8507

Изгибающим моментом называется сумма статических моментов всех односторонних сил от рассматриваемого сечения относительно центральной оси рассматриваемого сечения перпендикулярной силовой плоскости.

Поперечной силой называется сумма проекций всех односторонних сил от рассматриваемого сечения на ось, перпендикулярную оси стержня и лежащую в силовой плоскости.

Поперечная сила считается положительной, если вызывает вращение отсеченного элемента по часовой стрелке.

Продольной силой называется сумма проекций всех односторонних сил от рассматриваемого сечения на ось стержня.

Продольная сила считается положительной, если вызывает растяжение отсеченного элемента, и отрицательной, если - сжатие.

На основании этих определений и способа простых сечений вычисление внутренних усилий в сечениях стержней производится из уравнений равновесия статики

известный изгибающий момент принимается любого направления, а неизвестные поперечная и продольная силы только положительными. Если в результате решения изгибающий момент получился отрицательным, то это значит, что растянуты противоположные волокна в стержне по отношению к первоначально принятому.

При определении усилий в сечениях отсеченной части рекомендуется рассматривать равновесие той системы, на которую действует меньшее число силовых факторов.

3. Построение эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил. При построении эпюр внутренних усилий по вычисленным в характерных сечениях значениям необходимо иметь в виду следующие особенности:

а)ординаты эпюр откладываются перпендикулярно оси стержня: в эпюре - со

стороны растянутого волокна без указания знаков; в эпюре - с двух сторон от оси

стержня; в эпюре - симметрично от оси стержня с указанием знаков; 21

б) каждый узел рамы должен находиться в равновесии; в) на прямолинейном незагруженном участке рамы изгибающий момент всегда из-

меняется по линейному закону, а поперечная и продольная силы постоянны; г)при действии на элемент равномерно распределенной нагрузки изгибающий мо-

мент изменяется по закону квадратной параболы, поперечная сила - по линейному закону, а продольная сила постоянна, если действующая нагрузка перпендикулярна оси стержня, и изменяется по линейному закону, если нагрузка не перпендикулярна оси стержня;

д) если на элемент системы действует нагрузка в виде сосредоточенной силы, то в

том сечении, где она приложена, на эпюре будем иметь точку излома в сторону прило-

жения силы; на эпюре скачок на величину этой силы, если она перпендикулярна оси

стержня, и на величину проекции этой силы на ось; перпендикулярную оси стержня, если

нагрузка не перпендикулярна оси элемента. На эпюре скачок будет только в том слу-

чае, если нагрузка не перпендикулярна оси стержня, и его величина будет равна проекции этой силы на ось стержня.

е) если на элемент рамы действует нагрузка в виде сосредоточенного момента, то в том сечении, где он приложен, на эпюре будет скачок на величину этого момента с па-

раллельными ветвями, очерчивающими эпюру; на эпюры и эта нагрузка влияния не

оказывает; ж) между изгибающим моментом и поперечной силой существует известная зави-

рая состоит в том, что любая отсеченная часть рамы должна находиться в равновесии и, таким образом, должны выполняться условия равновесия статики.

6.2Графическое (эскизное) построение эпюр изгибающих моментов

Вэтом разделе рассматривается графическое построение эпюр изгибающих моментов в статически определимых рамных системах. При заданных форме, характере опорных связей и размерах рамы можно графически определить величины и направление опорных реакций, их равнодействующих, и на основании определения изгибающего момента графически построить соответствующую эпюру. Такое решение позволяет достаточно быстро установить закон распределения усилий в инженерных сооружениях и, в частности, в рамах. Здесь рассмотрено построение эпюр изгибающих моментов при простых случаях загружения: сосредоточенной силой, моментом или нагрузкой, распределенной на участ-

ке. При действии нескольких видов силовых факторов построение эпюры производится

методом наложения.

Литература: [1, гл. 1]; [4, гл. 1]; [2, гл. 1]; [3, гл. 3. 3-3.5].

Вопросы для самопроверки:

1.Что такое изгибающий момент в сечении?

2.Что такое поперечная сила в сечении? Когда поперечная сила считается положительной?

22

3.Что такое продольная сила в сечении? Когда продольная сила считается положительной?

4.Что называется эпюрой внутренних усилий?

5.Графическое (эскизное) построение эпюр изгибающих моментов.

7. Многопролётные статически определимые балки

Многопролетной статически определимой балкой называется геометрически неизменяемая статически определимая система, состоящая из однопролетных балок, соединяемых между собой полными идеальными шарнирами.

Многопролетной статически определимой балкой называется геометрически неизменяемая статически определимая система, состоящая из однопролетных балок, соединяемых между собой полными идеальными шарнирами.

Необходимым условием геометрической неизменяемости балки является равенство нулю ее степени свободы W=3D–Ш–Со=0. Число дисков D или отдельных балок зависит от количества шарниров Ш, т.е. D=Ш +1. Поэтому выражение 3(Ш + 1) –2Ш – Со = 0 позволяет получить необходимое условие геометрической неизменяемости многопролетной статически определимой балки в виде:

Ш = Со–3, (7.1)

где Со - число опорных связей.

7.1 Образование многопролетных статически определимых балок

Необходимое количество шарниров должно быть расположено таким образом, чтобы система во всех своих частях была геометрически неизменяемая и статически определимая.

Существует три способа расположения шарниров в пролетах балки

1)постановка по одному шарниру в пролете (рис.7.1 а);

2)шарниры располагают по два через пролет (рис.7.1 б);

3)комбинированная постановка шарниров (рис.7.1 в).

Для соблюдения условий статической определимости и геометрической неизменяемости во всех частях таких балок при их конструировании необходимо выполнять следующие правила:

1.В каждом пролете должно быть не более двух шарниров.

2.Пролеты с двумя шарнирами следует чередовать с пролетами без шарниров.

3.Если крайняя опора шарнирная, то в примыкающем пролете может быть установлено не более одного шарнира.

4.Если крайняя опора имеет заделку, то в примыкающем пролете должно располагаться не менее одного шарнира.

23

5. Для того чтобы балка была неподвижной, в горизонтальном направлении достаточно одной связи первого вида.

Рис. 7.1

24

7.2. Аналитический расчет многопролетных статически определимых балок

на неподвижную нагрузку

Существует два способа расчета балок: способ расчета балки в целом как статически определимой системы и способ расчета балки путем построения поэтажной схемы.

1.Способ расчета балки в целом как статически определимой системы заключается в определении опорных реакций из условий сопряжения балок в шарнирах и уравнений равновесия всей системы. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил выполняется, как в статически определимых системах. Такой путь решения слишком громоздкий. Способ расчета балки путем построения поэтажной схемы является более удобным.

2.Расчет многопролетной статически определимой балки с применением поэтажной схемы.

При правильной постановке пролетных шарниров многопролетная балка разделяется на ряд однопролетных статически определимых балок (рис.7.1 а). Характер взаимодействия между балками может быть выявлен в поэтажной схеме, где можно выделить два вида балок: основные и вспомогательные (рис.7.1 б). Основные балки (Б-1, Б-4, Б-6) крепятся тремя связями непосредственно к основанию. Вспомогательные балки (Б-2, Б-3, Б-5) опираются на основные.

При изображении поэтажной схемы балки следует иметь в виду, что нарушается общая горизонтальная связь балки, поэтому в каждой простой балке необходимо показывать все три связи, необходимые ей для геометрической неизменяемости и статической определимости.

По условиям работы балки разделяются на независимые и зависимые. Независимые балки (второстепенные)способны воспринять только местную на-

грузку, расположенную в пределах их длины.

Зависимые балки(основные) - это такие, которые испытывают действие не только нагрузки, расположенной непосредственно на них, но и давление со стороны смежных (второстепенных) балок, на них опирающихся.

В поэтажной схеме (рис.7.2 б) балки Б-2 и Б-5 являются независимыми, а остальные - зависимыми.

Поэтажная схема балки определяет порядок расчета балки как совокупности однопролетных балок. Расчет начинают с независимых балок, начиная с самых верхних балок. Затем рассчитывают зависимые балки.

Расчет каждой балки выполняется в следующей последовательности:

1.Определение опорных реакций.

2.Вычисление изгибающих моментов в необходимых для построения эпюры сече-

ниях.

3.Вычисление поперечных сил в характерных сечениях.

При расчете зависимых (основных) балок необходимо учесть давление вышележащих балок, опирающихся на зависимые (основные) балки.

Сила, с которой верхняя балка действует на рассматриваемую балку, равна по величине реакции верхней балки и имеет противоположное направление.

25

Задания для самостоятельной работы.

Литература: [1, гл. 1]; [4, гл. 1]; [2, гл. 1]; [3, гл. 3. 3-3.5].

Вопросы для самопроверки:

1.Как необходимо строить поэтажную схему?

2.Какие балки называются зависимыми и какие независимыми?

3.С какой балки надо начинать расчет в поэтажной схеме?

8.Плоские статически определимые фермы

Фермой называют геометрически неизменяемую систему, состоящую из стерж-

ней, соединенных между собой в узлах. Ферма считается плоской, если оси всех стержней лежат в одной плоскости; при этом предполагается что и внешние силы (нагрузка), включая опорные реакции, также лежат в этой плоскости.

Соединение стержней в узлах выполняется с помощью сварки, болтов или заклёпок, т.е., вообще говоря, жестко. Однако, как показывают исследования и сравнительные расчеты, если стержни фермы относительно длинные, т.е. отношение высоты их сечения к

длине h 1 , то в расчетной схеме влиянием жесткости узлов можно пренебречь и рас- d 10

сматривать их как идеальные шарниры, допускающие взаимный поворот соединяемых ими стержней без трения.

При действии на ферму только узловой нагрузки и при учете сопряжения стержней в узлах идеальными шарнирами, в каждом стержне будет возникать внутреннее усилие, линия действия которого будет проходить через центры шарниров стержня. В связи с этим, если стержни прямые, то в них будет возникать только продольное усилие растяжения или сжатия, т.к. линия действия усилия будет совпадать с центральной осью самого стержня. Если стержни криволинейные, то помимо растяжения или сжатия они будут дополнительно испытывать изгиб, вызываемый продольным усилием на плече, равном величине отклонения центральной оси стержня от линии, соединяющей центры шарниров. Изгиб стержней фермы будет иметь место и в случае вне узлового приложения нагрузки.

В фермах различают следующие основные элементы (см. рисунок): верхний и нижний пояса и решетка, включающая стойки (вертикальные стержни) и раскосы (наклонные стержни) или, иначе совокупность стержней, расположенных между поясами.

Пролетом называют расстояние между центрами опорных узлов фермы. Панелью фермы (верхней или нижней) называется расстояние между соседними узлами стержня пояса.

27

8.1. Классификация ферм

Фермы классифицируют по ряду признаков:

- по направлению опорных реакций. В зависимости от направления опорных реакций, вызываемых действием вертикальной нагрузки, фермы подразделяются на а) безраспорные – балочные и консольно-балочные,

б) распорные – арочные и висячие, в которых при вертикальной нагрузке возникают и горизонтальные составляющие опорных реакций, в) консольные - фермы, закрепленные только с одной стороны.

- по очертанию поясов:

а) фермы с параллельными поясами, б) треугольного очертания, в) трапецеидального очертания, г) полигонального очертания.

Кроме этого, пояс фермы (верхний или ниж-

ний) может быть и криволинейным. В этом случае узлы фермы лежат на какой-либо кривой (параболе – параболическая ферма, окружности – круговая ферма), а стержни между узлами остаются прямыми.

- по характеру решётки:

а) с раскосной системой, когда наклонные стержни одного направления – раскосы чередуются с вертикальными стержнями – стойками; б) с треугольной системой, когда решетка со-

стоит из последовательно чередующихся раскосов различного направления. Такая решетка часто усиливается дополнительными стойками и, в сочетании с ними, является основной решеткой, используемой практически во всех схемах типовых ферм; в) с полураскосной системой – такая ферма в

каждой панели имеет два разных направления раскоса, идущих к стойке; г) двух или многорешетчатые фермы, т.е. та-

кие, у которых решетка состоит из нескольких самостоятельных решеток; д) с составной или шпренгельной системой,

т.е. такой, которая кроме основной раскосной или треугольной решетки включает дополнительные малые фермы (шпренгеля), разделяющие большую панель на малые.

28

8.2. Определение усилий в стержнях плоских ферм

Основными способами определения усилий в стержнях статически определимых ферм являются статический и кинематический.

Если ферма геометрически неизменяема и не имеет лишних связей, то она статически определима, т.е. все усилия в ее стержнях могут быть определены с помощью обычных уравнений статики.

Статический способ определения усилий в стержнях плоских ферм состоит в том, чтобы путем разрезания ее на те или иные части получить столько независимых друг от друга уравнений равновесия статики, сколько неизвестных усилий содержит заданная ферма.

Кинематический способ определения усилий в фермах основан на применении принципа возможных перемещений. Особенность этого способа заключается в том, что в заданной геометрически неизменяемой ферме устраняют стержень, усилие в котором определяется и в направлении этого стержня прикладывается соответствующее усилие. Ферма превращается в механизм, которому придаётся возможное малое перемещение в направлении искомого усилия. Затем, в соответствии с принципом возможных перемещений, составляется выражение работ, исходя из которого и определяется искомое усилие.

8.2.1. Статические способы определения усилий

а) Способ вырезания узлов

Рассматривая каждый узел фермы как материальную точку на плоскости, находящуюся в равновесии под действием внешних и внутренних сил, вырезают в определенной последовательности узлы фермы так, чтобы в каждом из них было не более двух неизвестных. Используя уравнения равновесия статики как для системы сходящихся сил на плоскости в форме x1 0 и x2 0, определяют усилия в стержнях фермы.

При рассмотрении равновесия узлов неизвестные усилия принимают растягивающими. В этом случае знак полученного усилия в результате решения уравнений будет всегда соответствовать его фактической деформации: (+) - растяжение, (-) - сжатие. Оси проекций x1, x2 следует, как правило, выбирать ортогонально каждому из неизвестных усилий. Этим добиваются разделения неизвестных в уравнениях и исключения накопления ошибок в вычислении искомых усилий.

Рассмотрим изложенный способ на примере.

Дана ферма, изображенная на рисунке. Ферма входит в состав несущих конструкций покрытия, в котором они установлены с шагом 6 м. Определить усилия в стержнях фермы от снеговой нагрузки, расчетное значение которой g = 2,4 кН/м2.

Интенсивность равномерно распреде- лен-ной нагрузки по длине верхнего пояса

фермы будет: q 2,4 6 14,4кН / м. При

длине панелей верхнего пояса d = 3 м, значения сосредоточенных сил в узлы составят:

29

Учитывая симметрию системы и нагрузки, каждая опорная реакция будет

x2 0 21,6 V1 0, V1 21,6кН.

Узел 2.

x1 0 21,6 0,707 86,4 0,707

x2 0 21,6 86,4 D1 0,707 0,

D1 91,65кН.

Узел 3.

x1 0 91,65 0,707 D2 0,707 43,2 0,

D2 30,56кН.

x2 0 43,2 0,707 91,65 O2 0,707 0,

O2 86,41кН.

Узел 4.

x1 0 Q3 86,41кН;

x2 0 V2 43,2кН.

8.2.2. Способ сечений

Для определения усилий в стержнях фермы проводят сечение (разрез), разделяя ферму на две части, причем неизвестных усилий в этом сечении должно быть не более трех. Этому условию удовлетворяет сечение, проведенное через три стержня, в том числе и через стержень, усилие в котором требуется определить.

30