8689
.pdf21
+ j
∙
∙ |
I3 |
I1
∙
I 2
+ 1
Рис. 3.4
Взаимное расположение векторов на комплексной плоскости называется
∙ ∙ ∙
векторной диаграммой. Для определения суммы двух токов I 3 = I1 + I 2 доста-
точно сложить их по правилу параллелограмма.
Применение комплексных чисел при расчёте электрических цепей переменного тока позволяет перейти от дифференциальных и интегральных уравнений к алгебраическим.
3.3. Резистор в цепи однофазного переменного тока
Пусть в цепь переменного тока i = I m sinω t включен резистор R (рис. 3.5).
a) |
i |
б) I |
|
u ~ |
R |
uR |
UR |
|
|
U ~ R |
Рис. 3.5
Падение напряжения на резисторе определим согласно закону Ома:
uR = R × i = R × I m sinω t |
(3.8) |
где U m = R × I m .
Графики изменения тока i и падения напряжения uR показаны на рис. 3.6. Построим векторную диаграмму для цепи, содержащей резистивный эле-
мент. Построение начнём с комплексной плоскости (рис. 3.7). Параллельно оси
∙
действительных чисел (+ 1) строим вектор действующего значения тока I .
22
uR, i
|
uR |
|
|
i |
|
|
|
0 |
|
ωt |
|
π |
2π |
||
|
Рис. 3.6
Далее, сравнивая законы изменения тока i и падения напряжения uR (рис.
3.6), делаем вывод: так как законы изменения тока i и падения напряжения на
∙
резисторе uR одинаковы, то вектор U R совпадает по направлению с вектором
∙ |
(рис. 3.7). |
|
||||||||
тока через резистор I |
|
|||||||||
+ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
U R |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.7 |
|
|||
Поэтому закон Ома в комплексном виде запишется так: |
||||||||||
|
|
|
∙ |
∙ |
|
|||||
|
|
|
U R |
= R × I |
(3.9) |
|||||
Этой форме записи закона Ома соответствует схема замещения, показан- |
||||||||||
ная на рис. 3.5б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мгновенная мощность на резисторе равна: |
|
|||||||||
p = u ×i = I U |
m |
sin2 |
ω t = |
ImUm |
[1 - cos 2ω t ] |
(3.10) |
||||
|
||||||||||
m |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из выражения (3.10) видно, что мгновенная мощность содержит постоян- |
||||||||||
ную составляющую |
I mU m |
и переменную |
I mU m |
cos |
2ω t . |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
23
Среднее значение мощности, выделяемой на резистивном элементе, равно:
P = U m I m = U × I = I 2 × R (Вт), (3.11) 2
где I = U R
Мощность Р называется активной и измеряется в ваттах (Вт).
3.4. Индуктивность в цепи переменного тока (индуктивный элемент)
Пусть в цепь переменного тока i = I m sinω t включена индуктивность (рис. 3.8, а).
a) |
i |
|
б) |
I |
|
|
|
|
|
|
|
u ~ |
L |
uL |
U ~ |
X L |
UL |
|
|
|
Рис. 3.8
Известно [1], что при прохождении тока через индуктивный элемент в нём возникает магнитный поток Φ , который наводит в нем ЭДС самоиндукции
|
|
|
eL = -W |
dΦ |
= -L |
di |
, |
(3.12) |
|
dt |
|
||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
||
где W – |
число витков катушки индуктивности. |
|
||||||
Эта ЭДС самоиндукции уравновешивается падением напряжения на ин- |
||||||||
дуктивности uL |
|
|
|
|
||||
|
|
|
eL = − uL |
|
|
|
(3.13) |
|
Падение напряжения на индуктивности uL с учётом (3.12) и (3.13) будет |
||||||||
равно |
|
|
= ω L × Im cosω t = ω LIm sin (ω t + 900 ) |
|
||||
uL |
= L |
di |
(3.14) |
|||||
|
||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
||
|
|
|
uL = U m sin(ω t + 900 ) |
|
||||
Введём понятие индуктивного сопротивления X L |
|
|||||||
|
|
|
X L = ω L = 2π fL = 314L , (Ом) |
(3.15) |
||||
где f = 50 Гц. |
|
|
|
|
Графики изменения тока ( i ) и падения напряжения на катушке ( uL ) показаны на рис 3.9.
24
uL, L
uL
i
0 |
π |
3/2 π 2π |
ωt |
π/2 |
Рис. 3.9
Из рис. 3.9 следует, что ток i и падение напряжения uL колеблются в про-
тивофазе.
Построим векторную диаграмму для цепи, содержащей индуктивность L. Построение начинаем с комплексной плоскости (рис. 3.10). Параллельно оси
|
∙ |
|
∙ |
действительных чисел |
+ 1 строим вектор действующего значения тока I . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ j |
|
|
∙ |
|
|
|
U L |
90º
∙
I
+ 1
Рис. 3.10
Теперь, сравнивая (рис. 3.9) законы изменения тока sinω t и падения напряжения на индуктивности U m × sin(ω t + 900 ), делаем вывод, что вектор па-
|
∙ |
∙ |
π . |
дения напряжения на индуктивности U L опережает вектор тока I на угол |
|||
|
|
|
2 |
Закон Ома в комплексном виде для индуктивного элемента запишется |
|||
∙ |
∙ |
|
|
U L = + jX L I , |
(3.16) |
|
где + jX L – комплекс индуктивного сопротивления;
25
∙ |
∙ |
π . |
+ j показывает, что вектор U L опережает вектор I на угол |
||
Мгновенная мощность индуктивности равна: |
|
2 |
|
|
|
qL = uL ×i = Im sinω t ×U Lm cosω t = U L I sin 2ω t |
(3.17) |
|
Мощность в цепи, содержащей индуктивный элемент, называют реактивной индуктивной мощностью (+ QL) и измеряют в вольт-амперах реактивных
(вар).
+ QL = I 2 X L |
(вар) |
(3.18) |
3.5. Конденсатор в цепи переменного тока
Пусть в цепь переменного напряжения u = U m sinω t включен конденсатор
(рис. 3.11).
Тогда ток, проходящий через конденсатор будет равен [1]:
iA = C |
duC |
= ωCUm cosω t = Im cosω t = Im sin (ω t + 900 ), |
(3.19) |
||||||||
|
|||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Im = ωCUm . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введём понятие ёмкостного сопротивления XC |
|
||||||||||
|
|
X |
|
= |
1 |
= |
1 |
= |
1 |
, (Ом) |
(3.20) |
|
|
C |
|
|
|
||||||
|
|
|
ωC |
2π fC |
|
314C |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
где f = 50 Гц, емкость С измеряется в фарадах (Ф).
a) |
б) |
|
ic |
|
I C |
|
|
|
u~ |
uc |
X C |
C |
U~ |
UC |
Рис. 3.11
Графики изменения напряжения на конденсаторе uC и тока i показаны на рис. 3.12.
26
uC, i
uC
i
0 |
π |
3/2 π 2π |
ωt |
π/2 |
Рис. 3.12
Построим векторную диаграмму для цепи, содержащей конденсатор. Построение начинаем с комплексной плоскости (рис. 3.13). Параллельно оси действительных чисел (+ 1) строим вектор действующего напряжения на конденса-
∙
торе U C . Теперь, сравнивая (рис. 3.12) законы изменения напряжения на конденсаторе uC = U m × sinω t и тока i через конденсатор Im ×sin (ωt + 90)0 делаем
∙
вывод, что вектор тока I опережает вектор падения напряжения U C на конден-
π
саторе на угол 2 .
Закон Ома в комплексном виде для конденсатора запишется так:
|
∙ |
∙ |
|
|
U C = - jX C IC , |
(3.21) |
|
где − jX C – комплекс емкостного сопротивления; |
∙ |
||
− j показывает, |
|
||
что падение напряжения на конденсаторе U C отстает |
|||
∙ |
π . |
|
|
от тока I C на угол |
|
|
|
|
2 |
|
|
+ j |
|
∙ |
|
|
|
I C |
|
90º
∙
U C
+ 1
27
Рис. 3.13
Этой форме записи закона Ома в комплексном виде соответствует схема замещения, показанная на рис. 3.11, б.
Мгновенная мощность на конденсаторе равна
qC = uC ×iC = Um sinω t × Im cosω t = Um Im sin 2ω t |
(3.22) |
||
Мощность в цепи, содержащей емкостный элемент, называют реактивной |
|||
емкостной мощностью QC и измеряют в вольт-амперах реактивных (вар). |
|||
− Q = I 2 X |
C |
(вар) |
(3.23) |
C |
|
|
Знак «минус» у мощности QC говорит о том, что в первую и третью четверть колебаний конденсатор отдаёт мощность источнику в отличие от индуктивности, которая в первую и третью четверть потребляет от источника реактивную мощность +QL.
3.6.Последовательное соединение резистора, индуктивности
иёмкости в цепи переменного тока
Последовательным соединением элементов называется такое соединение, когда по всем элементам идёт один и тот же ток, а приложенное напряжение равняется геометрической сумме падений напряжений на этих элементах согласно второму закону Кирхгофа.
Схема последовательного соединения R, xL, и xC приведена на рис. 3.14, а.
а) |
I |
R |
X L |
X C |
б) |
|
|
I |
|||||
|
|
|
|
|||
U~ |
|
U R |
U L |
U C |
U ~ |
Z |
|
|
|
Рис. 3.14
Второй закон Кирхгофа в комплексном виде запишется следующим обра-
зом:
∙ ∙ ∙ ∙
U = U R + U L + U C
(3.24)
С учетом вышеприведённых выражений
∙ ∙ |
∙ |
(+ |
∙ |
∙ |
[R + j(xL |
− xC )] |
|
U = I R + I |
jxL ) + I |
(− jxL ) = I |
(3.25) |
Выражение в квадратных скобках обозначим через Z и назовем его полным комплексным сопротивлением цепи.
28 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Z = R + j(xL − xC ) |
|
|
(Ом) |
(3.26) |
||||||
По величине |
|
Z |
|
равняется |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z = |
|
Z |
|
R2 + ( x |
L |
- x |
)2 |
(Ом) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
Тогда закон Ома для последовательно соединенных элементов в ком- |
||||||||||||||
плексной форме запишется в виде |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
∙ ∙ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
U = I × Z |
|
|
|
|
(3.27) |
Этой форме записи закона Ома будет соответствовать схема замещения, показанная на рисунке 3.14, б. Схемы «а» и «б» называются эквивалентными.
∙
Величина тока I при последовательном соединении элементов будет
I = |
∙ |
= |
|
U |
= |
|
U |
|
(А) |
I |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
Z |
R2 + ( xL - xC )2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим векторную диаграмму для последовательного соединения резистора, индуктивности и емкости.
Построение начинаем с комплексной плоскости (рис. 3.15, а), параллельно
∙
оси действительных чисел строим вектор действующего значения тока I , так
∙
как ток является общим для всех элементов. Далее по вектору тока I строим
∙
вектор падения напряжения на резисторе U R (совпадающий с током по направ-
∙
лению). Из конца вектора U R строим вектор падения напряжения на индуктив-
∙ |
∙ |
|
|
ности U L под углом 900 к вектору тока I |
в сторону опережения. Из конца век- |
||
∙ |
|
∙ |
∙ |
тора U L строим вектор падения напряжения на конденсаторе U C (U C отстает от вектора тока на угол 900) и получаем точку «а». Соединив точку «а» с нача-
∙ |
∙ |
лом вектора U R , получаем вектор полного приложенного напряжения U , при |
|
этом образуется треугольник напряжений. Угол ϕ |
∙ |
между векторами тока I и |
∙
вектором полного напряжения U называется углом сдвига фаз, и он характеризует режим работы электрической цепи. Векторная диаграмма позволяет качественно контролировать аналитические расчёты электрических цепей.
∙
Если все стороны треугольника напряжений разделить на ток I , то полу-
чим подобный треугольнику напряжений треугольник сопротивлений (рис. 3.15, б).
Если все стороны треугольника сопротивлений умножить на I 2 , то получим треугольник мощности (рис. 3.15, в).
|
|
29 |
|
|
|
|
|
Z |
|
+ j |
∙ |
∙ |
X = XL – X C |
|
φ |
||||
U C |
U L |
|||
|
||||
|
|
a |
R |
|
|
∙ |
∙ ∙ |
б) треугольник сопротивлений |
|
|
U |
|
||
|
U L -U C |
S |
||
|
φ |
∙ |
||
|
Q = QL – Q C |
|||
|
∙ |
I |
||
|
U R |
|
φ |
|
|
|
+ 1 |
P |
|
|
а) треугольник напряжений |
в) треугольник мощностей |
Рис. 3.15
Из треугольника мощности следует, что S – полная мощность электрической цепи, равна:
S = U × I = I 2 × Z = P2 + Q2 (В·А) |
(3.28) |
Реактивная мощность цепи
Q = U × I sinφ = I 2 x |
(вар) |
(3.29) |
Активная мощность цепи |
|
|
P = U × I cosϕ = I 2 R |
(Вт) |
(3.30) |
Для характеристики режима работы электрической цепи в электротехнике вводится понятие cosϕ , который показывает степень использования полной
мощности источника S:
cosϕ = |
P |
= |
R |
(3.31) |
|
|
|||
|
S Z |
|
Проанализируем режимы работы электрической цепи:
1. cosϕ = 1. В этом случае S = P, Q = 0 и полное сопротивление Z = R.
|
Цепь потребляет только активную мощность P. |
||||
2. |
cosϕ = 0. В этом случае S = Q, P = 0 и полное сопротивление цепи Z |
||||
|
= X, цепь обладает только реактивными свойствами. |
||||
3. |
cosϕ > 0. |
В |
этом случае |
S = P + jQL |
и полное сопротивление |
|
Z = R + jX L , |
цепь обладает активно-индуктивными свойствами, и |
|||
|
она потребляет активную P и реактивную QL мощности. |
||||
4. |
cosϕ < 0 . |
В |
этом случае |
S = P − jQC , |
и полное сопротивление |
|
Z = R − jX C , |
цепь обладает активно-ёмкостными свойствами, она |
|||
|
потребляет из сети активную мощность P, но отдает в сеть реактив- |
||||
|
ную – QС. |
|
|
|
|
30
3.7. Параллельное соединение резистора, индуктивности и емкости в цепи переменного тока
Параллельное соединение электроприемников – основной вид соединений, так как в этом случае электроприёмники делаются на одно и то же напряжение.
Параллельное соединение – это такой вид соединения, когда на всех элементах одно и то же напряжение, а ток в неразветвлённой части равен геометрической сумме токов этих элементов согласно первому закону Кирхгофа.
Схема параллельного соединения R, xL, и xC приведена на рис. 3.16, а.
а)
|
I I R |
I L |
á) I |
|
|
I C |
|
||
U~ |
R |
X L |
X C U~ |
Y |
|
||||
|
bC |
|
||
|
g |
bL |
|
|
|
|
|
Рис. 3.16
Первый закон Кирхгофа в комплексном виде запишется следующим обра-
зом:
∙ |
∙ ∙ ∙ |
I |
= I R + I L + I C |
Выразим токи из закона Ома:
∙ |
|
∙ |
∙ |
|
∙ |
||
= |
U |
+ |
U |
+ |
U |
||
I |
|||||||
|
+ jX L |
− jX C |
|||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.32) |
∙ |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
= U |
|
+ |
|
+ |
|
|
(3.33) |
|
|
|
|||||
|
|
|
+ jX L |
|
|
|
|
R |
|
|
− jX C |
|
Для параллельного соединения элементов вводится понятие проводимости, величины, обратной сопротивлению, измеряемой в сименсах:
∙активная проводимость g = 1 (См);
R
∙ |
индуктивная проводимость − jbL |
= |
|
1 |
|
(См); |
(3.34) |
|
+ |
|
|
||||||
|
|
|
|
jX L |
|
|||
∙ |
емкостная проводимость + jbC = |
|
1 |
|
(См). |
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
− jX C |
|
||||
С учётом (3.32) выражение (3.33) примет следующий вид: |
|
|||||||
|
∙ |
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
I |
= U [g + j(bC − bL )] |
|
|
|
|
|
(3.35) |
Выражение в квадратных скобках обозначим через Y и назовем полной или комплексной, проводимостью:
Y = g + j(bC − bL ) (См) (3.36)
Y = g 2 + (bC − bL )2 (См)
Тогда закон Ома для параллельного соединения элементов в комплексном виде будет