8785
.pdf111
∙ Ускорения в точках— A, B, C, P направлены таким образом, что составляют одинаковый угол с отрезками, соединяющими эти точки с точкой Q;
∙ Ускорение в самой точке Q при этом равно нулю.
Точка тела Q, ускорение которой в данный момент равно нулю, называется мгно-
венным центром ускорений.
Существуют правила, по которым всегда можно найти положение мгновенного центра ускорений (МЦУ), после чего определение ускорение других точек тела сильно упрощается.
4.Тема:
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
4.1ПОНЯТИЕ О СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ
Сложным движением называют такое движение точки, которое рассматривается одновременно в двух системах отсчета.
Примером является движение человека внутри движущегося вагона, в то время как вагон проезжает мимо неподвижной платформы. Движение человека можно рассматривать в системе координат, связанной с вагоном, или в системе координат, связанной с платформой (то есть с Землей).
При описании сложного движения одну из систем отсчета считают неподвижной или основной(система O1x1y1 на рис. 4.1) . Другая система отсчета рассматривается как подвижная (система Oxy на рис. 4.1).
y |
y1 |
M |
x |
x1 |
112
Рис. 4.1
В таких случаях можно выделить три вида движения: абсолютное, относи-
тельное и переносное.
1. Абсолютным движением называется движение точки по отношению к неподвижной системе координат (в нашем примере, - движение человека по отношению к платформе).
Характеристиками абсолютногоB движения являются абсолютная скорость aи абсолютное ускорение a, то есть скорость и ускорение точки относительно неподвижной системы координат (относительно платформы). Они обозначаются индексом «а».
2. Относительным движением называется движение точки по отношению к подвижной системе координат (в нашем примере, - движение человека относительно вагона).
Характеристиками относительногоB движения, являются относительная скорость !и относительное ускорение ! то есть скорость и ускорение точки относительно подвижной системы координат (относительно вагона). Они обозначаются индексом «r».
3. Переносным движением называется движение подвижной системы координат относительно неподвижной. В подвижной системе координат положение точки М все время меняется. B
Переносной скоростью hи переносным ускорением h называется скорость и ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка.
Они обозначаются индексом «e».
ПРИМЕР
Башенныйp кран переносит грузР (рис. 4.2,а). При этом он вращается вокруг своей оси (угол меняется), а тележка крана двигается по его стреле (расстояние R меняется). Высота груза Р остается постоянной.
113
= & v R
|
|
|
R |
|
|
R |
v r |
|
|
v e |
π |
ϕ (t ) |
|
|
|
|
|
2 |
|
ω = ϕ |
|
O |
R |
|
|
||
& |
|
|
|
R (t ) |
H |
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
Рис. 4.2
Высота груза не меняется и, следовательно, груз Р двигается в горизонтальной плоскости (рис. 4.2, б), расположенной на высоте Н.
Будем считать систему координат, связанную с Землей, абсолютной, а систему отсчета, связанную с краном, относительной. Тогда движение груза относительно крана является относительным движением, движение груза относительно Земли является абсолютным движением, а переносным движением является вращение крана.
Относительная скорость груза ! направлена по радиусу от оси крана.
Переносной скоростью является скорость, которую точка, в которой находится груз, имеет в результате поворота крана. Она направлена в сторону вращения крана
перепендикулярно к отрезку ОР и по модулю равна
h t ∙ ˜‹ t.
Абсолютная скорость груза Р пока неизвестна.
ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА заключается в том, чтобы по известным характеристикам относительного и переносного движений находить кинематические характеристики абсолютного движения.
4.2. СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПРИ СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ
115
дифференцированием по времени вектора |
|
, в ходе которого учитывается, что при |
|||||||
переносном движении изменение |
координат точки происходит только за счет изме- |
||||||||
|
L |
|
|
, , |
|
||||
, , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора , а также за счет поворота ортов подвижной системы координат |
||||||||
нения |
координатыL” |
точки М в подвижной системе координат |
|
не изменяются |
|||||
|
h |
|
|
” |
|
|
|
|
|
(точка, адвигается вместе с системой). |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Lg*e•š 0" |
L |
|
|
||||
|
|
#)e•š 0" |
|
# |
# # |
#. |
|
(б) |
+e•š 0"
Абсолютная скорость a (скорость точки относительно неподвижной системы
координат) определяется как производная по времени от радиус-вектора , в ходе
которого учитывается, что все, входящие в выражение величины являются перемен- |
||||||||
ными. |
|
|
|
# |
# |
# # #. |
L |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
формулыa |
(в) |
|||||
Сравнивая |
|
(а), (”б) и (в) видим, |
что справедливо равенство |
|||||
|
L L # # # |
|
||||||
|
|
a |
|
! |
h. |
|
(4.1) |
|
Теорема |
доказана. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
va
Рис. 4.4
116
ПРИМЕЧАНИЕ:
В относительном, переносном и абсолютном движении точка описывает разные траектории, и соответствующие скорости всегда направлены по касательным к этим траекториям.
Так, в примере о подъемном кране, траектория относительного движения груза есть прямая линия (рис. 4.4,а), траектория точки в переносном движении есть окружность (рис. 4.4,б), а траектория абсолютного движения есть расширяющаяся спираль (рис. 4.4,в).
4.3. ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ
Рассмотрим, как определяются при сложном движении точки ускорения. |
||||||||||
Относительное ускорение (ускорение точки относительно подвижной си- |
||||||||||
стемы координат) получается |
дифференцированием! |
по времени вектора относи- |
||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
||||
тельной скорости !. |
|
|
что орты |
, , |
|
, , ./- |
), а ко- |
|||
ординаты x, y, z меняются: |
|
|||||||||
При этом предполагается, |
неподвижны |
( |
|
|||||||
! |
|
!# |
[e•š 0" |
. |
|
|
(а) |
|
||
B |
g |
^e•š 0" E E E |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
`e•š 0" |
|
|
|
|
|
|||
Переносное ускорение (ускорение, которое точка приобретает в результате |
||||||||||
движения подвижной |
системыh |
координат относительно неподвижной) получается |
||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
||
дифференцированием по времени вектора h. |
|
|
|
|
При этом учитывается, что при переносном движении изменение координат точ-
|
|
, , |
|
|
|
|
|
ки просходит только за счет изменения вектора L”, а также за счет поворота ортов |
|||||||
подвижной системы координат |
|
. |
|
|
, , |
при этом не изме- |
|
Координаты точки М в подвижной системе координат |
|||||||
няются (точка двигается вместе с системой). |
|
|
|||||
h |
h |
|
” |
|
|
|
|
B |
g*e•š 0" |
L |
|
|
(б) |
||
|
#)e•š 0" |
E |
E E |
E. |
|
+e•š 0"
117
Абсолютное ускорение (ускорение точки относительно неподвижной систе-
При |
|
|
|
|
определяетсяaкак производная по времени от вектора абсолютной |
|||||
мы координат) |
|
B |
|
|
|
|||||
скорости . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B |
этомa |
учитывается, что все, входящие в выражение величины являются пе- |
||||||||
|
L |
E E E2 |
’ # # #• |
|
||||||
a |
|
a |
|
” |
|
|
|
|
|
|
ременными. # |
|
# |
|
|
|
|
E E E. (в) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая формулы (а), (б) и (в) видим, что в выражение для абсолютного ускорения кроме переносного и относительного ускорений входит еще одна группа сла-
гаемых, которая представляет#собой# ускорение# называемое ускорением Кориолиса:
B•š! 2 ’ •.
Таким образом, справедливой является следующая теорема:
ТЕОРЕМА
Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного и пе-
реносного и кориолисова ускорений: |
|
Ba B! Bh B•š!. |
(4.2) |
4.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ КОРИОЛИСА
Сложное движение точки впервые описал французский механик Гюстав Гаспар Кориолис (1792-1843). Дополнительное ускорение, которое Кориолис получил теоретически, позже было обнаружено экспериментально и получило его имя.
Ускорение Кориолиса можно вычислять более просто, если использовать формулы Пуассона, которые показывают, как изменяются единичные векторы системы координат (орты), в то время как сама система координат поворачивается относительно некоторой оси u (рис 4.5).
Формулы Пуассона имеют следующий вид:
# t •# t • .# t •
Если учесть, что угловая скорость единичных векторов фактически представляет собой угловую скорость переносного движения, то можно записать:
118
|
B |
2 ’ # # #• |
2t |
• # # # |
|
|
•š! |
|
|
h |
. |
Поскольку |
# # # |
|
|
||
|
|
! - относительная скорость, то |
|||
|
B•š! 2th • !. |
|
(5.3) |
||
|
|
|
z |
|
u |
|
|
R |
|
|
ω |
|
|
R |
|
|
k |
x |
R |
|
|
i |
R |
|
|
j |
|
|
y |
|
|
Рис. 4.5 |
Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению угло-
вой скорости переносного движения на относительную скорость точки. Модуль кориолисова ускорения при этом равен
B•š! 2 th ! 8-th, ! |
(5.4) |
Из этой формулы видно, что кориолисово ускорение может быть равно нулю в трех случаях:
1. Когда переносное движение являетсяt поступательным0 (угловая скорость переносного движения равна нулю h ;
2.Когда отсутствует0 относительное движение (относительная скорость точки равна нулю ! th ; !
3.Когда векторы и праллельны друг другу, то есть кгда точка движется
вдоль оси вращения.
Направление кориолисова ускорения определяется по правилу Жуковского.
119
Правило Жуковского
Чтобы найти направление кориолисова ускорения надо:
1.спроектировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси вращения;
2.повернуть полученную проекцию на 900 по ходу вращения.
ПРИМЕР
Круглаяp платформа0.1 (рис. 4.6) вращается вокруг точки О в соответствии с уравнением рад. По радиусу|˜5| платформы0.2 м. двигается человек (точка М) в соответствии с уравнениемНайти5 .. абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени
Решение
Неподвижную систему координат свяжем с Землей, а подвижную – с платформой. Тогда вращение платформы относительно Земли будет переносным движением, а перемещение человека относительно платформы – относительным движением. Абсолютным движением будет движение человека (точки М) относительно Земли.
1.Положение точки М в рассматриваемый момент времени определим,
При t=5с получаем |˜5| |"e›• |
0.2 ∙ 5 5м. |
|
вычислив расстояние от нее до оси вращения: |
|
|
|
R |
|
|
v a |
|
R |
|
R |
v e |
R |
v r |
|
R |
|
|
acor Rτ |
|
|
a r |
|
|
ae |
M |
Rn
O ae
ε
ω