9007
.pdf
30
Задача 2
Система тел А, В, C, находящаяся в начальный момент времени = 0 в
состоянии покоя, начинает двигаться под действием сил тяжести. Определить скорость и ускорение тела А в момент времени, когда оно пройдет путь S, учитывая трение скольжения тел. Определить время, за которое тело пройдет путь равный S.
Считать, что качение тел происходит без проскальзывания. Нити считать нерастяжимыми и невесомыми. Решение выполнить, используя теорему об изменении кинетической энергии механической системы. Даны углы α и β, а также коэффициент трения скольжения μ. Даны массы тел и радиусы колес В и С.
|
|
Массы тел : |
B |
RB |
mA 2m ; |
|
|
|
r B |
|
mB m ; |
|
|
|
|
|
mС m ; |
|
|
A |
|
m 10 кг; |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC |
|
|
|
Углы : |
|
|
|
S |
30 ; |
|
|
|
|
|
|
|
60 ; |
||
|
|
|
|
vA , aA , t ? |
Радиусы :
a 10 см 0.1 м;
RB 4a 40 см 0.4 м; rB 2a 20 см 0.2 м;
RC a 10 см 0.1 м;
Коэффициент трения скольжения :
0.1;
при S 2 м;
Решение
1.Изобразим на схеме механической системы (рис. а) все внешние силы.
2.Обозначим буквами В и С точки в центрах колес В и С.
Обозначим буквой D точку касания колеса C с плоскостью.
Обозначим буквами E, F и H точки соприкосновения колес с нитями.
Выразим необходимые линейные и угловые скорости через искомую скорость :
Тело A совершает поступательное движение со скоростью .
Нить нерастяжима, поэтому |
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
NB |
|
|
|
б |
|
vF |
|
RB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
||
|
|
|
RB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r B B |
|
|
|
|
|
|
B |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
NC |
|
|
|
|
|
vH |
|
r B |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SC |
|
|
N |
A |
H |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
C |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
RC |
|
|
B |
|
|
||
RC |
C |
|
FTP |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|||
|
PB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
vA |
||
|
|
|
SA |
S |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PC |
|
PA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Колесо В совершает вращательное движение. Его угловая скорость направлена по
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ходу часовой стрелки и равна |
= |
|
|
= |
|
= |
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙4 |
|
|||
Скорость точки F равна |
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
= 2 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Скорость точки Н равна |
|
= |
|
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Колесо C совершает плоскопараллельное движение. МЦС находится в точке D.
Угловая скорость направлена по ходу часовой стрелки и равна
|
|
|
= |
|
|
= |
2 |
|
= |
2 |
= |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||
Скорость точки С равна |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Определим моменты инерции колес В и С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Колесо В имеет реборду. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
Если толщина реборды составляет половину |
|||||||||||||
R |
1 |
2 |
толщины колеса, момент инерции колеса |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Z |
определяется по следующей формуле: |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
r |
|
|
|
1 |
|
R |
4 |
r |
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
JZ |
2 m |
R2 |
r 2 |
при условии, что 1 2 . |
|||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
32
|
|
1 |
|
|
4 |
+ |
4 |
|
|
|
|
(4)4 |
+ |
(2)4 |
|
|||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
= 6.82 |
|||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
( |
|
)2 |
|
( )2 |
||||||||
|
|
2 |
|
|
+ |
|
|
2 |
|
4 |
+ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Колесо С сплошное: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
2 |
= 0.5 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Определим кинетическую энергию системы в начальном и конечном состояниях.
В начальном состоянии тело находится в состоянии покоя: |
|
0 = 0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
В конечном состоянии кинетическая энергия равна |
|
= |
+ + , где |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Тело A: |
|
= |
1 |
|
|
2 |
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
6.8 |
2 |
|
|
2 |
0.85 2. |
|
|
|
|||||||||||||||||
Тело B: |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
( |
|
|
) = |
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
2. |
||||||
Тело C: |
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
( |
|
) |
= 0.75 |
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Сумма: |
|
= |
+ |
+ |
|
= 2 |
+ 0.85 2 |
+ 0.75 2 |
= 2.6 2. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.Определим сумму работ всех внешних сил на заданном перемещении:
∑= ( ) + ( ) + (ТР) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )
Учтем, что перемещения точек пропорциональны их скоростям, и поскольку
= |
то и = = . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Точка B неподвижна, поэтому |
|
|
||||
( ) = 0, |
( ) = 0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Реакции |
|
|
направлены перпендикулярно к направлению |
|||
|
и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
движения, |
поэтому |
|
|
|
||
|
( ) = 0, |
( ) = 0. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ∙ sin = 2 ∙ 0.68 = 1.72 .
(ТР) = −ТР = − = − ∙ cos ∙ = −0.1 . ( ) = − ∙ sin = −0.5 .
33
∑ = ( ) + ( ТР) + ( ) = 1.72 − 0.1 − 0.5 = 1.12 .
6.Найдем значение скорости тела А.
Используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы:
|
|
− |
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как = 0, то |
|
= ∑ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим уравнение: |
2.6 2 = 1.12 , |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
решая которое, получим, что |
= √ |
1.12 |
= 0.656 |
м |
. |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2.6 |
|
с |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
7. Найдем ускорение тела А, продифференцировав равенство (*)
5,2 ̇ = 1.12 ̇.
Учитывая, что = ̇ получим:
5,2 ̇ = 1.12 .
(*)
по времени:
= ̇ = √ |
1.12 |
= √ |
1.12 |
|
= √ |
1.12∙9.81 |
= 1.45 |
м |
. |
5,2 |
|
|
|
|
|||||
|
5,2 |
5,2 |
|
с2 |
|||||
8. Найдем время, за которое тело А пройдет путь, равный 2м.
Запишем уравнение прямолинейного равноускоренного движения тела A:
|
= |
2 |
+ |
+ |
= |
2 |
, так как = 0 |
и = 0. |
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
0 |
0 |
|
|
2 |
|
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда |
= √2 ⁄ = √2 ∙ 2⁄1.45 = 1.66 . |
|
|
||||||||||
Задача решена
34
Задача 3
Определить реакции опор составной балки, используя принцип возможных
перемещений.
Дано: = 20 кН; = 40кН; = 25 кНм; = 10 кН; = 1м; = 30°.
F1 |
|
q |
|
|
|
F |
M |
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
H |
|
|
|
A |
|
B |
|
|
C |
|
D |
a |
a |
a |
2a |
a |
a |
a |
a |
Решение
1.Обозначим буквами опоры и промежуточные шарниры.
2.Горизонтальная составляющая реакции на опоре А равна нулю, что следует из уравнения равновесия
∑ = 0.
Таким образом, на всех опорах балки реакции действуют вертикально.
Предположим, что они направлены вверх.
3. Заменим распределенную нагрузку ее равнодействующей = 3 = 30 кН.
F1 |
|
Q 3qa |
|
|
F2 |
М |
|
|
|
|
|||
|
E |
|
H |
|
|
|
A |
B |
|
C |
|
|
D |
a |
a a |
2a |
a |
a |
a |
a |
RA |
R |
|
R |
|
RD |
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
0.5a |
1.5a |
|
|
|
|
4. Удалим опору A, заменив ее неизвестной реакцией |
, и изобразим на рисунке |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
виртуальные перемещения элементов системы.
Сумма работ внешних сил на возможных перемещениях в соответствии с принципом возможных перемещений должна быть равна нулю.
Составим соответствующее уравнение:
1 − 1 ∙ 2 1 = 0, откуда
35
− 2 1 = 0, = 2 1 = 2 ∙ 20 = 40.00 кН.
F1 |
|
Q |
|
F |
|
A |
|
|
2 |
М |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
E |
B |
C |
|
D |
|
|
RA |
|
|
0.5a |
1.5a |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
2a |
a |
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.Удалим опору B, заменив ее неизвестной реакцией , и изобразим на рисунке виртуальные перемещения элементов системы.
F1 |
E |
B |
|
Q |
|
|
F2 |
М |
|
|
|
|
|||||
A |
1 |
|
|
|
H |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
B |
|
2 |
|
C |
|
D |
1 |
|
RB |
0.5a |
1.5a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
a |
a |
|
2a |
a |
a |
a |
a |
Составим соответствующее уравнение: |
|
|
|
||||||||||
|
+ |
2 |
− |
1.5 = 0. |
|
|
|
||||||
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||
Учитывая, что ′ |
= = 3 |
2 |
получим, что |
= |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
||
|
3 |
2 |
+ 2 |
− 1.5 |
= 0. откуда 3 |
+ 2 |
− 1.5 = 0, |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
1 |
|
|
||
|
= |
1 |
(1.5 − 3 ) = |
1 |
(1.5 ∙ 30 − 3 ∙ 20) = −7.50 кН (направлена вниз). |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.Удалим опору C, заменив ее неизвестной реакцией , и изобразим на рисунке виртуальные перемещения элементов системы.
F1 |
|
|
|
|
|
Q |
H |
C |
F2 |
М |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
E |
|
|
|
H |
|
D |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
|
|
2 |
B |
|
|
C |
|
3 |
|
|
|
|
0.5a |
1.5a |
RC |
|
|
||
|
|
1 |
E |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
a |
|
a |
|
2a |
a |
a |
a |
a |
36
Составим соответствующее уравнение:
−1 1 − ∙ 0.5 2 + 2 3 − 2 3 + 3 = 0.
Учитывая, что ′ = |
= |
получим, что |
|
= . |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
Учитывая, что ′ = 2 |
= 3 |
получим, что |
|
= |
= 1.5 . |
|
|
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
−1 1.53 − ∙ 0.5 1.53 + 2 3 − 2 3 + 3 = 0.
откуда −1 1.5 − ∙ 0.75 + 2 − 2 + = 0.= 21 (1.51 + 0.75 + 2 − ) =
=2∙11 (1.5 ∙ 20 ∙ 1 + 0.75 ∙ 30 ∙ 1 + 40 ∙ 1 − 25) = 33.75 кН.
7.Удалим опору D, заменив ее неизвестной реакцией , и изобразим на рисунке виртуальные перемещения элементов системы.
F1 |
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
E |
2 |
|
Q |
|
3 |
|
М |
A |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
H |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
B |
2 |
3 |
C |
|
D |
|
|
|
|
RD |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
0.5a |
1.5a |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a |
|
|||
a |
a |
|
a |
|
2a |
a |
a |
a |
|
Составим соответствующее уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
+ ∙ 0.5 |
− + |
2 |
3 |
− |
= 0. |
|
|
||||||
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
Учитывая, что ′ = = |
|
2 |
получим, что |
|
= . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
Учитывая, что ′ = 2 = |
|
получим, что |
|
= |
= 2 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
3 |
2 |
|
|
+ ∙ 0.5 |
− 2 |
+ 2 2 − 2 |
2 |
= 0. |
|
|||||||
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
откуда |
1 + ∙ 0.5 − 22 + 4 − 2 = 0. |
|
|
|
||||||||||
|
= |
1 |
(− − 0.5 + 2 + 2 ) = |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=4∙11 (−20 ∙ 1 − 0.5 ∙ 30 ∙ 1 + 2 ∙ 40 ∙ 1 + 2 ∙ 25) = 23.75 кН.
8.Для проверки спроецируем все силы системы на ось Y:
∑ = + + + − 1 − − 2 =
=40.00 − 7.50 + 33.75 + 23.75 − 20 − 30 − 40 = 90.00 − 90.00 = 0.00
Проверка выполняется.
Задача решена
37
ЛИТЕРАТУРА
1.Аистов Анатолий Сергеевич. Теоретическая механика. Динамика : учеб. пособие. / Аистов Анатолий Сергеевич, Баранова Алла Сергеевна, Трянина Надежда Юрьевна ; Нижегор. гос. архит.-строит. ун-т. – Нижний Новгород : ННГАСУ,
2005. – 89 с. – ISBN ISBN 5-87941-369-1.
2.Диевский Виктор Алексеевич. Теоретическая механика. Интернет - тестирование базовых знаний : учеб. пособие. / Диевский Виктор Алексеевич, Диевский Алексей Викторович ; Санкт-Петербург : Лань, 2010. – 144 с. – ISBN ISBN 978-5- 8114-1058-3.
3.Мещерский Иван Всеволодович. Задачи по теоретической механике : учеб.
пособие для студентов вузов по направлениям подгот. и спец. в обл. техники и технологий по дисциплине "Теорет. механика". / Мещерский Иван Всеволодович
;под ред. В. А. Пальмова, Д. Р. Меркина. – Санкт-Петербург : Лань, 2008. – 448 с.
– ISBN ISBN 978-5-9511-0019-1.
4.Сборник коротких задач по теоретической механике : учеб. пособие для студентов вузов по направлениям и спец. в обл. техники и технологий. / под ред. О. Э. Кепе.
– Санкт-Петербург : Лань, 2008. – 368 с. – ISBN ISBN 978-5-8114-0826-9.
5.Маковкин Георгий Анатольевич. Самостоятельная работа по аналитической механике : учеб.-метод. пособие по подгот. к лекц. и практ. занятиям по дисциплине "Аналит. механика" для обучающихся по направлению подгот. 08.03.01 Стр-во, профиль Стр-во автомобил. дорог, аэродромов, объектов трансп.
инфраструктуры. / Маковкин Георгий Анатольевич, Аистов Анатолий Сергеевич
;Нижегор. гос. архит.-строит. ун-т. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2016. – 1 CD ROM. – URL: URL: http://catalog.nngasu.ru/MarcWeb2/.
38
Маковкин Георгий Анатольевич Аистов Анатолий Сергеевич Ведяйкина Ольга Ивановна
РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Учебно-методическое пособие
по выполнению расчётно-графической работы по дисциплине «Аналитическая механика» для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 Строительство
по профилю Промышленное и гражданское строительство
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru