9014
.pdf70
Задания для самостоятельной работы:
В задачах 1 - 31 построить кривые. Там, где необходимо, преобразовать уравнения кривых параллельным переносом осей координат. Построить новые и старые оси координат.
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
4x |
3y 24 |
|
|
|
17. |
x y 6y70 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
4x 3y 600 |
|
18. |
|
x 4x8y120 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
2x 3xy4y 0 |
|
|
|
|||||||||
3. |
2x y 4x80 |
|
19. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
8x 9y 110 |
|
|
20. |
|
|
x y 2x10y260 |
||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
x 2xy3y 4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
|
|
|
21. |
|
|
|
x 2x 3y 0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
6. |
x 3y 2x 0 |
|
|
22. |
|
|
x 2y 4y20 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
7. |
x 2x5y10 |
|
23. |
|
3x 10y 2 0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
3x xy3y 20 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. |
|
|
24. |
|
|
x x y 2 0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
x 3y 2x 0 |
|
|
25. |
|
|
y x 6y50 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
10. |
y 2x2y70 |
|
26. |
|
3x |
5y |
0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
xy0,5y 2x 3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y 2x 4y 0 |
|
|
|
|
||||||||||
11. |
|
|
|
|
. |
|
|
27. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
x 23xy3y 0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x 9y 4 0 |
|
|
|
|
||||||||||
12. |
|
|
|
|
|
. |
|
28. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
||||
13. x 4y 0. |
|
|
|
29. |
|
16x 9y 90y810 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|||
14. |
x 8x2y160 |
|
30. |
|
x y 2x6y80 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
||||
15. |
x y 2x4y60 |
31. |
36x4y72x40y41 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
y 8x2y160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элементы аналитической геометрии в пространстве
Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому либо условию.
Прямоугольная система координат в Oxyz пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и
71
тройками чисел x, y и z – их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности.
Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат
Oxyz называется такое уравнение F(x, y, z) 0 с тремя переменными x, y и z
, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности,
и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве
Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.
§1. Плоскость в пространстве
1.Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Пусть в пространстве Oxyz плоскость задана точкой |
M 0 (x0 , y0 , z0 ) и вектором |
|||
|
|
|
|
|
n A, B,C , перпендикулярным этой плоскости. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
n A, B, C |
|
||
M 0 |
|
|
Рис.1 |
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем на плоскости произвольную |
точку M (x, y, z) и рассмотрим вектор |
|||
|
|
|
|
|
M 0 M x x0 ; y y0 ; z z0 . Так как векторы n и M 0 M |
перпендикулярны, то их |
|||
|
|
|
|
|
скалярное произведение равно нулю: n |
M 0 M 0 , то есть |
|||
|
A x x0 B y y0 C (z z0 ) 0 . |
(1) |
72
Уравнение (1) называется уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
Отметим, что вектор перпендикулярный данной плоскости называется
нормальным вектором этой плоскости или вектором нормали.
2. Общее уравнение плоскости |
|
Если в уравнении (1) раскрыть скобки и обозначить |
C Ax0 By0 Cz0 , то |
получим общее уравнение плоскости: |
|
Ax By Cz D 0. |
(2) |
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 1; 2;3 и
перпендикулярной вектору PQ , если P 0;1;4 и Q 1; 2;6 .
Решение. Находим координаты вектора PQ , являющегося вектором нормали
|
|
|
|
плоскости n PQ 1;1; 2 . |
|
|
|
Подставляя в уравнение (1) координаты точки M 0 1; 2;3 и координаты вектора |
|||
|
|
|
|
n 1;1;2 , находим искомое уравнение плоскости |
|
||
1 x 1 1 y 2 2(z 3) 0 или |
x 1 y 2 2z 6 0 |
|
|
или x y 2z 7 0 . |
|
|
|
3. Уравнение плоскости в отрезках |
|
||
Из (2) следует |
Ax By Сz D и далее, предполагая, что |
D 0 (т.е. плоскость |
не проходит через начало координат) и, разделив обе части этого уравнения на
D , получим уравнение
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
1, |
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в котором |
a |
D |
, |
b |
D |
, |
c |
D |
|
величины отрезков, которые плоскость |
|||||||
A |
B |
C |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
«отрезает» |
от осей координат (см. рис. 2). |
|
|
z
c
b
73
3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три
заданные |
|
|
|
|
|
|
|
точки M1 (x1 , y1 , z1 ), |
M 2 (x2 , y2 , z2 ), M 3 (x3 , y3 , z3 ), |
имеет вид: |
|||||
|
|
x x1 |
y y1 |
z z1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 x1 |
y2 y1 |
z2 z1 |
|
0 |
|
|
|
x3 x1 |
y3 y1 |
z3 |
z1 |
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскладывая |
этот определитель по элементам первой строки, приведем |
||||||
его к линейному уравнению относительно |
x, y, z вида (2). |
Взаимное расположение двух плоскостей.
Пусть заданы две плоскости П1 и П 2 уравнениями (см. рис. 3).
A1 x B1 y C1z D1 0 , |
A2 x B2 y C2 z D2 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
|
n2 |
|
|
|
b) |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
П 2 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
1 |
|
|
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
2 |
|
|
|
|
Рис. 3 |
n2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем угол между ними в предположении, что они пересекаются.
Пересекаясь, плоскости образуют две пары равных двугранных углов. Углом
|
|
|
|
|
74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
между плоскостями |
П1 |
и П2 |
будем считать меньший из этих двугранных |
|||||||||||
углов (см. рис. 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выразим угол |
|
между |
плоскостями |
через |
|
угол |
|
между |
||||||
|
|
|
|
|
A , B ,C и |
|
A , B ,C |
. |
Если угол |
|||||
нормальными к ним векторами |
n |
|
n |
|||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
острый, то (как углы с взаимно перпендикулярными сторонами). Если
же угол – тупой, то |
(см. рис. 3 b) ), поэтому |
cos cos . В |
||||||||||||||||||||
итоге для вычисления угла |
между плоскостями имеем формулу |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A A |
B B C C |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
|
A2 |
B2 |
C 2 |
|
A2 |
B |
2 C 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, условие перпендикулярности и условие параллельности
двух плоскостей имеют вид
П1 П2 |
A1 A2 B1 B2 C1C2 0; |
|
|
П1 || П2 |
A1 |
|
B1 |
|
C1 |
. |
|||||
|
|
A2 |
B2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|||
В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство |
|||||||||||||||
|
|
A1 |
|
B1 |
|
C1 |
|
D1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
A2 |
|
B2 |
C2 |
|
D2 |
|
|
|
|
|
|
то эти плоскости совпадают.
Расстояние от точки до плоскости
Пусть заданы плоскость уравнением Ax By Cz D 0 и точка
M 0 (x0, y0 , z0 ) . Требуется найти расстояние от точки M 0 до плоскости.
Расстояние d от точки M 0 до плоскости равно модулю проекции вектора M1M 0 ,
где M 0 - произвольная точка плоскости, на направление нормального вектора
. Следовательно, n A; B;C
75
d | прn M1M 0 | |
______ |
|
| A(x0 x1 ) B( y0 y1 ) C(z0 z1 ) | |
|
||||||||||||||
n M1M 0 |
|
|||||||||||||||||
_______ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| n | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Ax0 By0 Cz0 Ax1 By1 Cz1 | |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как точка M1 принадлежит плоскости, то Ax1 By1 Cz1 D 0, |
т.е. |
|||||||||||||||||
D Ax1 By1 Cz1. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d |
| Ax0 |
By0 |
Cz0 D | |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||||
|
|
|
A2 B2 C2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что и требовалось получить.
Пример 12. Найти расстояние от точки M 0 (2, 1, 4) до плоскости
3x 4y 2z 1 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. По формуле (7) получаем |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
| 3 2 4 ( 1) 2 |
4 1 | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
5 |
|
|
5 29 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
9 16 4 |
29 |
|
|
29 |
|
|
Задания для самостоятельной работы:
1.Найти точки пересечения плоскости 2x3y4z 240с осями координат. Плоскость построить.
2.Построить плоскости:
1)2x 3y 5z 70; 2) 4x 3y z 0; 3) 2x 3z 6;
4) |
2y 3z 12 2y 3x 4 |
6) |
2x 5z 0 |
3x 2y 0 |
||||
|
; 5) |
; |
|
; 7) |
|
; |
||
8) |
y z 0; |
9) 2z 7 0; |
10) |
3y 5 0; 11) 3x 6 0; |
12) 2z 0; |
|||
13) 3y 0 ; |
14) x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Дано уравнение плоскости |
|
x 2y 3z 60 |
|
||||
|
|
|
. Написать для нее |
|||||
|
уравнение в отрезках. Плоскость построить. |
|
|
|||||
4. |
Составить |
уравнение |
плоскости, |
которая |
проходит |
через точку |
M2; 3; 4 и отсекает на координатных осях отрезки одинаковой
величины. Плоскость построить.
76
5. |
Составить уравнение |
плоскости, |
которая |
проходит через точки |
||
|
M 1;4; 1 |
M 13;2; 10 |
|
|
||
|
1 |
, |
2 |
и отсекает на осях абсцисс и аппликат |
||
|
отрезки одинаковой длины. Плоскость построить. |
|||||
6. |
Плоскость проходит через точку M6; 10;1 и отсекает на оси абсцисс |
|||||
|
отрезок |
a 3 , |
а на оси аппликат |
отрезок |
c 2 . Составить для этой |
плоскости уравнение в отрезках. Плоскость построить.
7.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M1; 2;3 и
перпендикулярной вектору OM .
8.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M3;4; 5 параллельно плоскости 2x3y2z10.
9.Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:
1)2x 3y 5z 70 и 2x 3y 5z 30;
2)4x 2y 4z 50 и 2x y 2z 1 0;
3) x 3z 2 0 и 2x 6z 7 0
10.Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5x 3y 2z 30.
11.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M3; 2; 7 параллельно плоскости 2x 3z 5 0.
12.Даны две точки M3; 1;2 и N4; 2; 1. Составить уравнение
плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору MN .
13. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам a 3;1; 1 и
14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки N 3;1;2 параллельно вектору a 3; 1;4 .
15.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку 0;0; 2 и
перпендикулярной к плоскостям x y z 0 и 2 y x .
16.Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
|
|
|
77 |
|
M 3; 1;2 |
M 4; 1; 1 |
|
M 2;0;2 |
|
1 |
, |
и |
||
|
2 |
3 . |
17. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:
1)3x y 2z 50, x 9y 3z 2 0;
2)2x 3y z 30, x y z 5 0;
|
2x 5y z 0 |
x 2z 3 0 |
|
3) |
|
, |
|
|
; |
||
4) |
x y z 1 |
2x 3y z 7 0 |
|
|
, |
. |
|
18. Составить |
уравнение плоскости, которая проходит через начало |
координат перпендикулярно к двум плоскостям: 2x y 3z 1 0и x 2y z 0.
19.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
M2; 1;1 перпендикулярно плоскости 2x z 1 0 и параллельно
вектору b 1; 2;1 .
20.Установить, что три плоскости x 2y z 7 0, 2x y z 2 0и x 3y 2z 110имеют одну общую точку. Вычислить ее координаты.
21.Составить уравнение плоскости, которая проходит через:
|
1) |
точки |
M 0;1;3 |
и |
M 2;4;5 |
параллельно оси |
OX |
; |
|||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
2) |
точки |
M 3;1;0 |
и |
M 1;3;0 |
|
параллельно оси |
OZ |
; |
||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
3) |
точки |
M 3;0;3 |
и |
M 5;0;0 |
параллельно оси |
OY |
. |
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||||
22. |
Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку |
|
|
||||||||||
|
M2; 4;3 и через : |
1) |
ось OX ; |
2) ось OY ; |
3) ось |
|
OZ . |
||||||
23. |
Составить уравнение плоскости, которая проходит: |
|
|
|
|
||||||||
|
1) через точку |
M2; 3;3 параллельно плоскости |
XOY ; |
|
|||||||||
|
2) через точку |
N1; 2;4 параллельно плоскости |
XOZ ; |
|
|
||||||||
|
3) через точку |
P 5;2; 1 параллельно плоскости |
YOZ . |
|
|
||||||||
24. |
Вычислить расстояние d точки M от плоскости в каждом из следующих |
||||||||||||
|
случаев: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78
1) |
M 2; 4;3 |
2x y 2z 3 0 |
M2; 1; 1 16x12y 15z 0 |
||||
, |
|
; 2) |
, |
|
|
; |
|
3) |
M1;2; 3 , |
5y 4 0; |
4) |
M3; 6;7 , |
|
4x 3z 1 0. |
|
25. Вычислить расстояние d |
от точки P 1;1; 2 |
до плоскости, |
|||||
|
проходящей |
через три |
точки: |
M1; 1;1 |
M 2;1;3 |
||
|
1 |
, |
2 |
, |
|||
|
M4; 5; 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
26.В каждом из следующих случаев вычислить расстояние между двумя параллельными плоскостями:
1)x 2y 2z 120 и x 2y 2z 6 0;
2)2x3y 6z 140и 4x6y12z 210.
27.На оси OY найти точку, отстоящую от плоскости x 2y 2z 2 0на
расстоянии d 4 .
28.На оси OZ найти точку, равноудаленную от точки M1; 2;0 и от плоскости 3x 2y 6z 90.
29.На оси OX найти точку, равноудаленную от двух плоскостей:
12x16y15z10, 2x 2y z 1 0.
§2. Прямая в пространстве
1.Каноническое уравнение прямой
Положение прямой l в пространстве однозначно определено, если задана некоторая точка M 0 x0 ; y0 ; z0 на этой прямой и так называемый
направляющий вектор , параллельный данной прямой. p m, n, p
Возьмем на прямой произвольную точку M (x, y, z) и рассмотрим вектор
M 0 M x x0 ; y y0 ; z z0 .
z
p
M 0
y
x
79
Рис. 1
Так как векторы p и M 0 M коллинеарны, то их координаты пропорциональны
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
. |
(1) |
m |
n |
|
||||
|
|
p |
|
Полученное уравнение называется каноническим уравнением плоскости.
|
2. Параметрическое уравнение прямой |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
В уравнении (1) введем обозначение |
x x0 |
|
|
y y0 |
|
z z0 |
t, |
где t |
называется |
||||||||||||||||
|
n |
p |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|||
параметром ( t ), тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x x0 |
|
t |
x x |
|
|
mt |
x x |
|
|
|
mt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y y0 |
t |
y y |
|
nt |
y y |
|
nt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z z0 |
t |
z z |
|
|
pt |
z z |
|
|
|
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
m t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
n t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
p t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
Это так называемые параметрические уравнения прямой.
3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Пусть прямая l проходит через две точки M1 (x1 , y1 , z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) . Нетрудно понять, что вектор M1M 2 x2 x1; y2 y1 , z2 z1 можно считать направляющим вектором данной прямой. Отсюда, используя уравнение (1),
получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.