8857

Функциональная полнота «Основного классификатора» доказывается простым перебором всех возможных аффинно различных сочетаний точек и касательных внутри каждого из шести проективно различных модулей.

Для любой специализации «Основного классификатора» представлено описание соответствующего алгоритма. В качестве примера рассмотрим алгоритм построения метрики КВП по пяти действительным точкам 1, 2, …, 5 (модуль 1 «Основного классификатора»).

Построение инволюции сопряженных диаметров (рис. 2). Находим хорды 37 и 46 искомой КВП, параллельные хордам 15 и 23. Дополнительные точки 6, 7 искомой КВП определяются по теореме Паскаля. Через середины хорд проводим диаметры a и b, пересекающиеся в центре O искомой коники. Каждый диаметр вместе с сопряженной ему хордой образует пару сопряженных диаметральных направлений. Получаем инволюцию в пучке O, заданную двумя парами сопряженных диаметров a~a′, b~b′. Если сопряженные пары не разделены, то инволюция в пучке – гиперболическая, а искомая КВП – гипербола (рис. 2, а). Разделенность пар a~a′, b~b′ позволяет классифицировать искомую КВП как эллипс (рис. 2, б). Наличие несобственных точек среди заданных точек 1, 2, …5 не затрудняет построение инволюции сопряженных диаметров.

Построение главных осей и асимптот. Переносим инволюцию O(a~a′, b~b′) на окружность r произвольного радиуса, проходящую через центр O (рис. 3). Лучи a, a′ и b, b′ пересекают окружность r в соответственных точках A~A′ и B~B′, которые определяют гиперболическую (рис. 3, а) или эллиптическую (рис. 3, б) инволюцию на окружности. Центр S инволюции находится на пересечении прямых A-A′ и B-B′. Луч SR, проходящий через центр R окружности r, высекает на r пару соответственных точек D~D′. Прямые d=OD и d′=OD′ взаимно перпендикулярны (угол DOD′ опирается на диаметр окружности) и соответствуют друг другу в инволюции сопряженных диаметров.

Следовательно, d и d′ – главные диаметры искомой кривой: гиперболы (рис. 3, а) или эллипса (рис. 3, б). Для определения асимптот гиперболы требуется построить ось s инволюции. Ось s пересекается с r в двойных точках E1 и E2, через которые проходят искомые асимптоты e1 и e2.

Построение вершин. Если искомая КВП классифицирована как гипербола и найдены ее асимптоты e1 и e2, то следует вписать в угол, образованный асимптотами, окружность g произвольного радиуса (рис. 4). Получаем гомологию «гиперболаокружность» с центром S=O, в которой точке C искомой гиперболы соответствует точка C0 окружности g, а точке касания E0 соответствует несобственная точка E∞ гиперболы (здесь C – одна из данных точек). Построив ось n гомологии, находим вершину D гиперболы как точку, гомологически соответствующую точке D0 окружности.

Если искомая КВП идентифицирована как эллипс, то целесообразно связать его с окружностью не гомологией, а родственным соответствием. Находим направление c′, сопряженное направлению c=OC, где C – одна из данных точек 1, 2, …, 5. Для этого через центр O эллипса проводим произвольную окружность k. Пучок O (a~a′, b~b′) сопряженных диаметров высекает на k инволюцию A0~A0′, B0~B0′. Определив ее центр S=A0A0′∩B0B0′, находим точку C0′, сопряженную с точкой C0=OC∩k. Точка C0′ указывает направление c′=OC0′, сопряженное направлению c (рис. 5, а).

Рис. 5. Построение вершин эллипса

Составляем родство искомого эллипса и вспомогательной окружности v, выбрав направление родства параллельно c′. Окружность v вписана в пару прямых, касательных к эллипсу в концах его диаметра CF и параллельных направ-

12

лению родства c′. Ось родства l определена точками M, N пересечения соответственных прямых (рис. 5, б). Взаимно перпендикулярным главным диаметрам d=OL и d′=OT соответствуют взаимно перпендикулярные прямые O0L и O0T, которые высекают на окружности v пару точек D0, D0′. Этим точкам родственно соответствуют искомые вершины эллипса D и D′. Задача решена.

Отметим, что в рассмотренном алгоритме используются лишь два графических примитива – прямая линия и однократно начерченная окружность, что обеспечивает геометрически точное построение главных диаметров КВП. Последующее вычерчивание непрерывной КВП с известными главными диаметрами не вызывает затруднений, поскольку выполняется стандартными средствами графического пакета (рис. 6).

Далее в главе 2 рассматриваются алгоритмы построения метрики кривой второго порядка для всех без исключения специализаций «Основного классификатора». Особое внимание уделяется тем специализациям, для которых выполняется условие ε>|n-m|. В этих случаях для построения дополнительных точек искомой коники

не удается непосредственно применить теорему Паскаля-Брианшона. Глава 2 заканчивается описанием блок-схемы программного средства “Компьютерный коникограф”. Разработанное программное средство выполняет построение АМХ и вычерчивание КВП для следующих специализаций: КВП по пяти точкам; КВП по пяти касательным; КВП по трем точкам и двум касательным; парабола по четырем касательным; парабола по четырем точкам (два решения).

В третьей главе диссертации рассматривается проективно-компьютерное моделирование КВП для случая, когда моделируемое коническое сечение определяется набором вещественных и мнимых точек и касательных.

Для моделирования КВП, заданной мнимыми точками и мнимыми касательными, разработан способ указания мнимых элементов на чертеже (А.Г. Гирш), позволяющий использовать их наравне с действительными элементами при выполнении конструктивных построений. Мнимые точки и мнимые прямые нельзя изобразить в явном виде. Для их указания используют то обстоятельство, что на любой прямой v, не пересекающей конику g, устанавливается эллиптическая инволюция σ(A~A′, B~B′) точек, сопряженных относительно g. Коника g пересекается с прямой v в мнимых двойных точках инволюции σ. Составлен

13

дополнительный классификатор, содержащий полный перечень сочетаний (специализаций) действительных и мнимых точек и касательных, определяющих кривую второго порядка на расширенной евклидовой плоскости, дополненной мнимыми линейными элементами (рис. 7).

Рис. 7. Дополнительный классификатор

Для всех специализаций составлены проективные алгоритмы построения метрики КВП. Задавая инволюцию σ точкой Лагерра L и центром O, получаем графическое представление инволюции σ(O, L) в виде “маркера”, состоящего из прямой v и отрезка OL, перпендикулярного к v. Ортогональная инволюция прямых в пучке L индуцирует эллиптическую инволюцию σ сопряженных точек на прямой v. Маркер {v, σ(O, L)} считают графическим изображением сопряженных мнимых точек, инцидентных прямой v (рис. 8, а). Двойственным образом, эллиптическую инволюцию в пучке прямых, заданную двумя парами

14

действительных соответственных лучей пучка, считают изображением мнимых двойных прямых. Для изображения мнимых прямых используется «марка» V(d~d′, h~h′), содержащая ортогональные d, d′ и главные h, h′ направления в пучке V прямых, сопряженных

в поляритете g. Сечение m пучка V индуцирует на прямой m инволюцию μ(H~H′, D~D′), посредством которой находят сопряженные прямые в пучке V. Марку V(d~d′, h~h′) считают графическим изображением мнимых касательных, проведенных из внутренней точки V к конике g (рис. 8, б).

Предложенный А.Г. Гиршем способ изображения мнимых элементов позволяет сформировать конструктивные графические алгоритмы моделирования КВП для любой специализации «Дополнительного классификатора». При моделировании КВП, заданной d действительными и 2w мнимыми элементами (d+2w=5), следует найти 2w дополнительных действительных элемента искомой коники. Поиск действительных элементов выполняется на основе известного проективного свойства конических сечений: если P и p – полюс и поляра в поляритете с ядром g, то инволюционная (гармоническая) гомология с центром P и осью p преобразует конику g в себя. На этом свойстве базируется основной алгоритм построения действительных элементов искомой КВП.

Основной алгоритм. Пусть коника g задана действительными точками A, B, C и двумя мнимыми сопряженными точками, заданными маркером {v, σ(O, L)} (рис. 9). Требуется найти дополнительную действительную точку коники g.

Выбираем пару действительных точек A, C искомой коники и отмечаем точку P=v∩AC. С помощью пучка L находим точку P′, сопряженную с точкой P в инволюции σ, установленной на v искомым коническим сечением g. Ось p инволюционной гомологии φ с центром P, преобразующей конику g в себя, инцидентна P′. Проводим прямые P′A и P′C, соответственные в φ. Через центр P проводим произвольный луч i, пересекающий прямые

15

P′C и P′A в точках 1 и 2. Точки 1, 2 взаимно соответственны в φ. Прямые A-1 и C-2, соответственные в φ, пересекаются в точке Q, лежащей на оси p. Соединяя P′ и Q, получаем ось p гомологии φ. Инволюционная гомология φ полностью определена осью p и центром P. С помощью вспомогательной точки 3 находим точку D, соответственную точке B в гомологии φ. Точка D – действительная точка коники g.

Высокая сложность графических алгоритмов и отсутствие наглядности делают их практически пригодными лишь на основе сочетания проективных и компьютерных методов конструктивного геометрического моделирования.

В четвертой главе представлено решение группы задач, связанных с практическим применением КВП в задачах компьютерного геометрического моделирования поверхностей. В частности, предлагается кинематический метод конструирования поверхностей зависимых сечений, отличающийся от известных методов использованием вспомогательных линейчатых поверхностей (цилиндроидов и коноидов) для управления формой конструируемой поверхности.

Постановка задачи. Дан пространственный четырехзвенный контур, два противоположных звена которого – дуги КВП (рис. 10). Требуется сконструировать опирающуюся на него гладкую поверхность.

Для решения задачи используется кинематический метод, в соответствии с которым образующая m скользит по направляющим AD и BC, изменяя свою форму от дуги КВП AB до дуги КВП CD. В качестве образующей m выбираем кривую второго порядка. Для управления формой образующей следует указать пять условий, определяемых некоторым независи-

мым параметром, например, значением координаты y. Значению y соответствуют две точки на боковых

звеньях опорного контура, через которые должна пройти образующая m, что уменьшает степень свободы образующей на две единицы. Задавая в этих точках касательные к образующей, фиксируем еще две степени свободы.

Для окончательного определения формы и положения образующей m при данном значении параметра y следует указать дополнительную направляющую, которая назначается в соответствии с техническими требованиями, предъявляемыми к конструируемой поверхности.

Пусть, например, поверхность должна пройти через выпуклую образующую n, плоскость которой параллельна плоскостям боковых звеньев контура

(рис. 11).

16

КВП, выродившиеся в прямолинейные образующие m1, m2. Наличие прямолинейных образующих в каркасе конструируемой поверхности является ее технологическим преимуществом.

Если оболочка опирается на плоский четырехугольный или треугольный фундамент, то ее каркас может быть образован двумя или тремя семействами кривых второго порядка. Пусть требуется сконструировать гладкую оболочку на прямоугольном основании (рис. 13, а). Поверхность формируется при параллель-

двумя семействами эллипсов, может быть названа эллиптическим куполом. Эллиптический купол на прямоугольном фундаменте описывается алгебраическим уравнением четвертого порядка

где a0, b0, c0 – габаритные размеры купола, -a0≤x≤a0, -b0≤y≤b0. В сечении купола плоскостью z=0 получаем две пары параллельных прямых x=±a0, y=±b0, что соответствует форме прямоугольного основания.

Оболочка, опирающаяся на прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине A и единичными катетами, содержит три семейства эллиптических образующих и описывается алгебраическим уравнением третьего порядка

xy 2 xy x2 y z 2 0,

где коэффициенты δ и ε определяются отношением сторон основания и высоты купола, 0≤x≤1, 0≤y≤1 (рис. 13, б). Положив z=0, получаем уравнение прямой y=1- x и уравнение вырожденного конического сечения xy=0, распавшегося на две прямые x=0, y=0, что соответствует форме треугольника в основании купола.

Конструирование соединения фокальных квадрик по плоской кривой. Решение задачи следует из анализа инвариантных свойств перспективно расположенных циклических пучков конических сечений. Циклом называют коническое сечение, находящееся в двойном соприкосновении с базисной коникой. Пусть задана точка S и инволюция ρ с двойными точками U, V на несобственной прямой s. Конические сечения, по отношению к которым S и s

18

будут полюсом и полярой, а инволюция ρ (U, V) инволюцией сопряженных точек, образуют пучок с несобственными попарно совпавшими базисными точками U, V.

Если инволюция ρ эллиптическая, то получаем пучок гомотетичных эллипсов (e-циклы) с центром гомотетии S (рис. 14, а). Все эллипсы пучка находятся в двойном соприкосновении в мнимых точках на несобственной прямой. Если инволюция ρ гиперболическая – получаем пучок гомотетичных гипербол (h-циклы) с центром S (рис. 14, б). При совпадении точек U, V получаем пучок конгруэнтных парабол (p-циклы) (рис. 14, в). Циклы e, h, p назовем Ω- пучками. Для установления проективитета Ω-пучков достаточно указать две пары соответственных коник.

Теорема 4.1. Точки пересечения соответственных коник двух проективных Ω-пучков принадлежат кривой 4 порядка, распавшейся на две совпадающие коники g (рис. 15). Если при этом кривая g распадается на две прямые m∩n, то Ω-пучки становятся перспективны с осями перспективности m, n (рис. 16).

Внесем дополнительную метрическую определенность в расположение перспективных Ω-пучков, совместив фокусы какой-либо пары соответственных конических сечений.

Теорема 4.2. Перспективность Ω-пучков, содержащих пару соответственных однофокусных коник, не нарушается при произвольном повороте одного из пучков вокруг общего фокуса F.

Отметим особое метрическое свойство перспективных Ω-пучков, содержащих пару однофокусных коник: равенство полухорд AB и CD (рис. 17). Рассмотрим рис. 17 как проекцию однофокусных квадрик вращения на их общую плоскость симметрии H. Тогда пара соответственных коник e, e′ – проекция сечений этих квадрик плоскостью H′, параллельной H, а отрезок AB=CD – расстояние между H и H′. Отсюда следует возможность применения Ω-пучков к моделированию особых случаев пересечения фокальных квадрик. Действительно, перспективные Ω-пучки, содержащие пару однофокусных коник, неограниченно пополняются новыми парами соответственных КВП, любая пара которых может

19

быть принята за очерки квадрик вращения, пересекающихся по двум плоским кривым (действительным или мнимым).

Исходные перспективные Ω-пучки порождают множество вариантов их взаимного перспективного расположения, так как перспективность пучков, согласно теореме 4.2, сохраняется при повороте вокруг общего фокуса F. Например, перспективные e, h-пучки с осями m, n, содержащие коники e1, h1 с общим фокусом F (рис. 18, а), при повороте вокруг F индуцируют ∞1 вариантов плоского сопряжения эллипсоида e3 и кругового конуса h3 (рис. 18, б), гиперболоида h2 и эллипсоида e2 (рис. 18, в). Любая пара соответственных КВП определяет очерковые линии квадрик вращения, находящихся в мнимом соприкосновении и пересекающихся по плоским кривым.

Рис. 18. Варианты сопряжения ПВП: а – перспективные Ω-пучки; б – плоское сопряжение конической поверхности и эллипсоида; в – плоское сопряжение эллипсоида и гиперболоида

Таким образом, особые метрические и позиционные свойства перспективно соответственных пучков КВП с несобственными попарно совпавшими базисными точками практически использованы при проектировании соединений фокальных поверхностей второго порядка по плоской кривой.

В пятой главе рассматривается метод моделирования поверхности посредством повышения размерности объемлющего пространства. Метод основан на алгоритме моделирования поверхности в пространстве R4, проходящей через наперед заданный опорный контур (см. стр. 23 автореферата). Для конструирования и компьютерной визуализации поверхности предлагается использовать трехмерную проекционную модель четырехмерного пространства.

Одним из известных методов моделирования поверхности является ключевой способ, содержащий геометрическое условие («ключ»), задающий закон изменения формы образующей. Ключ проекционно связан с главными видами, что позволяет рассматривать ортогональный чертеж с изображением ключа как чертеж двумерной поверхности, находящейся в четырехмерном пространстве R4. Трактовка всех ключевых способов как задачи начертательной геометрии пространства R4 дана Д.В. Волошиновым.

20