8990
.pdf
|
0 |
Рис. 20 |
|
|
|
Пример. Построить прямую |
l : 3y 6 0. |
|
Решение. Уравнение прямой l является общим уравнением прямой на |
||
плоскости A 0, B 3, C 6, |
параллельной оси Ox и проходящей через точку |
|
0; 2 . (См. рис. 21). |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
Рис. 21 |
|
4. При A 0, |
B 0, |
C 0 уравнение (3.2) примет вид: |
Ax C 0 или |
||
x |
C |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
|
|
|
Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси Oy и проходящей через
|
|
C |
|
|
точку |
|
|
; 0 . (См. рис. 22) |
|
A |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Рис. 22 |
|
|
|
Пример. Построить прямую l : 2x 1 0 . |
||
|
|
|
Решение. Уравнение прямой l является общим уравнением прямой на |
||
плоскости A 2, B 0, |
C 1 параллельной оси Oy и проходящей через точку |
||||
|
|
1 |
; 0 |
|
|
|
|
. (См. рис. 23) |
|
||
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
0
Рис. 23
5. При A 0, B 0, C 0 уравнение (3.2) примет вид: By 0 или y 0 . Это уравнение координатной оси Ox (См. рис. 24)
0
Рис. 24
6. При A 0, B 0, C 0 уравнение (3.2) примет вид: Ax 0 или x 0. Это уравнение координатной оси Oy . (См. рис. 25)
0
Рис. 25
Итак, рассмотрены все возможные случаи общего уравнения (3.2) прямой на плоскости.
Выведем уравнение прямой l , проходящей через две заданные точки M1 x1; y1
и M 2 x2 ; y2 на плоскости xOy в прямоугольной декартовой системе координат.
(См. рис. 26)
31
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 26 |
|
|
|
|||||
|
|
Поскольку точка M1 x1; y1 лежит на прямой l то, |
подставляя x x1 и y y1 |
|||||||||||||||||||
в уравнение (3.5), находим, что уравнение прямой l имеет вид: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l : y y1 |
k x x1 , |
|
|
(3.6) |
|||||||
где k – пока неизвестный коэффициент. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Так как прямая l |
проходит и через точку |
M 2 x2 ; y2 , |
то ее координаты должны |
|||||||||||||||||||
удовлетворять уравнению (3.6), то есть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
y |
k x |
x , |
откуда k |
y2 y1 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
x2 x1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя найденное значение k |
в уравнение (3.6), получим уравнение прямой, |
|||||||||||||||||||||
проходящей через точки M1 и M 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l : |
y y1 |
|
x x1 |
|
|
(3.7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 y1 |
x2 x1 |
|
|
|
||||
|
|
Пример. Составить уравнение прямой l , |
проходящей через точки M1 1; 2 и |
|||||||||||||||||||
|
M 2 1;3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Решение. Подставляя в уравнение (3.7) |
x1 1, |
y1 2 и |
x2 1, y2 3, |
|||||||||||||||||
находим искомое уравнение прямой |
l : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y 2 |
|
x 1 |
; |
|
|
y 2 |
|
x 1 |
; |
|
2 y 2 1 x 1 ; |
2 y 4 x 1, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 2 |
|
1 1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, l : x 2y 5 0.
Ответ: x 2 y 5 0 .
Взаимное расположение прямых на плоскости
32
Пусть две прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами k1
иk2 , соответственно, то есть l1 : y k1 x b1 ; l2 : y k2 x b2 . Требуется найти угол
, на который надо повернуть прямую l , вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой l2 . (См. рис.27)
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 27 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По теореме о внешнем угле треугольника, имеем: 2 1 или 2 1 |
|||||||||||||||||
. Если 90 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg tg 2 1 |
|
tg 2 tg 1 |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 tg 1 tg 2 |
|
||||||
Но так как tg 1 k1 |
и tg 2 k2 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
tg |
|
k2 k1 |
(3.8) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
k1 k2 |
|
|||||||||
Таким образом, формула (3.8) позволяет находить угол между двумя прямыми |
|||||||||||||||||
на плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти угол между прямыми l1 : x 2 y 1 0 |
и l2 : 3x y 3 0 . |
||||||||||||||||
Решение. Запишем общее уравнение заданных прямых l1 |
и l2 в виде уравнений |
||||||||||||||||
с угловыми коэффициентами k1 |
и k2 , соответственно: |
|
|||||||||||||||
l : 2 y x 1 или l |
: y |
1 |
x |
1 |
, значит k |
|
1 |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l2 : y 3x 3 , значит k2 |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
33
Подставляя найденные значения k |
|
1 |
и k |
|
3 в формулу (3.8), находим |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
угол между прямыми l1 |
|
и l2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
tg |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
7 , откуда arctg 7 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: arctg 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Заметим, что если требуется вычислить острый угол между прямыми, то правая |
|||||||||||||||||||||||||||
часть формулы (3.8) берется по модулю, то есть |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
k2 k1 |
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 k1 k2 |
|
|
|
|
|||||||
Если прямые l1 : y k1 x b1 ; |
l2 : y k2 x b2 |
параллельны, то 0 и |
|||||||||||||||||||||||||
tg 0 , следовательно, из формулы (3.8) |
получаем, что k2 k1 0, то есть k2 k1 . |
||||||||||||||||||||||||||
И обратно, если прямые l1 |
|
и l2 таковы, что k1 |
k2 , значит tg 0 , то есть прямые |
||||||||||||||||||||||||
параллельны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если прямые l |
и l |
2 |
перпендикулярны, то , следовательно |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
1 k1 k2 |
|
0, откуда k k |
|
1. Справедливо и обратное утверждение. |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
k2 k1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 1; 2 и
перпендикулярной прямой L : 3x 2 y 5 0 .
Решение. Перепишем общее уравнение прямой L в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом kL :
L : 3x 2 y 5 0 , |
2 y 3x 5 , |
y |
3 |
x |
5 |
, |
значит kL |
|
3 |
. |
|
2 |
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
34
Прямые l и L перпендикулярны по условию, значит kl kL 1,
следовательно, kl 1 2 . kL 3
Подставляя в уравнение (3.5) kl 23 , x0 1, y0 2 находим искомое
уравнение прямой l :
l : y 2 23 x 1 l : 3y 6 2x 2 l : 2x 3y 4 0
Ответ: 2x 3y 4 0.
35
§4. Функция одного переменного.
Основные понятия
Понятие функции является одним из главных понятий математики. С этим понятием часто встречаемся в природе, изучая различные процессы и явления.
Пусть D – некоторое множество действительных чисел. Если каждому числу
x D – поставлено в соответствие |
по какому-то правилу или |
закону f |
единственное действительное число y , |
то говорят, что на множестве |
D задана |
функция одного переменного и обозначается: y f x . Число x D называется аргументом функции, y – значением функции, множество D – областью определения функции, множество всех значений y , которые соответствуют числам множества D – областью значений функции – E . (См. рис. 28)
0
Рис. 28
Графиком Г f функции y f x называется множество всех точек x, y
плоскости xOy таких, что x D , а y f x , то есть
Г f x, y x D, y f x .
Далее будем задавать функцию одного переменного аналитически, то есть с помощью формулы. В этом случае под областью определения D функции понимают множество всех тех значений x , для которых данная формула имеет смысл.
Пример. Формула y x2 задает функцию y одного переменного
данная формула имеет смысл при всех действительных значениях переменной
36
область определения D данной функции есть множество всех действительных чисел R , то есть D R . Так как квадрат действительного числа – число неотрицательное,
то множество значений E данной функции y x2 есть множество всех неотрицательных чисел, то есть E y y 0 . Графиком функции y x2 является парабола в плоскости xOy с вершиной в точке O , ветви которой направлены в положительном направлении оси Oy . (См. рис. 29)
|
|
1 |
|
|
|
|
-1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 29 |
|
|
|
Пусть задана функция y f x , |
x D , |
такая, что для x1 x2 |
, f x1 f x2 |
, то |
||
есть для любого y E найдется |
единственное x D такое, |
что f x y |
или |
|||
x f 1 y . Тем самым определена функция |
f 1 , называемая функцией, обратной к |
|||||
функции f . (См. рис. 30) |
|
|
|
|
|
|
0
Рис. 30
Покажем как строим график обратной функции. Если для обратной функции обозначить аргумент через x , а функцию через y , то графики функций y f x и x f 1 y совпадают. Разница состоит лишь в том, что для функции y f x ось
37
Ox – ось абсцисс, а ось Oy – ось ординат, а для функции x f 1 y роль осей меняется.
Если же обозначить аргумент обратной функции через x , а значение функции через y , то получается иной график. Именно, нужно перевести друг в друга оси Ox
и Oy . Это делается с помощью отражения всей плоскости xOy относительно биссектрисы первого координатного угла, то есть прямой y x. При этом отражении график функции y f x переходит в график обратной функции y f 1 x .
Итак, график обратной функции симметричен графику заданной функции относительно прямой y x . (См. рис.31)
0 Рис. 31
Пример. Функция y ex является обратной функцией к функции y ln x.
(См. рис. 32)
1
0 1 Рис. 32
Основные элементарные функции
Следующие шесть типов функции называются основными элементарными функциями:
38
I. Постоянная функция y C – функция, ставящая в соответствие каждому действительному числу x одно и то же число C . (См. рис. 33) D R , E C .
0
Рис. 33
II. Степенная функция y x .
а) – целое число.
Если – четное, то D R , E y y 0 .
( - четное, целое)
0
Рис. 34
Если – нечетное, то D R , E R .
( - нечетное, целое)
0
Рис. 35
Графики функции y x ( – целое) показаны на рис. 36 и рис. 37 соответственно.
В случае если – четное, D R \ 0 – множество всех действительных чисел,
кроме нуля, E y y 0 .
39