8802

Таким образом, правая ветвь линии влияния поперечной силы является постоянной величиной, равной единице, а левая – нулевая.

Для построения линии влияния изгибающего момента в сечении 1-1 рассмотрим два положения груза P = 1.

- Груз Р = 1 справа от сечения, рассматриваем равновесие правой части, выражаем изгибающий момент: М1-1 = - P(x – a) = - (x – a) - уравнение прямой. При x = a, M1-1 = 0; при x = l, M1-1 = -(l-a) = - b.

- Груз Р = 1 слева от сечения, рассматриваем равновесие правой части, выражаем изгибающий момент: М1-1 = 0. Таким образом, правая ветвь линии влияния изгибающего момента представляет собой прямую, а левая ветвь – нулевая (см. рисунок).

Особенность построения линий влияния усилий в двухопорной балке с консолями заключается в том, что, используя методику для обычной двухопорной балки, продолжают ветви линий влияния до вертикалей, ограничивающих вылет консолей (см. рис.)

8.3. Кинематический метод построения линий влияния усилий в статически опреде-

лимых системах

Кинематический метод построения линий влияния основан на принципе возможных перемещений Лагранжа, как необходимом и достаточном условии равновесия системы.

31

Принцип возможных перемещений заключается в том, что для равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех сил, действующих на систему, на любом возможном для нее бесконечно малом перемещении была равна нулю.

Этот принцип предусматривает:

-наличие уравновешенной системы сил;

-материальную систему, которая независимо от сил обладает возможными перемещениями.

Всякая неизменяемая и неподвижная плоская статически определимая система (балка, ферма и т.п.) представляет собой систему с минимально необходимым числом связей. Это значит, что если удалить одну связь, то получится система с одной степенью свободы (механизм). Перемещения всех точек такой системы будут определяться в зависимости от приданного системе смещения за счет выбрасывания той или иной связи. Придача системе бесконечно малых перемещений позволяет считать синусы и тангенсы углов, образованных в результате перемещений, равными самим углам, а перемещения представлять в виде прямолинейных отрезков, перпендикулярных радиусам вращения.

Для построения линии влияния удаляют в системе ту связь, которая обуславливает существование изучаемого усилия. Влияние устраненной связи заменяют изучаемым усилием, получая при этом уравновешенную систему сил. Далее, придавая точкам приложения изучаемого усилия в положительном направлении перемещение, равное единице, получают график перемещений точек полученного механизма.

Линия влияния опорной реакции

Построим линию влияния опорной реакции RA в двухопорной балке (см. рис). Для этого устраним связь, обуславливающую существование этой реакции и, тем самым, превратим систему в механизм. Влияние устраненной связи заменим вертикальной силой RA . Полученный механизм представляет собой стержень, способный вращаться вокруг точки B. Придадим точке приложения реакции RA перемещение в ее направлении, тогда балка повернется около точки B и примет положение A/ B. Точки приложения сил RA и P полу-

чат перемещения δ A и yx.

Используя принцип возможных перемещений, составим уравнение работ всех внешних сил:

RA ×δ A - P × yx = 0 , откуда RA = P × δyx .

A

Перемещение δ A может быть произвольным, но от него зависит перемещение yx ,

а поэтому отношение их вполне определенная величина. Приняв δ A = 1 и полагая P = 1,

получим: yx = RA , т.е. любая ордината графика перемещений, взятая под единичным грузом, будет выражать собой опорную реакцию RA . Следовательно полученный график перемещений будет представлять собой линию влияния опорной реакции RA .

Аналогично строится линия влияния опорной реакции RB . Полученные линии влияния абсолютно идентичны тем же линиям влияния, но построенным статическим методом.

32

Линия влияния поперечной силы

Для построения линий влияния поперечной силы в изучаемом сечении 1-1 устраним связь, которая препятствует взаимному смещению левой и правой частей балки Тем самым мы превратили заданную систему в механизм. Если неподвижное сечение 1-1 балки представить его моделью (см. рисунок), то такой связью будет являться диагональный стержень.

При удалении диагональной связи, оставшиеся в сечении два параллельных стержня обеспечивают возможность относительного сдвига левой и правой частей балки. Так как при соединении левой и правой частей балок двумя параллельными стержнями взаимный центр вращения будет находиться в бесконечности на оси балки, то при возможном бесконечно малом перемещении обе части остаются параллельными.

Влияние удаленной в сечении 1-1 связи заменим поперечной силой в положительном направлении (см. рисунок). Придавая точкам приложения силы перемещения в ее направлении, выразим работу уравновешенной системы сил, используя принцип возможных перемещений:

перемещений, взятая под грузом P = 1, будет выражать поперечную силу в сечении 1-1, а сам график – линию влияния поперечной силы в сечении 1-1.

28

В рассматриваемом сечении линия влияния поперечной силы претерпевает разрыв, равный единице.

Когда изучаемое сечение находится на консоли балки, левая (см рисунок) часть ее неподвижна, следовательно, правая часть консоли может перемещаться только параллельно самой себе.

Линия влияния изгибающего момента

Для построения линии влияния изгибающего момента удалим в изучаемом сечении моментную связь, т.е. один (любой) из параллельных стержней в принятой модели сечения 1-1. В результате этого левая и правая части балки будут соединены изменяемо двумя стержнями, пересекающимися в одной точке. Таким образом, устранение одной из горизонтальных связей приводит к образованию шарнира в рассматриваемом сечении, а заданную систему обращает в механизм.

Влияние удаленной связи заменяем положительным моментом (вызывающим растяжение нижних волокон балки). Давая точкам приложения момента перемещения по его направлению, получаем график возможных перемещений.

Используя принцип возможных перемещений, составляем уравнение работ:

M 1−1 ×α + M 1−1 × β - P × yx = 0

Приняв δ = 1 и полагая P = 1, получим M 1−1 = yx , т.е. любая ордината графика

перемещений, взятая под грузом P = 1, будет выражать изгибающий момент в сечении 1-1, 28

а сам график – линию влияния изгибающего момента в сечении 1-1. Ординаты линии влияния изгибающего момента необходимо брать в определенном масштабе, который бу-

дет зависеть от углового перемещения δ , принятого за единицу. Масштаб линии влияния изгибающего момента определяется следующим образом: на расстоянии a = 1 от вершины линии влияния под изучаемым сечением внешняя ордината “b” линии влияния, расположенная между одной из ветвей и продолжением другой ветви, будет равна тоже 1.

b = a × tgα + a × tgβ = a × (α + β ) = a ×δ = a (полагая δ = 1 , см. рисунок) .

Таким образом, построение линий влияния усилий кинематическим методом сводится к последовательному выполнению следующих действий:

-устраняем в системе связь, усилие в которой подлежит определению;

-по направлению устраненной связи прикладываем в положительном направлении изучаемое усилие;

-даем единичное смещение в направлении приложенных усилий, тогда ординаты, заключенные между первоначальным положением системы и положением ее после смещения будут ординатами линии влияния.

29

Линии влияния в многопролетных шарнирных балках

При кинематическом методе построения линий влияния в многопролетных стати- чески-определимых балках последние представляют в виде кинематической схемы простых балок (дисков).

Линия влияния усилия для того диска, в котором находится изучаемое сечение (или опора), строятся обычным порядком (см. выше). Форма линии влияния усилия будет определяться графиком возможных перемещений системы дисков, по которым движется груз P = 1 после устранения одной из связей. График возможных перемещений в многопролетной статически-определимой балке строится в зависимости от перемещений, полученных диском, в котором находится изучаемое сечение или опора.

При построении графика возможных перемещений необходимо учитывать следующее:

-возможные перемещения механизма, полученного после устранения связи, на участке каждого диска очерчены прямой линией, потому что диск между двумя соседними шарнирами представляет собой жесткий стержень;

-на опорах возможные перемещения равны нулю;

-точки перегиба в графике перемещений возможны только в шарнирах.

Рассмотрим построение линий влияния опорных реакций, изгибающих моментов и поперечных сил в характерных сечениях многопролетной балки, изображенной на рисунке.

8.4. Определение расчетного положения системы связанных подвижных грузов

Рассмотрим систему связанных подвижных грузов, расположенных на конструкции, например, при треугольной линии влияния (см. рис.).

Предположим, что ни один из грузов не находится над вершиной треугольника. Искомое усилие S будет равно:

S = ∑ Pл × yл + ∑ Pп × yп ,

где:

Pл – грузы, находящиеся слева от верши-

ны;

Pп – грузы, находящиеся справа от вершины;

yл и yп – соответственно ординаты левого и правого участков линии влияния.

Возьмем производную от усилий S по абсциссе “x”:

Из выражения видно, что для всех точек

левого участка линии влияния dyл = tgα , а dx

для всех точек правого участка dyп = - tgβ , dx

поэтому полученную производную можно записать в следующим виде:

30

dS = tgα × ∑ Pл - tgβ × ∑ Pп . (а) dx

Если dS F 0 , то при дальнейшем движении системы грузов (слева направо, по- dx

скольку ось “x” считается направленной вправо) искомое усилие возрастает и, следова-

тельно, опасное положение нагрузки еще не достигнуто. Если dS P 0 , то при дальней- dx

шем движении системы грузов искомое усилие будет убывать и, следовательно, опасное положение нагрузки уже пройдено. Таким образом, при переходе системы грузов через

Так как в полученном для производной выражении (а) оба члена постоянны, то знак производной может измениться на обратный лишь в том случае, если один из грузов перейдет из одного участка линии влияния в другой, для чего он должен предварительно оказаться над вершиной линии влияния. На основании этого можно сделать следующий вывод: опасное положение системы грузов может иметь место тогда, когда один из грузов системы находится над вершиной линии влияния. Этот груз называют критиче- ским грузом Pкр .

Допустим, что груз Pкр находится над вершиной линии влияния. Из выше сказан-

ного ясно, что если этот груз отнести к группе левых грузов, то dS F 0 , а если к группе dx

правых грузов, то dS P 0 . Обозначим сумму левых грузов без учета критического груза dx

через Rл , а сумму правых грузов также без учета критического – через Rп . Тогда, в соответствии с (а), можно записать:

(Rл + Pкр ) ×tgα - Rп ×tgβ F 0 ; Rл ×tgα - (Rп + Pкр ) ×tgβ P 0 .

(Rл + Pкр ) / a F Rп / b ;

Rл / a P (Rп + Pкр ) / b .

Полученные неравенства являются условием для определения критического груза. Это положение можно формулировать следующим образом: средняя погонная нагрузка должна быть больше на том участке линии влияния, к которому причислен критический груз.

Выведенное правило применимо лишь при том условии, если при расположении критического груза над вершиной линии влияния все грузы, составляющие сумму (Rл+Pкр+Rпр), находятся на сооружении, т.е. ни один из них не сходит с конструкции. В противном случае необходимо провести проверку снова, принимая во внимание лишь те грузы, которые находятся на сооружении.

31

8.5. Основные понятия об огибающих эпюрах

Огибающими (расчетными) называются эпюры, в которых ординатами являются экстремальные значения усилий.

Обычно конструкции проектируют не на один вид нагрузки, а на несколько. Например, на конструкцию может одновременно действовать постоянная нагрузка, снеговая, временная полезная, временная технологическая и т.д. Каждый вид нагрузки имеет свое численное значение и границы приложения, а потому вызывает свое распределение усилий, свои эпюры моментов, поперечных сил и т.д. Может получиться так, что в одном сечении максимальный момент создает одна нагрузка, а в другом – другая. Поскольку на этапе проектирования конструкции главный интерес представляют наибольшие (положительные или отрицательные) усилия независимо от того, какая нагрузка их вызывает, часто в балках и рамах строят огибающие эпюры максимальных и минимальных значений изучаемой величины.

На рисунке показана огибающая эпюра моментов в однопролетной балке, которая попеременно может нагружаться равномерно распределенной нагрузкой и сосредоточенной силой.

Построим, например, огибающую эпюру моментов в однопролетной балке при действии сосредоточенной силы P в любой точке пролета. Эта огибающая эпюра имеет вид параболы. Действительно, наибольший момент в сечении с координатой “x” возникает при расположении груза над этим сечением и равен

= P × x ×(l - x) / l. Это и есть уравнение огибающей эпюры для данного случая.

Для построения огибающих эпюр изучаемой величины часто удобно использовать линии влияния. Например, рассмотрим балку, загруженную системой связанных подвижных грузов (см. рисунок). Наметим в балке ряд сечений (чем их больше, тем точнее будет построена огибающая эпюра) и построим линии влияния изгибающего момента для каждого из них. По линиям влияния от заданной подвижной нагрузки определим максималь-

ные значения изгибающих моментов max M1 , max M 2 и т. д. в сечениях 1, 2 и т. д. Отло-

жив эти значения и соединив их кривой, получим огибающую эпюру изгибающих моментов. Наибольший из них будет являться абсолютным максимальным изгибающим момен-

том или max imum − max imorum.

32

8.6. Матрица влияния и ее связь с линией влияния

При определении внутренних усилий и перемещений в различных сечениях стержневой системы от заданной нагрузки в механике имеется линейный оператор, дающий возможность выразить искомые величины через вектор внешних сил. Такой оператор на-

зывают матрицей влияния.

Рассмотрим порядок составления матрицы влияния изгибающих моментов в n – сечениях однопролетной балки.

Обозначим изгибающий момент в сечении i от единичной силы, приложенной в точ-

__

ке “k” , через M ik , тогда моменты в точках 1, 2, …, n от системы n – сосредоточенных сил можно определить, используя принцип независимости действия сил:

. . . . . . . . . . . . . .

неизвестных изгибающих моментов;

33

нагрузки.

___

Элементы каждой строки матрицы влияния M представляют собой значения изгибающего момента в первом, втором, … , n – ом сечениях от единичной силы, последовательно занимающей положения над этими сечениями. Их значения можно легко определить, если построить n линий влияния изгибающих моментов в точках 1, 2, …, n, либо построить n эпюр изгибающих моментов от единичных значений сил P1, P2, . . ., Pn , приложенных в точках 1, 2, … , n.

Задания для самостоятельной работы.

Литература: [1, гл. 1]; [4, гл. 1]; [2, гл. 1]; [3, гл. 3. 3-3.5].

Вопросы для самопроверки:

1.Эпюры; линии влияния: определения этих понятий, принципиальные отличия друг от друга, размерность ординат.

2.Статический способ построения линий влияния опорных реакций и поперечных сил в статически определимых балках.

3.Статический способ построения линий влияния изгибающего момента в статически определимых балках. Определение размерности ординат линий влияния.

4.Построение линий влияния M и Q статическим методом в консольных балках.

5.Кинематический метод построения линий влияния: общий алгоритм; линии влияния опорных реакций и поперечных сил в статически определимых балках.

6.Порядок построения линий влияния опорных реакций и внутренних усилий (M и Q) в многопролетных статически определимых балках.

7.Построение линий влияния в статически определимых балках при узловой передачи нагрузки.

8.Основные свойства линий влияния.

9.Что называется огибающей эпюрой?

9.Плоские статически определимые фермы

Фермой называют геометрически неизменяемую систему, состоящую из стерж-

ней, соединенных между собой в узлах. Ферма считается плоской, если оси всех стержней лежат в одной плоскости; при этом предполагается что и внешние силы (нагрузка), включая опорные реакции, также лежат в этой плоскости.

34