8779

111

∙ Ускорения в точках— A, B, C, P направлены таким образом, что составляют одинаковый угол с отрезками, соединяющими эти точки с точкой Q;

∙ Ускорение в самой точке Q при этом равно нулю.

Точка тела Q, ускорение которой в данный момент равно нулю, называется мгно-

венным центром ускорений.

Существуют правила, по которым всегда можно найти положение мгновенного центра ускорений (МЦУ), после чего определение ускорение других точек тела сильно упрощается.

4.Тема:

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

4.1ПОНЯТИЕ О СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ

Сложным движением называют такое движение точки, которое рассматривается одновременно в двух системах отсчета.

Примером является движение человека внутри движущегося вагона, в то время как вагон проезжает мимо неподвижной платформы. Движение человека можно рассматривать в системе координат, связанной с вагоном, или в системе координат, связанной с платформой (то есть с Землей).

При описании сложного движения одну из систем отсчета считают неподвижной или основной(система O1x1y1 на рис. 4.1) . Другая система отсчета рассматривается как подвижная (система Oxy на рис. 4.1).

112

Рис. 4.1

В таких случаях можно выделить три вида движения: абсолютное, относи-

тельное и переносное.

1. Абсолютным движением называется движение точки по отношению к неподвижной системе координат (в нашем примере, - движение человека по отношению к платформе).

Характеристиками абсолютногоB движения являются абсолютная скорость aи абсолютное ускорение a, то есть скорость и ускорение точки относительно неподвижной системы координат (относительно платформы). Они обозначаются индексом «а».

2. Относительным движением называется движение точки по отношению к подвижной системе координат (в нашем примере, - движение человека относительно вагона).

Характеристиками относительногоB движения, являются относительная скорость !и относительное ускорение ! то есть скорость и ускорение точки относительно подвижной системы координат (относительно вагона). Они обозначаются индексом «r».

3. Переносным движением называется движение подвижной системы координат относительно неподвижной. В подвижной системе координат положение точки М все время меняется. B

Переносной скоростью hи переносным ускорением h называется скорость и ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка.

Они обозначаются индексом «e».

ПРИМЕР

Башенныйp кран переносит грузР (рис. 4.2,а). При этом он вращается вокруг своей оси (угол меняется), а тележка крана двигается по его стреле (расстояние R меняется). Высота груза Р остается постоянной.

113

= & v R

Рис. 4.2

Высота груза не меняется и, следовательно, груз Р двигается в горизонтальной плоскости (рис. 4.2, б), расположенной на высоте Н.

Будем считать систему координат, связанную с Землей, абсолютной, а систему отсчета, связанную с краном, относительной. Тогда движение груза относительно крана является относительным движением, движение груза относительно Земли является абсолютным движением, а переносным движением является вращение крана.

Относительная скорость груза ! направлена по радиусу от оси крана.

Переносной скоростью является скорость, которую точка, в которой находится груз, имеет в результате поворота крана. Она направлена в сторону вращения крана

перепендикулярно к отрезку ОР и по модулю равна

h t ∙ ˜‹ t.

Абсолютная скорость груза Р пока неизвестна.

ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА заключается в том, чтобы по известным характеристикам относительного и переносного движений находить кинематические характеристики абсолютного движения.

4.2. СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПРИ СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ

114

ТЕОРЕМА

Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей.

z M

r

y1

x1

Рис. 4.3

Относительная скорость ! (скорость точки относительно подвижной системы

115

+e•š 0"

Абсолютная скорость a (скорость точки относительно неподвижной системы

координат) определяется как производная по времени от радиус-вектора , в ходе

va

Рис. 4.4

116

ПРИМЕЧАНИЕ:

В относительном, переносном и абсолютном движении точка описывает разные траектории, и соответствующие скорости всегда направлены по касательным к этим траекториям.

Так, в примере о подъемном кране, траектория относительного движения груза есть прямая линия (рис. 4.4,а), траектория точки в переносном движении есть окружность (рис. 4.4,б), а траектория абсолютного движения есть расширяющаяся спираль (рис. 4.4,в).

4.3. ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ

При этом учитывается, что при переносном движении изменение координат точ-

+e•š 0"

117

Абсолютное ускорение (ускорение точки относительно неподвижной систе-

Сравнивая формулы (а), (б) и (в) видим, что в выражение для абсолютного ускорения кроме переносного и относительного ускорений входит еще одна группа сла-

гаемых, которая представляет#собой# ускорение# называемое ускорением Кориолиса:

B•š! 2 ’ •.

Таким образом, справедливой является следующая теорема:

ТЕОРЕМА

Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного и пе-

4.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ КОРИОЛИСА

Сложное движение точки впервые описал французский механик Гюстав Гаспар Кориолис (1792-1843). Дополнительное ускорение, которое Кориолис получил теоретически, позже было обнаружено экспериментально и получило его имя.

Ускорение Кориолиса можно вычислять более просто, если использовать формулы Пуассона, которые показывают, как изменяются единичные векторы системы координат (орты), в то время как сама система координат поворачивается относительно некоторой оси u (рис 4.5).

Формулы Пуассона имеют следующий вид:

# t •# t • .# t •

Если учесть, что угловая скорость единичных векторов фактически представляет собой угловую скорость переносного движения, то можно записать:

118

ωR

R k

i R

j

y

Рис. 4.5

Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению угло-

вой скорости переносного движения на относительную скорость точки. Модуль кориолисова ускорения при этом равен

Из этой формулы видно, что кориолисово ускорение может быть равно нулю в трех случаях:

1. Когда переносное движение являетсяt поступательным0 (угловая скорость переносного движения равна нулю h ;

2.Когда отсутствует0 относительное движение (относительная скорость точки равна нулю ! th ; !

3.Когда векторы и праллельны друг другу, то есть кгда точка движется

вдоль оси вращения.

Направление кориолисова ускорения определяется по правилу Жуковского.

119

Правило Жуковского

Чтобы найти направление кориолисова ускорения надо:

1.спроектировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси вращения;

2.повернуть полученную проекцию на 900 по ходу вращения.

ПРИМЕР

Круглаяp платформа0.1 (рис. 4.6) вращается вокруг точки О в соответствии с уравнением рад. По радиусу|˜5| платформы0.2 м. двигается человек (точка М) в соответствии с уравнениемНайти5 .. абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени

Решение

Неподвижную систему координат свяжем с Землей, а подвижную – с платформой. Тогда вращение платформы относительно Земли будет переносным движением, а перемещение человека относительно платформы – относительным движением. Абсолютным движением будет движение человека (точки М) относительно Земли.

1.Положение точки М в рассматриваемый момент времени определим,

Rn

O ae

ε

ω