8322
.pdf11
положении катящейся поверхности |
– D xD |
y D |
z D |
|
можно вычислить по |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
i |
i |
|
|
|
|
следующей формуле: |
|
|
|
|
kx |
, ky , kz i , i |
, i |
xi |
|
yi |
zi , |
|
|||||||||
xi |
yi |
zi |
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
(1) |
||||||||||
D |
D |
D |
|
|
D |
|
D |
|
D |
|
~ |
i |
i |
i |
|
|
C |
|
C |
C |
|
~ |
i |
i |
i |
|
– |
матрица |
|
преобразования |
обусловленного |
изменением |
|||||||||||
где kx , k y , kz |
|
|
|||||||||||||||||||
параметров |
катящейся |
поверхности |
2-го |
порядка, i , i , i |
– матрица |
преобразования Эйлера, обусловленного поворотом подвижной системы
координат относительно исходной. |
|
|
Рассмотрим параметры, характеризующие процесс |
деформации |
|
~ |
i i |
i |
центральной поверхности 2-го порядка, т.е. вид матрицы kx , ky , kz . Пусть в |
некоторой системе координат центральная поверхность 2-го порядка задана каноническим уравнением:
a |
x2 a |
22 |
y2 a |
z2 1 0. |
(2) |
11 |
|
33 |
|
|
Рассмотрим преобразование пространства, переводящее поверхность 2-го порядка (2) в поверхность 2-го порядка того же класса, уравнение которой имеет вид:
|
|
|
|
|
2 |
a22 y |
2 |
a33z |
2 |
1 0. |
|
|
|
|
(3) |
|
||||||
|
|
|
a11x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Приведем матрицу этого преобразования: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
x |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
k y |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(kx , k y |
, kz ) |
0 |
|
0 |
, |
|
|
(4) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 kz |
|
|
|
|
|
||||
где k |
x |
a11 |
; k |
y |
a22 ; k |
z |
a33 . |
|
|
Таким образом, каждая точка пространства, |
||||||||||||
|
a11 |
|
a22 |
|
|
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Fi |
|
|
|
|
|
с координатами x, |
y, z , после преобразования, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
определяемого |
матрицей |
(4), |
будет иметь |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты x' |
|
z' x |
|
~ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
E i |
|
|
|
|
|
|
|
y' |
y z (kx , ky , kz ). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
процесс |
деформации |
|||||
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
поверхности |
определяется |
значениями |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kx , ky , kz |
в матрице преобразования (4). Если |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
деформация поверхности отсутствует или мы |
||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ее |
не |
|
учитываем, |
то |
принимаем |
|||||
Рис. 5. Линии – совокупность |
|
|
kx |
ky kz 1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
точек соприкосновения с |
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
линию, |
являющуюся |
|||||||||||||
направляющими элементами |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
совокупностью |
точек |
соприкосновения с |
12
первым опорным элементом на поверхности, через e , точку этой линии,
соответствующую |
i -му положению поверхности, обозначим |
через |
|||
E |
xE |
yE |
z E . |
Аналогично, линию, являющуюся совокупностью |
точек |
i |
i |
i |
i |
|
|
соприкосновения со вторым опорным элементом, обозначим через f , |
точку |
этой линии, соответствующую i -му положению поверхности, обозначим через
F |
xF |
yF |
z F |
|
(рис. |
5). |
|
Координаты |
точек |
искомых |
линий |
вычислим по |
||||||||
i |
i |
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следующим соотношениям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
xE |
y E |
z E |
x A xC |
y A yC |
z A zC 1 |
, |
, |
i |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
i |
|
i |
i |
|
i |
i |
i |
i |
i |
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
xF |
y F |
z F |
|
xB xC |
y B yC |
z B zC 1 |
, |
, |
i |
, |
||||||
|
|
|
|
|
i |
|
i |
i |
|
i |
i |
i |
i |
i |
i |
i |
i |
|
|
|
где 1 |
, |
, |
i |
– матрица обратного преобразования Эйлера. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем алгоритмы расчета и визуализации линейчатых поверхностей, полученных на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка.
Рассмотрим следующие алгоритмы:
-построения линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через точки траектории центра, и соответствующие точки касания на опорных элементах;
-построения линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на опорных линиях;
-построения линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на катящейся поверхности.
Поверхности будем задавать в виде линейчатых каркасов.
На рис. 6 показаны линейчатые поверхности, образованные прямыми, проходящими через соответствующие точки Ci и Ai , или Ci и Bi . Данные
поверхности содержат линии a и b . Отсеки таких поверхностей, ограниченные траекторией движения центра движущейся поверхности и линиями a или b , состоят из отрезков прямых одинаковой длины.
|
|
13 |
|
|
c |
|
i |
c |
i |
|
|
|
|
|
|
Ci |
|
|
Ci |
a |
Ai |
|
a |
Ai |
|
|
|
||
|
Bi |
|
|
Bi |
b |
|
|
b |
|
Рис.6. Поверхность – совокупность прямых, |
Рис. 7. Поверхность – совокупность прямых, |
|||
проходящих через точки траектории центра и |
проходящих через точки касания на опорных |
|||
|
точки касания на опорных элементах |
|
элементах |
|
|
Линейчатые поверхности могут |
быть получены как совокупность |
прямых, проходящих через соответствующие точки Ai , и Bi (рис. 7). Данные поверхности содержат линии a и b . Будем изображать отсеки этих поверхностей, ограниченные линиями a и b .
Рассмотрим линейчатые поверхности, образованные прямыми,
проходящими через соответствующие точки Ei |
и Fi |
(рис. |
8). |
Данные |
|||||||||
поверхности |
содержат линии |
e |
и |
f . |
Будем |
изображать |
отсеки |
этих |
|||||
поверхностей, |
ограниченные линиями |
e |
и |
f . |
Рассмотренная |
поверхность |
|||||||
|
Fi |
|
является |
изгибанием |
предыдущей |
||||||||
|
f |
поверхности. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ei |
|
|
|
Приведем |
|
построение |
||||||
|
|
поверхностей: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
- являющихся |
|
огибающими |
||||||
|
O |
|
однопараметрического |
множества |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
катящихся поверхностей 2-го порядка; |
||||||||||
|
|
|
|
|
- |
являющихся |
совокупностью |
||||||
e |
|
окружностей, |
проходящих через точку |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 8. Поверхность – совокупность |
траектории |
|
движения |
центра |
и |
||||||||
соответствующие точки |
касания |
на |
|||||||||||
прямых, проходящих через точки |
|
||||||||||||
касания опорных элементов на |
|
опорных элементах. |
|
|
|
|
|||||||
катящейся поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Визуализацию огибающих поверхностей будем производить сечениями |
|||||||||||||
катящейся поверхности, плоскостями i , проходящими через |
точку |
||||||||||||
траектории движения центра Ci |
и соответствующие точки соприкосновения с |
14
опорными элементами Ai , Bi (рис. 9). Рассматриваемые поверхности содержат линии a и b . Если в качестве катящейся поверхности взята сфера, то огибающие поверхности будут циклическими, состоящими из дуг одинакового радиуса, равного радиусу сферы.
|
i |
c |
|
i |
|
|
|
||
c |
Ci |
C |
i |
|
Ai |
a |
|
||
a |
|
Ai |
||
|
|
|
||
|
Bi |
Bi |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
Рис. 9. Поверхность, огибающая катящиеся |
Рис. 10. Поверхность – совокупность |
|||
|
поверхности второго порядка |
окружностей, проходящих через точку |
||
|
|
траектории центра и точки касания на |
||
|
|
опорных элементах |
|
Поверхности, являющиеся совокупностью дуг окружностей, проходящих через точку траектории движения центра и соответствующие точки касания на опорных элементах, содержат опорные линии (рис.10).
Рассмотрим ротативные поверхности, полученные на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка.
Разработаны алгоритмы построения следующих ротативных поверхностей:
-линейчатых, образованных перемещающейся прямой;
-циклических, образованных перемещающейся дугой окружности;
-общего вида, образованных перемещающейся произвольной пространственной линией.
Если с катящейся поверхностью 2-го порядка связать линию, то она, двигаясь вместе с ней, опишет в пространстве некоторую ротативную поверхность (рис. 11). В зависимости от вида образующей линии, получаем различные виды ротативных поверхностей.
Рассмотрим торсовые поверхности. Как известно, поверхность, являющаяся совокупностью касательных к пространственной линии, есть торс,
асама линия – ребро возврата этого торса. Торсовые поверхности строились
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
li |
|
как совокупностью |
касательных |
к |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространственным линиям, |
полученным |
||||
|
|
|
в результате |
кинематики |
поверхностей |
|||
|
|
|
2-го порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее |
рассмотрены |
торсовые |
|||
c |
Ci |
|
поверхности, |
являющиеся огибающими |
||||
|
|
|||||||
a |
Ai |
i |
однопараметрических |
|
|
множеств |
||
|
Bi |
плоскостей. |
Однопараметрические |
|||||
|
|
|||||||
b |
|
|
множества |
плоскостей |
|
получены |
||
|
|
движением |
плоскости, |
связанной |
с |
|||
|
|
|
||||||
Рис. 11. Ротативная поверхность |
катящейся поверхностью 2-го порядка. |
|
||||||
|
|
|
Приведенные в |
данной главе |
алгоритмы образования поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка положены в основу разработки программных средств, позволяющих использовать их на практике.
Далее приведен алгоритм построения развертки поверхностей.
Рассмотрим построение |
условной развертки |
нелинейчатой поверхности |
|||||||||
|
|
|
|
методом |
триангуляции. |
Метод |
|||||
|
|
|
|
триангуляции |
|
заключается |
в |
||||
|
B |
C |
|
следующем. |
|
Пусть |
задана |
||||
|
|
|
|
||||||||
A |
|
|
|
поверхность |
|
|
(рис. |
12). |
|||
D |
|
Выделим |
|
два |
|
набора |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
пересекающихся линий, принад- |
|||||||
|
|
|
|
лежащих |
заданной |
поверхности |
|||||
|
|
|
|
(сеть). |
Рассмотрим |
отсек |
|||||
|
B |
C |
|
поверхности |
ABCD . |
Заменим |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
отрезки |
линий, |
ограничивающих |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
отсек |
поверхности |
ABCD , |
на |
||||
|
A |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хорды. Построим на плоскости |
||||||||
|
|
|
|
||||||||
Рис. 12. Развертка поверхности методом |
натуральные |
величины треуголь- |
|||||||||
|
триангуляции |
ников |
ABC |
и |
ADC . |
Плоский |
|||||
|
|
|
|
||||||||
четырехугольник |
|
считается |
условной |
разверткой отсека |
ABCD |
||||||
A B C D |
поверхности . Проделывая описанную выше операцию для каждой ячейки поверхности , получим ее условную развертку. Вычислив площади треугольников ABC и ADC и сложив их, получим приближенную площадь отсека A B C D . Пример построения развертки поверхности (рис. 13) приведен на рис. 14.
|
Рис. 14. Развертка поверхности |
z |
z |
|
y |
|
y |
x |
x |
|
|
а) |
б) |
Рис. 15. Преобразование каркасной модели поверхности в полигональную модель
Во второй главе рассмотрено конструирование поверхностей на основе аппарата качения сферы по двум пространственным линиям. Как было показано в главе 1, поверхности, разработанные на основе данного аппарата,
17
могут содержать направляющие линии. Поэтому в качестве направляющих можно взять реальные линии, что значительно упрощает сборку и стыковку отсеков поверхностей, полученных на основе рассматриваемого аппарата.
Рассмотрим процесс качения без проскальзывания сферы, заданного радиуса, по двум направляющим пространственным линиям.
Будем считать, что опорные линии заданы в виде дискретных точечных
рядов. Линия |
a задана точками |
A |
( xa |
ya |
z a ), где |
i 1, 2, ..., n , линия b – |
||||||
|
|
|
|
|
|
i |
i |
i |
i |
|
|
|
точками B |
j |
( xb |
yb |
zb ), где j 1, 2, ..., m . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
j |
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполним |
аппроксимацию |
точечных |
рядов, |
определяющих |
опорные |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линий a и b, |
В-сплайнами. Получим |
уравнения опорных линий |
r |
ra (u); |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
rb (v). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть по заданным кривым катится сфера, радиус которой равен R . Множество положений сферы, заданного радиуса, в пространстве является трехпараметрическим множеством ( 3 ). Накладывая на положение сферы условие касания кривой a , получим двухпараметрическое множество ( 2 ). Наложив, кроме предыдущего условия, еще условие касания кривой b , получим однопараметрическое множество ( 1 ), которое и будем использовать для конструирования поверхностей. Построив геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, касающиеся линии a в каждой точке этой линии, получим поверхность, эквидистантную заданной линии. Эта поверхность является каналовой поверхностью с направляющей линией a , ее уравнение имеет вид:
|
(x x |
a |
(u))2 ( y y |
a |
(u))2 (z z |
a |
(u))2 |
R2 0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(x xa (u))xa (u) ( y ya (u))ya (u) (z za (u))za (u) 0, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u) |
dxa (u) |
|
где |
xa (u), |
|
ya (u), |
za (u) |
– координаты |
вектора ra (u) , |
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
xa |
du |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dya (u) |
|
|
|
dza (u) |
|
|
|
|
dra (u) |
|
|
|
|
||||||
ya (u) |
|
|
|
, |
za (u) |
|
|
|
– координаты вектора r (u) |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
du |
|
|
du |
du |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Такой |
|
же |
каналовой |
поверхностью |
с опорной |
линией |
|
b является |
геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, радиуса R , касающиеся кривой b :
(x x (v))2 |
( y y |
b |
(v))2 (z z |
b |
(v))2 R2 0; |
|
|
|
b |
|
|
|
(6) |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
(x xb (v))xb (v) ( y |
yb (v))yb (v) |
(z zb (v))zb (v) 0, |
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxb (v) |
|
где xb (v), |
yb (v), zb (v) |
– координаты вектора rb |
(v) , |
|
, |
|||||
|
||||||||||
xb (v) |
dv |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dyb (v) |
|
dzb (v) |
|
(v) |
|
drb (v) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
yb (v) |
dv |
, zb (v) |
dv |
– координаты вектора rb |
|
dv |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, центры сфер, касающиеся одновременно и кривой a и кривой b , лежат на линии пересечения каналовых поверхностей (5) и (6) (рис. 16). Уравнение этой линии определяется следующей системой:
(x x |
a |
(u))2 |
( y y |
a |
(u))2 (z z |
a |
(u))2 R2 |
0; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x xa (u))xa (u) ( y |
|
ya (u))ya (u) (z |
za (u))za (u) 0; |
||||||||||
(x x (v))2 |
|
|
|
|
(v))2 (z z |
|
|
(v))2 |
R2 |
(7) |
|||
( y y |
b |
|
b |
0; |
|||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x xb (v))xb (v) ( y |
yb (v))yb (v) |
(z zb (v))zb (v) 0. |
z
b
a
y
a1
x
b1
Рис. 16. Каналовые поверхности, определяющие траекторию центра сферы
В качестве параметра искомой линии пересечения возьмем параметр линии a – u. Для определения координат точек линии пересечения решим систему (7) методом Ньютона. Обозначим:
f (x x |
a |
(u))2 |
( y y |
a |
(u))2 (z z |
a |
(u))2 |
R2 ; |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 (x xa (u))xa (u) ( y |
ya (u))ya (u) (z |
za (u))za (u); |
(8) |
|||||||||
|
|
(x x (v))2 |
|
|
(v))2 (z z |
|
|
(v))2 |
R2 ; |
|||
f |
3 |
( y y |
b |
b |
|
|||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f4 (x xb (v))xb (v) ( y |
yb (v))yb (v) |
(z zb (v))zb (v). |
|
19
Продифференцируем уравнения (8) по x, y, z, v. Получим:
|
f1 |
2(x x |
a |
(u)); f1 |
2( y y |
a |
(u)); f1 |
|
2(z z |
a |
(u)); f1 |
0; |
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
f2 |
|
|
|
|
f2 |
|
|
|
f2 |
|
|
|
|
f2 |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
xa (u); |
|
y |
ya (u); |
z |
za (u); |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f3 |
2(x xb (v)); |
f3 |
2( y yb (v)); |
f3 |
|
(z zb (v)); |
|
|
|
|
(9,а) |
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
v |
2(x xb (v))xb (v) 2( y yb (v))yb |
(v) 2(z zb (v))zb (v); |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f4 |
|
|
|
f4 |
|
|
|
f4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
xb (v); |
|
y |
yb (v); |
z |
zb (v); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(v), (9,б) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
v |
xb |
(x xb (v))xb (v) yb |
|
( y yb (v))yb (v) xb |
|
(z zb (v))zb |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где x (v) |
d 2 x (v) |
, y (v) |
d 2 y |
b |
(v) |
, z (v) |
|
d 2 z |
b |
(v) |
|
– |
|
|
координаты |
вектора |
||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
b |
|
|
dv |
2 |
|
|
b |
|
dv2 |
|
|
b |
|
|
dv2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d r (v) . rb (v) dv2
Пусть xi, yi, zi, vi – некоторое приближение нахождения приращения параметров xi, yi, zi, решаем следующую систему линейных уравнений:
f1 x |
f1 y |
i |
|
|
f1 z |
i |
f1 v f ; |
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
i |
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
v |
i |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
f2 x |
f2 y |
|
|
|
|
f2 z |
|
|
|
f2 v f |
|
|
||||||||||||
|
i |
|
|
|
i |
|
|
2 |
; |
||||||||||||||||
|
x |
|
i |
|
y |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
v |
i |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
f3 |
|
|
|
f3 |
|
|
|
|
|
|
f3 |
|
|
|
|
|
f3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
xi |
|
|
yi |
|
|
|
zi |
|
vi |
f3 ; |
|||||||||||||
|
x |
|
y |
|
|
|
z |
|
|
v |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f4 |
|
|
|
f4 |
|
|
|
|
|
|
|
f4 |
|
|
|
|
|
|
f4 |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
yi |
|
|
|
|
zi |
|
|
vi |
f4 . |
|||||||||||
|
x |
|
y |
|
|
|
z |
|
|
v |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
искомых параметров. Для vi, на i-м шаге итерации,
(10)
Значения функций (8) и их производных (9, |
а), |
(9, б) в системе (10), |
|
берутся при |
x xi , y yi , z zi . Следующие |
приближения параметров |
|
вычисляется по формулам: |
|
|
|
x1 1 xi |
xi ; y1 1 yi yi ; z1 1 zi zi ; v1 1 vi |
vi . |
Процесс итерации завершается, когда максимальное по модулю значение приращения параметра меньше заданной точности ε.
Таким образом, решив систему (7) при заданном значении параметра u, определим координаты x, y, z – точки траектории центра сферы и параметры точек соприкосновения сферы с опорными линиями u и v.
20
После проведенных преобразований найдем углы Эйлера подвижной системы координат, связанной со сферой, относительно исходной системы координат.
На рис. 17, а приведен пример линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через точку центра, и соответствующие точки соприкосновения на опорных линиях, полученных на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям. На рис. 17, б приведены развертки этих поверхностей.
|
|
|
z |
|
|
|
c |
|
|
100 усл. ед. |
a |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
b |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
100 усл. ед. |
x |
a1 |
|
|
|
|
c |
b1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
а) |
б) |
|
|
|
Рис. 17. Пример поверхности, полученной на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям
Втретьей главе описан аппарат кинематики сферы по пространственной линии и поверхности.
Вкачестве опорной поверхности можно использовать реальные поверхности, входящие, например, в состав строительных конструкций, что значительно упрощает стыковку полученных отсеков поверхностей.
Пусть опорная линия a и опорная нелинейчатая поверхность Ω заданы в
|
|
|
|
|
|
виде векторных уравнений |
r |
ra (t); |
r |
r (u, v). |
Если линия или поверхность |
не имеют аналитического описания, то выполняем их аппроксимацию В- сплайнами.
Множество точек, в которых находятся центры сфер, соприкасающиеся с линией a, представляет собой каналовую поверхность Κ, ее уравнение аналогично (5).
Множество точек, в которых находятся центры сфер, соприкасающиеся с поверхностью Ω, представляет собой эквидистантную ей поверхность Ω’:
|
|
|
|
r |
r (u,v) n (u, v)R, |
(11) |