м/ с2 .

63

Задачи для самостоятельного решения

1.Колесо самоката массой 200 г и радиусом 10 см вращается с частотой 5 об/с. Определить значение касательной силы, которую нужно приложить к ободу колеса, чтобы оно остановилось за 3 с. Колесо считать однородным диском.

2.Два груза массами 2 кг и 3 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой 0,5 кг. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, а также значения сил натяжения нити Т1 и Т2. Блок считать однородным диском, трением пренебречь.

3.Однородный диск массой 2 кг и радиусом 30 см начинает вращение под действием постоянной силы 50 Н относительно оси, проходящей через его геометрический центр. Определить количество полных оборотов, которые сделает диск за 10 мин. Трением пренебречь.

4.Однородный стержень длиной 2 м может без трения вращаться вокруг оси, проходящей через его верхний конец. Стержень отклонили на угол 45˚ и отпустили. Определить скорость нижнего конца стержня в момент прохождения положения равновесия.

5.К однородному цилиндру радиусом 60 см и моментом инерции 60

кг∙м2 приложены силы F1=30 Н, F2=70 Н, F3=60 Н. Определить направление вращения и угловое ускорение цилиндра.

6. Два груза массами 500 г и 1300 г связаны нитью, переброшенной через неподвижный блок в виде однородного диска массой 100 г. Определить разность между силами натяжения нити Т1 и Т2, если коэффициент трения между первым грузом и столом составляет

0,3.

7.На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 20 см и известным моментом инерции 0,2 кг·м2, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой 1,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом составляла 3 м. Определить: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол.

8.С вершины наклонной плоскости длиной 1 м и углом при основании 30˚ скатывается без проскальзывания сплошной цилиндр радиусом 10 см. Определить

64

скорость центра масс цилиндра в конце плоскости, если коэффициент трения между цилиндром и плоскостью 0,05.

9.Колесо радиусом 30 см и массой 3 кг скатывается по наклонной плоскости длиной 5 м и углом наклона 25°. Определить момент инерции колеса, если его скорость в конце движения составляла 4,6 м/с.

10.Человек массой 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10 мин-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определить, с какой частотой будет тогда вращаться платформа.

65

ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ

Термодинамику и молекулярную физику объединяет то, что оба эти раздела физики изучают законы тепловой формы движения материи, однако подходы к решению этой задачи существенно различны.

Молекулярная физика является атомистической теорией тепловой формы движения материи. В основе этой теории лежат следующие положения:

–все тела состоят из большого количества весьма малых частиц - молекул;

–молекулы всякого вещества находятся в хаотическом движении, не имеющем какого-либо преимущественного направления. Интенсивность движения молекул зависит от температуры вещества.

Считая, что движение отдельных молекул подчиняется законам механики, и, пользуясь статистическим методом, молекулярная физика ставит своей целью объяснить наблюдаемые тепловые явления как суммарный результат движения молекул. Можно провести аналогию между методом исследования, используемым в молекулярной физике, и социологическим опросом населения, который, исходя из изучения мнения отдельных избирателей, стремится предсказать результат выборов.

Термодинамика - это макроскопическая теория тепла. В отличие от молекулярной физики она не использует какие-либо представления о структуре тел. Термодинамика оперирует только с измеряемыми на опыте величинами (объем, давление и т.п.) и опирается на два принципа:

–положение о постоянстве энергии изолированной системы;

–факт односторонности самопроизвольного перехода теплоты от нагретых тел к холодным.

Эти принципы являются обобщением наблюдаемых природных явлений. Из этих принципов термодинамика выводит все основные свойства тел.

66

Подходя к решению одной и той же задачи с разных позиций, молекулярно- кинетический и термодинамический методы исследования дополняют друг друга, в чем мы вскоре убедимся на конкретных примерах.

Глава 1. Основы термодинамическогои молекулярно-кинетического методовисследования

§ 1. Масса и размеры молекул

Для того, чтобы измерить какую-либо величину, нужно сравнить ее с другой величиной, которая принята за эталон (или за единицу измерения). Поскольку массы молекул очень малы, для их измерения удобно взять также малую единицу измерения. За единицу измерения масс в молекулярной физике принимают одну двенадцатую (1/12) часть атома !WС (так обозначается изотоп углерода с массовым числом 12). Эта масса <ед называется атомной единицей массы. Массы различных молекул принято характеризовать относительной молекулярной массой вещества Mr, которая равна отношению массы молекулы данного вещества m к атомной единице массы: M r =m/ mед. Для краткости эту величину часто называют молекулярной массой, однако следует помнить, что эта величина является безразмерной величиной, а зная ее, массу молекулы данного вещества можно вычислить согласно формуле

m = M r mед.

Далее для описания количества вещества часто будет использоваться понятие - моль. Молем называется количество какого-либо вещества, в котором содержится столько же молекул, сколько их в 0,012 кг изотопа углерода !WС.

Очевидно, что моли всех веществ содержат одно и то же число молекул, которое принято обозначать Na. Величина Na является фундаментальной величиной и называется числом Авогадро. Опытным путем удалось найти, что число Авогадро равно:

Nа = 6.022 1023 моль−1 .

67

Таким образом, можно сказать, что моль - это такое количество вещества, в котором содержится число Авогадро молекул.

Массу одного моля вещества называют молярной массой и обозначают буквой µ. Нетрудно сообразить, что для того, чтобы найти молярную массу, нужно массу

Формула (1.1) справедлива для любых веществ, в том числе и для углерода !WС, в

случае которого молярная масса, как сказано ранее, равна 0,012 кг. В случае углерода Mr = 12, что очевидно. В результате, все величины, входящие в последнюю формулу, кроме <ед являются известными. Поэтому эту формулу, записанную для

углерода, можно использовать для определения величины <ед:

= 1.66 ∙ 10i!j кг.

Таким образом, мы пришли к важному выводу, что масса моля, выраженная в граммах, численно равна относительной молекулярной массе. Однако следует иметь в виду, что в то время, как M r - величина безразмерная, µ имеет размерность кг/моль (или г/моль).

Вывод: на практике нет необходимости вычислять молярную массу по формуле (1.1) - достаточно взять относительную молярную массу и умножить на 0,001. Результат получим в кг/моль.

§ 2. Основные понятия термодинамики

Здесь мы поясним, что понимается под различными терминами, используемыми в термодинамике. К основным понятиям термодинамики относятся: система, состояние системы, процесс, температура, внутренняя энергия, работа, количество теплоты и т.п. Часто смысл этих понятий

термодинамике под каждым из этих терминов. Предлагаем вам, прочитав название очередного термина, попытаться самостоятельно сформулировать, что вы понимаете под ним, а потом прочитать его толкование и обратить внимание на то, в чем ваше понимание не совсем точно. В процессе изучения термодинамики рекомендуем вновь просмотреть толкование термина, смысл которого вам покажется не совсем ясным.

Системой (или термодинамической системой) называют любое макроскопическое тело или совокупность тел, свойства которых изучаются. Простейшим примером системы является газ, в качестве более сложного примера системы приведем жидкость и находящийся с ней в равновесии пар. Тела,

не входящие в рассматриваемую систему, называются внешними телами, или окружающей средой.

•Система называется изолированной, если она не взаимодействует с внешними телами. Строго говоря, изолированных систем не существует. Это очередная научная абстракция (как, например, понятие материальной точки), однако это допущение в каком-то конкретном случае может удовлетворительно описывать ситуацию.

•Система является не изолированной, если она взаимодействует с внешними телами. Подчеркнем, что одна и та же система может являться изолированной или не изолированной в зависимости от конкретных условий. Например, газ под поршнем может считаться изолированной системой, если поршень закреплен, а при подвижном поршне система будет, вообще говоря, не изолированной, поскольку возможно взаимодействие с атмосферным газом через силу давления, оказываемую на поршень.

Состояние системы определяется совокупностью измеряемых физических величин, называемых параметрами состояния. Параметрами состояния являются температура T, объем V, давление P.

изолированной системе сохраняется бесконечно долго. Равновесные состояния можно характеризовать определенными значениями термодинамических параметров, которые при этом постоянны по всему объему системы. При этом между термодинамическими параметрами системы имеется определенная функциональная зависимость, выражаемая уравнением состояния P=f(V,T). Конкретный вид функции f определяется из опыта. Далее мы будем иметь дело с

уравнением состояния идеального газа. Равновесное термодинамическое состояние системы наглядно можно изобразить точкой в плоскости термодинамических параметров (рис. 1). Точка на плоскости определяется двумя координатами - термодинамическими параметрами, а третий параметр в данном случае также фиксирован и может быть найден

из уравнения состояния. Термодинамика изучает в основном равновесные состояния, и поэтому ее правильней было бы назвать термостатикой.

Состояние системы будет не равновесным, если параметры системы меняются с течением времени. При этом термодинамические параметры разных частей системы могут быть различными, то есть система не может полностью быть охарактеризована определенным значением термодинамического параметра. Например, если температура в разных точках тела различна, то такое состояние неравновесно. Если такое тело изолировать от других тел, то температура выровняется и примет одинаковое значение T во всех точках - тело перейдет в равновесное состояние.

Первый исходный постулат термодинамики, вытекающий из опыта, состоит в том, что изолированная система с течением времени всегда приходит в состояние равновесия и никогда самопроизвольно выйти из него не может.

Процесс перехода системы из неравновесного состояния в равновесное называется процессом релаксации, или просто релаксацией, а время перехода к равновесному состоянию называют временем релаксации. Процессы релаксации